与名师对话2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：6-5

课时作业(三十七)

一、选择题

?1?x

1．“因为指数函数y＝a是增函数(大前提)，而y＝?3?是指数函

??

x

?1?

数(小前提)，所以y＝?3?x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )

??

A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提错都导致结论错

解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.

答案：A

2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )

解析：该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.

答案：A

3．(2012·江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝

4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )

A．28 C．123

B．76 D．199

解析：利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4

＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.

规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和． 答案：C

4．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A．f(x) C．g(x)

B．－f(x) D．－g(x)

解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．

答案：D

5．(2014·河北沧州质量监测)如下图所示，由若干个小圆圈组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个小圆999

圈，每个图形总的小圆圈数记为an，则aa＋aa＋aa＋?＋

2334459

a2 013a2 014＝( )

2 010A.2 011 2 012C.2 013

2 011B.2 012 2 013D.2 014

解析：由已知条件知a1＝3，a2＝6，a3＝9，a4＝12，归纳得出99991111

an＝3(n－1)，因此aa＋aa＋aa＋?＋aa＝1－2＋2－3＋3

2334452 0132 0141112 012

－4＋?＋2 012－2 013＝2 013.

答案：C

6．(2013·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学第三模)一个赛跑机器人有如下特性：

①步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，?，1.8米或1.9米；

②发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；

③当设置的步长为a米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔

a秒．

则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A．48.6秒 B．47.6秒 C．48秒 D．47秒

解析：由题意可得当设置步长为1.9米，需跑27步，此时共跑51.3米，用时为(27－1)×1.9＝49.4秒；当a＝1.8米时，需28步，共跑50.4米，用时为(28－1)×1.8＝48.6秒，当a＝1.7米时，需跑30步，此时共跑51米，用时49.3秒．??由此可知当步长a在减小时，所用时会超过49秒，舍去，故选A.

答案：A 二、填空题

7．观察下列一组等式：

3

①sin30°＋cos60°＋sin 30°cos 60°＝4；

2

2

3②sin15°＋cos45°＋sin 15°cos 45°＝4；

2

2

3③sin45°＋cos75°＋sin 45°cos 75°＝4，?，

2

2

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________. 3

解析：由①②③，可知sinα＋cosβ＋sin αcos β＝4成立，须β－

2

2

α＝30°即可，即β＝30°＋α，

3

所以一般结果是sinα＋cos(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝4. 2

2

3答案：sinα＋cos(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝4，答案不惟一，

2

2

等价的均可

8．(2014·湖北武汉调考)挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的

恒等式—阿贝尔公式：

a1b1＋a2b2＋a3b3＋?＋anbn＝L1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋?＋Ln－1(bn－1－bn)＋Lnbn

则其中：(1)L3＝________；(2)Ln＝________.

解析：由题意知面积恒等关系进行等价转化(b3－b4)对应矩形的长为(a1＋a2＋a3)；(b2－b3)对应矩形的长为(a1＋a2)?bn对应矩形的长为(a1＋a2＋?＋an)．故得结论．

答案：(1)a1＋a2＋a3 (2)a1＋a2＋a3＋?＋an

9．设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB

→→→→

上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O是→→→△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有________．

解析：由类比思想可得结论．

→→→→

答案：VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0

10．(2013·江门佛山两市质检)将集合{2s＋2t|0≤s≤t且s，t∈Z}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第i行第j列的数记为bij(i≥j>0)，则b43＝________.

解析：由数表归纳可知b43＝24＋22＝20. 答案：20 三、解答题

11．(2013·湖南省六校联考)已知数列{an}是递增的等比数列，满5

足a1＝4，且4a3是a2、a4的等差中项，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋1，其前n项和为Sn，且S2＋S6＝a4

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q>1，an＝4qn－1 5

∵4a3是a2和a4的等差中项 5

∴2×4a3＝a2＋a4即2q2－5q＋2＝0

∵q>1，∴q＝2 ∴an＝4·2n－1＝2n＋1

依题意，数列{bn}为等差数列，公差d＝1 6×5

又S2＋S6＝32，∴(2b1＋1)＋6b1＋2＝32， ∴b1＝2，∴bn＝n＋1. (2)∵an＝2

n＋1

4?2n－1?n＋2

，∴Tn＝＝2－4.

2－1

不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n化为n2－n＋7≥λ(n＋1)∵n∈N*

n2－n＋7∵λ≤对一切n∈N*恒成立．

n＋1

?9?n2－n＋7?n＋1?2－3?n＋1?＋9

而＝＝(n＋1)＋?n＋1?－3≥2

n＋1n＋1??

9?n＋1?·－3＝3

?n＋1?

9

当且仅当n＋1＝即n＝2时等式成立．∴λ≤3.

n＋1

12．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S1

＝2×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1

2；??

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； 1

(2)四面体的体积V＝3×底面积×高；

(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积1的4. [热点预测]

13．(1)(2013·山东烟台高三测试)对大于1的自然数m的三次幂

?3可用奇数进行以下方式的“分裂”：2?

?5

3

7?，33?9

?11

，

?4??

3

13151719

，?.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m

的值为________．

121321

(2)(2013·石家庄市高三模拟)已知数列{an}为1，1，2，1，2，3，4321

1，2，3，4，?，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为( )

37A.24 11C.15

7B.6 7D.15

→→

(3)(2013·北京东城综合练习(一))已知向量OA，AB，O是坐标原→→→→

点，若|AB|＝k|OA|，且AB方向是沿OA的方向绕着A点按逆时针方向→→→

旋转θ角得到的，则称OA经过一次(θ，k)变换得到AB.现有向量OA＝→→

(1,1)经过一次(θ1，k1)变换后得到AA1，AA1经过一次(θ2，k2)变换后得→

到A1A2，?，如此下去，An－2An－1经过一次(θn，kn)变换后得到An－1An.

1

设An－1An＝(x，y)，θn＝n－1，kn＝cos θ，则y－x等于( )

2n

??1??

2sin?2－?2?n－1?

?

??

?

1

A.11 sin 1sin 2?sin n－12

??1?n－1??2sin2－?2??????

B.11 cos 1cos 2?cos n－12

??1?n－1?2cos?2－?2??

????

C.11 sin 1sin 2?sin n－1

2

??1?n－1??2cos2－?2??????

D.11

cos 1cos 2?cos n－1

2

解析：(1)由题可以看出m3分裂成m个连续奇数，59为第30个7×88×9

奇数，2<30<2，所以59应在83的分裂中，

∴m＝8.

(2)由给出的数列{an}的10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，?，等于n的有n－1项，且分母由1逐渐增大到n－1，分子由n－1逐渐减小到1(n≥2)，当n＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a99与a10076

是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为8，9，∴a99＋a1007637

＝8＋9＝24，选A.

(3)由归纳推理知识易知B正确．

答案：(1)8 (2)A (3)B

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