2010年高考数学试题精编：5.4解斜三角形 - 图文

第五章 平面向量 四 解斜三角形

【考点阐述】

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】

（一）选择题（共8题）

1.（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为?的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （A）2sin??2cos??2； （B）sin??3cos??3 （C）3sin??3cos??1； （D）2sin??cos??1

【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.

2.（湖北卷理3）在?ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=

222266A －3 B 3 C －3 D 3

15103?sinB??sinB，3，【答案】C【解析】由正弦定理得sin60解得又因为a>b，所以A>B，

1621?sinB=1-=?33,故选C。 故?B<60，所以cosB?c?3.（湖南卷理6文7）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，

则

A、a>b B、a

2a,

【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。 4. （江西卷理7）E,F是等腰直角?ABC斜边AB上的三等分点，则tan?ECF?

16A．27

2B．3

3C．3 3 D．4

【答案】D

【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦

cos?ECF?定理得

43tan?ECF?5，解得4

解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得

cos?ECF?43tan?ECF?5，解得4。

5.（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB?b，则△OAB的面积等于 (A)|a|2|b|2?(a?b)2 (B) |a|2|b|2?(a?b)2 11|a|2|b|2?(a?b)2|a|2|b|2?(a?b)2(C) 2 (D) 2

111,,13115，则此6.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

人能 【答】（ ）

（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知

111a?b?c,?a:b:c?13:11:513115

52?112?132cosA??02?5?11由余弦定理得，所以角A为钝角，选D

7.（上海卷文18）若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13

52?112?132cosc??02?5?11 由余弦定理得，所以角C为钝角，选C

8．（天津卷理7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a?b?3bc，

22sinC?23sinB，则A=

（A）30 （B）60 （C）120 （D）150 【答案】A

【解析】由sinC=23sinB结合正弦定理得：c?23b，所以由于余弦定理得：

0000b2?c2?a2b2?c2?(b2?3bc)c2?3bccosA??cosA???2bc2bc2bc

(23b)2?3b?23b?32b?23b2，所以A=30°，选A。

【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。 （二）填空题（共7题）

1.（北京卷理10文10）在△ABC中，若b = 1，c =3，【答案】1。

?C?2?3，则a = 。

3sinC1??sinB??b?2?1?B?,A??Bc2，因此366解析：，故a?b?1

2.（广东卷理11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .

【答案】1．

13nis??sinAsin60，解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，即

A?12．由

a?b知，A?B?60?，则A?30?，C?180??A?B?180??30??60??90?，sinC?sin90??1.

3. （广东卷文13）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= .

ba??6cosC4（江苏卷13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ab，则tanCtanC??tanAtanB__

【答案】4，考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

cosC?当A=B或a=b时满足题意，此时有：

1C1?cosC1C2tan2??tan?3，21?cosC2，22，

tanA?tanB?1Ctan2?2tanCtanC?，tanAtanB= 4。

a2?b2?c23c2ba222222??6cosC?6abcosC?a?b6ab??a?b,a?b?ab2ab2 （方法二），tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

1c2c2c2?????421cosCab(a2?b2)1?3c662由正弦定理，得：上式=

15． （全国Ⅰ新卷理16）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=2DC，?ADB=120°，AD=2，

若△ADC的面积为3?3，则?BAC=_______

0?2【答案】60 解析：设BD?a，则DCa，由已知条件有

S?ADC?11AD?DC?sin?ADC??2?2asin600?3a?3?3?a?3?122，再由余

22弦定理分别得到AB?6,AC?24?123，再由余弦定理得

cos?BAC?12，所以

?BAC?600．

6． （全国Ⅰ新卷文16）在△ABC中，D为BC边上一点，BC?3BD,AD?2, ?ADB?135?.若AC?2AB,则BD=_____

【答案】2?5 解析：设BD?a,AB?b，在?ABD和?ADC中分别用余弦定理可解得． 7． （山东卷理15文15）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A的大小为______________.

?【答案】6【解析】由sinB?cosB?0

2得1?2sinBcosB?2，即sin2B?1，因为

22=B=45?，又因为a?2，b?2，所以在?ABC中，由正弦定理得：sinAsin45?，解sinA?得

12，又a

【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。 （三）解答题（共17题）

1.（安徽卷理16）设?ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sin2A?sin(?3?B) sin(?3?B) ? sin2B。

(Ⅰ)求角A的值；

????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）。

2.（安徽卷文16）?ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，

cosA?1213。

???????? (Ⅰ)求AB?AC；

(Ⅱ)若c?b?1，求a的值。

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.

cosA?【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由

1213得sinA的值，再根据?ABC面

????????222积公式得bc?156；直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA，代入已

知条件c?b?1，及bc?156求a的值.

cosA?解：由

12512sinA?1?()2?1313. 13，得

1bcsinA?302又，∴bc?156.

????????12AB?AC?bccosA?156??14413（Ⅰ）.

