2010年高考数学试题精编:5.4解斜三角形 - 图文
更新时间:2024-06-22 10:51:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第五章 平面向量 四 解斜三角形
【考点阐述】
正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 【考试要求】
(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. 【考题分类】
(一)选择题(共8题)
1.(北京卷文7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为?的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为 (A)2sin??2cos??2; (B)sin??3cos??3 (C)3sin??3cos??1; (D)2sin??cos??1
【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.
2.(湖北卷理3)在?ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=
222266A -3 B 3 C -3 D 3
15103?sinB??sinB,3,【答案】C【解析】由正弦定理得sin60解得又因为a>b,所以A>B,
1621?sinB=1-=?33,故选C。 故?B<60,所以cosB?c?3.(湖南卷理6文7)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,
则
A、a>b B、a
2a,
【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。 4. (江西卷理7)E,F是等腰直角?ABC斜边AB上的三等分点,则tan?ECF?
16A.27
2B.3
3C.3 3 D.4
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1:约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦
cos?ECF?定理得
43tan?ECF?5,解得4
解法2:坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C(0,3)利用向量的夹角公式得
cos?ECF?43tan?ECF?5,解得4。
5.(辽宁卷理8文8)平面上O,A,B三点不共线,设OA=a,OB?b,则△OAB的面积等于 (A)|a|2|b|2?(a?b)2 (B) |a|2|b|2?(a?b)2 11|a|2|b|2?(a?b)2|a|2|b|2?(a?b)2(C) 2 (D) 2
111,,13115,则此6.(上海卷理18)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为
人能 【答】( )
(A)不能作出这样的三角形 (B)作出一个锐角三角形 (C)作出一个直角三角形 (D)作出一个钝角三角形 解析:设三边分别为a,b,c,利用面积相等可知
111a?b?c,?a:b:c?13:11:513115
52?112?132cosA??02?5?11由余弦定理得,所以角A为钝角,选D
7.(上海卷文18)若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13,则△ABC (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析:由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
52?112?132cosc??02?5?11 由余弦定理得,所以角C为钝角,选C
8.(天津卷理7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a?b?3bc,
22sinC?23sinB,则A=
(A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【答案】A
【解析】由sinC=23sinB结合正弦定理得:c?23b,所以由于余弦定理得:
0000b2?c2?a2b2?c2?(b2?3bc)c2?3bccosA??cosA???2bc2bc2bc
(23b)2?3b?23b?32b?23b2,所以A=30°,选A。
【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理,特殊角的三角函数等基础知识,考查同学们的运算能力。 (二)填空题(共7题)
1.(北京卷理10文10)在△ABC中,若b = 1,c =3,【答案】1。
?C?2?3,则a = 。
3sinC1??sinB??b?2?1?B?,A??Bc2,因此366解析:,故a?b?1
2.(广东卷理11)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
【答案】1.
13nis??sinAsin60,解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,即
A?12.由
a?b知,A?B?60?,则A?30?,C?180??A?B?180??30??60??90?,sinC?sin90??1.
3. (广东卷文13)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,A+C=2B,则sinA= .
ba??6cosC4(江苏卷13)在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,ab,则tanCtanC??tanAtanB__
【答案】4,考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
cosC?当A=B或a=b时满足题意,此时有:
1C1?cosC1C2tan2??tan?3,21?cosC2,22,
tanA?tanB?1Ctan2?2tanCtanC?,tanAtanB= 4。
a2?b2?c23c2ba222222??6cosC?6abcosC?a?b6ab??a?b,a?b?ab2ab2 (方法二),tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
1c2c2c2?????421cosCab(a2?b2)1?3c662由正弦定理,得:上式=
15. (全国Ⅰ新卷理16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=2DC,?ADB=120°,AD=2,
若△ADC的面积为3?3,则?BAC=_______
0?2【答案】60 解析:设BD?a,则DCa,由已知条件有
S?ADC?11AD?DC?sin?ADC??2?2asin600?3a?3?3?a?3?122,再由余
22弦定理分别得到AB?6,AC?24?123,再由余弦定理得
cos?BAC?12,所以
?BAC?600.
6. (全国Ⅰ新卷文16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC?3BD,AD?2, ?ADB?135?.若AC?2AB,则BD=_____
【答案】2?5 解析:设BD?a,AB?b,在?ABD和?ADC中分别用余弦定理可解得. 7. (山东卷理15文15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sinB+cosB=2,则角A的大小为______________.
?【答案】6【解析】由sinB?cosB?0
2得1?2sinBcosB?2,即sin2B?1,因为
22=B=45?,又因为a?2,b?2,所以在?ABC中,由正弦定理得:sinAsin45?,解sinA?得
12,又a
【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力,属于中档题。 (三)解答题(共17题)
1.(安徽卷理16)设?ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且
sin2A?sin(?3?B) sin(?3?B) ? sin2B。
(Ⅰ)求角A的值;
????????(Ⅱ)若AB?AC?12,a?27,求b,c(其中b?c)。
2.(安徽卷文16)?ABC的面积是30,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,
cosA?1213。
???????? (Ⅰ)求AB?AC;
(Ⅱ)若c?b?1,求a的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
cosA?【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由
1213得sinA的值,再根据?ABC面
????????222积公式得bc?156;直接求数量积AB?AC.由余弦定理a?b?c?2bccosA,代入已
知条件c?b?1,及bc?156求a的值.
cosA?解:由
12512sinA?1?()2?1313. 13,得
1bcsinA?302又,∴bc?156.
????????12AB?AC?bccosA?156??14413(Ⅰ).