?(c?b)2?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?12)?2513，

222a?b?c?2bccosA（Ⅱ）

∴a?5.

【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知?ABC的

cosA?面积是30，

1213，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问

中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.

3.（福建卷理19）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得

OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，而小艇的最高

航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，

103???COD=?(0

t?由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为

10?103tan?103t?30vcos?， 和

153310?103tan?103?v?,又v?30,故sin(?+30)??sin(?+30?)2， 30vcos?，解得所以

3tan?取得最小值，且最小值为3，于是 从而30??<90,由于??30时，???t???30时，当

?210?103tan?30取得最小值，且最小值为3。

此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 4.（福建卷文21）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（I）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

?

5.（江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

HHhH?tan??AD?BD?AB?tan?，tan?。tan?，（1）AD同理：

HHh??tan?tan?tan? AD—AB=DB，故得，解得：

H?hta?n?41.24??124tan??tan?1.24?1.20。

因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得

tan??HHhH?h,tan????dADDBd，

HH?h?tan??tan?hdhdtan(???)??d?2?1?tan??tan?1?H?H?hd?H(H?h)d?H(H?h)ddd

d?H(H?h)?2H(H?h)d?H(H?h)?125?121?555时，取等d，（当且仅当

号）

故当d?555时，tan(???)最大。

0?????因为

?2，则

0??????2，所以当d?555时，?-?最大。

故所求的d是555m。

6.（辽宁卷理17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA?(a2?c)siBn?c(?2b) sCi（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

、c分别为内角A、B、C的对边，且7.（辽宁卷文17）在?ABC中，a、b

2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinB?sinC?1，是判断?ABC的形状。

22a?(2b?c)b?(2c?b)c 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

222a?b?c?bc 即

222由余弦定理得a?b?c?2bccosA

1cosA??,A?120?2故

222sinA?sinB?sinC?sinBsinC. （Ⅱ）由（Ⅰ）得

又sinB?sinC?1，得

sinB?sinC?12

因为0??B?90?,0??C?90?， 故B?C

所以?ABC是等腰的钝角三角形。

8.（全国Ⅰ卷理17文18）已知VABC的内角A，B及其对边

a，b满

a?b?acotA?bcotB，求内角C．

9. （全国Ⅱ卷理17文17）?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，

sinB?513，

cos?ADC?35，求AD．

【分析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

cos?ADC?【解析】由

3??0知B?52

cosB? 由已知得

124,sin?ADC?135，

从而 sin?BAD?sin(?ADC?B)

=sin?ADCcosB?cos?ADCsinB

41235???? 513513

? 由正弦定理得

3365.

ADBD? sinBsin?BAD,

33?BD?sinBAD?sin?BAD 所以

=513=253365.

53?310.（陕西卷理17）如图，A，B是海面上位于东西方向相距

??海里的两个观测点，

现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 解 由题意知AB=

海里，

∠ DAB=90°—60°=30°，∠ DAB=90°—45°=45°，

∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，

在△ADB中，有正弦定理得

11.（陕西卷文17）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

AD2?DC2?AC2100?36?1961??2, 2AD?DC由余弦定理得cos?=2?10?6??ADC=120°, ?ADB=60°

在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°， ABAD?由正弦定理得sin?ADBsinB,

AD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?

10?2232?56.

?AB=

?????1???3S?,AB?AC?3cosB?25，求cosC. 12.（四川卷理19 II）已知△ABC的面积，且

解析：

ACcosB?ABcosC。 ?13.（天津卷文17）在ABC中，

（Ⅰ）证明B=C：

???14B???3cosA??的值。 3（Ⅱ）若=-，求sin

【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二

倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.

sinBcosB【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinC=cosC.于是

sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.

1（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=3.

22又0<2B

2742cos22B?sin22B??9. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=9，cos4B=

sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin?333 所以

???42?7318。

cos2C??14

14.（浙江卷理18）)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

(I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

110（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=4，及0＜C＜π所以sinC=4.

?ac?（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理sinAsinC，得c=4 16由cos2C=2cos2C-1=4，J及0＜C＜π得cosC=±4

?由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0 解得 b=6或26 所以 b=6 b=6

c=4 或 c=4

15.（浙江卷文18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，

S?满足

32(a?b2?c2)4。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。

解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能

力。

13 (Ⅰ)解：由题意可知2absinC=4,2abcosC.所以tanC=3. π因为0

2π（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(3-A)

1π3=sinA+2cosA+2sinA=3sin(A+6)≤3.

当△ABC为正三角形时取等号， 所以sinA+sinB的最大值是3. 2?x?f?x??cos?x????2cos2,x?R3?2?16.（重庆卷理16）设函数。

（Ⅰ）求

f?x?的值域；

（Ⅱ）记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若的值。

f?B?=1，b=1,c=3，求a

23c2?3a2?42bc17.（重庆卷文18）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b?.

（Ⅰ）求sinA的值.

2sin(A?)sin(B?C?)441?cos2A（Ⅱ）求的值.

??