?(c?b)2?2bc(1?cosA)?1?2?156?(1?12)?2513,
222a?b?c?2bccosA(Ⅱ)
∴a?5.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求bc的值,考虑已知?ABC的
cosA?面积是30,
1213,所以先求sinA的值,然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问
中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.
3.(福建卷理19)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得
OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC,而小艇的最高
航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇,
103???COD=?(0<90),则在Rt?COD中,CD?103tan?,OD=cos?, 设
t?由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为
10?103tan?103t?30vcos?, 和
153310?103tan?103?v?,又v?30,故sin(?+30)??sin(?+30?)2, 30vcos?,解得所以
3tan?取得最小值,且最小值为3,于是 从而30??<90,由于??30时,???t???30时,当
?210?103tan?30取得最小值,且最小值为3。
此时,在?OAB中,OA?OB?AB?20,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 4.(福建卷文21)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(I)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(I)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
?
5.(江苏卷17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大 [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
HHhH?tan??AD?BD?AB?tan?,tan?。tan?,(1)AD同理:
HHh??tan?tan?tan? AD—AB=DB,故得,解得:
H?hta?n?41.24??124tan??tan?1.24?1.20。
因此,算出的电视塔的高度H是124m。 (2)由题设知d?AB,得
tan??HHhH?h,tan????dADDBd,
HH?h?tan??tan?hdhdtan(???)??d?2?1?tan??tan?1?H?H?hd?H(H?h)d?H(H?h)ddd
d?H(H?h)?2H(H?h)d?H(H?h)?125?121?555时,取等d,(当且仅当
号)
故当d?555时,tan(???)最大。
0?????因为
?2,则
0??????2,所以当d?555时,?-?最大。
故所求的d是555m。
6.(辽宁卷理17)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
2asinA?(a2?c)siBn?c(?2b) sCi(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sinB?sinC的最大值.
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
、c分别为内角A、B、C的对边,且7.(辽宁卷文17)在?ABC中,a、b
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若sinB?sinC?1,是判断?ABC的形状。
22a?(2b?c)b?(2c?b)c 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
222a?b?c?bc 即
222由余弦定理得a?b?c?2bccosA
1cosA??,A?120?2故
222sinA?sinB?sinC?sinBsinC. (Ⅱ)由(Ⅰ)得
又sinB?sinC?1,得
sinB?sinC?12
因为0??B?90?,0??C?90?, 故B?C
所以?ABC是等腰的钝角三角形。
8.(全国Ⅰ卷理17文18)已知VABC的内角A,B及其对边
a,b满
a?b?acotA?bcotB,求内角C.
9. (全国Ⅱ卷理17文17)?ABC中,D为边BC上的一点,BD?33,
sinB?513,
cos?ADC?35,求AD.
【分析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由?ADC与?B的差求出?BAD,根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。
cos?ADC?【解析】由
3??0知B?52
cosB? 由已知得
124,sin?ADC?135,
从而 sin?BAD?sin(?ADC?B)
=sin?ADCcosB?cos?ADCsinB
41235???? 513513
? 由正弦定理得
3365.
ADBD? sinBsin?BAD,
33?BD?sinBAD?sin?BAD 所以
=513=253365.
53?310.(陕西卷理17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距
??海里的两个观测点,
现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间? 解 由题意知AB=
海里,
∠ DAB=90°—60°=30°,∠ DAB=90°—45°=45°,
∴∠ADB=180°—(45°+30°)=105°,
在△ADB中,有正弦定理得
11.(陕西卷文17)在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,
AD2?DC2?AC2100?36?1961??2, 2AD?DC由余弦定理得cos?=2?10?6??ADC=120°, ?ADB=60°
在△ABD中,AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°, ABAD?由正弦定理得sin?ADBsinB,
AD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?
10?2232?56.
?AB=
?????1???3S?,AB?AC?3cosB?25,求cosC. 12.(四川卷理19 II)已知△ABC的面积,且
解析:
ACcosB?ABcosC。 ?13.(天津卷文17)在ABC中,
(Ⅰ)证明B=C:
???14B???3cosA??的值。 3(Ⅱ)若=-,求sin
【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二
倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.
sinBcosB【解析】(Ⅰ)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得sinC=cosC.于是
sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为???B?C??,从而B-C=0. 所以B=C.
1(Ⅱ)解:由A+B+C=?和(Ⅰ)得A=?-2B,故cos2B=-cos(?-2B)=-cosA=3.
22又0<2B,于是sin2B=1?cos2B=3.
2742cos22B?sin22B??9. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=9,cos4B=
sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin?333 所以
???42?7318。
cos2C??14
14.(浙江卷理18))在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。
110(Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sin2C=4,及0<C<π所以sinC=4.
?ac?(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理sinAsinC,得c=4 16由cos2C=2cos2C-1=4,J及0<C<π得cosC=±4
?由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±6b-12=0 解得 b=6或26 所以 b=6 b=6
c=4 或 c=4
15.(浙江卷文18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,
S?满足
32(a?b2?c2)4。
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求sinA?sinB的最大值。
解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识,同时考查三角运算求解能
力。
13 (Ⅰ)解:由题意可知2absinC=4,2abcosC.所以tanC=3. π因为0 2π(Ⅱ)解:由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(3-A) 1π3=sinA+2cosA+2sinA=3sin(A+6)≤3. 当△ABC为正三角形时取等号, 所以sinA+sinB的最大值是3. 2?x?f?x??cos?x????2cos2,x?R3?2?16.(重庆卷理16)设函数。 (Ⅰ)求 f?x?的值域; (Ⅱ)记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若的值。 f?B?=1,b=1,c=3,求a 23c2?3a2?42bc17.(重庆卷文18)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b?. (Ⅰ)求sinA的值. 2sin(A?)sin(B?C?)441?cos2A(Ⅱ)求的值. ??
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