圆锥曲线总结（含答案）

第八章 圆锥曲线总结

曲线与方程

1． 曲线与方程的理论基础（解析几何的理论基础）

（）曲线上的点的坐标都是这个方程的解1C:f(x,y)?0???2． 若C1:f1(x,y)?0；C2:f2(x,y)?0 (1)则C1与C2有n个交点的充要条件是方程组??(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点

?f1(x,y)?0有n组解

?f2(x,y）＝0注：“曲线的方程”与“方程的曲线”是数和形的纯粹性与完备性的统一体 (2)曲线系：C:f1(x,y)??f2(x,y)?0是过曲线C1与C2交点的曲线系 3． 轨迹求法：

（1） 定义型

?1.直接法：由动点满足的集合关系，直接列出动点的坐标（x,y)所满足的方程 ??2.定义法：动点运动的规律的符合某已知曲线的定义，设其标准方程求出相关参数（2） 相伴型：?练习题：

?1.相关点法：

?2.参数法：1． 方程1?x2?k(x?2)有两解时，k?(?2． 方程10sinx=x解的个数___7____。

3,0]。 33． 方程 cos2x+sinx+a=0有解时，a?[?,2]。

984． 判断方程x(x?1)?y(y?1)所表示的曲线C

2222（1） 若点M(m,2),N(3,n)在曲线C上，求m , n的值。 2（2） 若直线x=a与曲线C有两个交点时，a?___________。

第 1 页 共 16 页

第八章 圆锥曲线总结

椭圆与双曲线的基础知识 名称 1．定义 2．标准方程 椭圆 │MF1│+│MF2│=2a (2a>2c) 22焦点在x轴上： x?y?1 22双曲线 ││MF1│—│MF2││=2a (2a<2c) 22焦点在x轴上： x?y?1 22abab22焦点在y轴上： y?x?1 22ab22焦点在y轴上： y?x?1 22ab3．图形 4．范围 5．对称性 6．顶点 准线 a2=b2+c2 │x│≤a；│y│≤b c2=a2+b2 │x│≥a；y∈R 将M（x,y）的对称点坐标(x,-y)；(-x,y)；将M（x,y）的对称点坐标(x,-y)；(-x,y)；(-x,-y) 代入原方程，原方程不变 (-x,-y) 代入原方程，原方程不变 A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0,b) 长轴：│A1A2│ ;短轴：│B1B2│ 准线：x??a c2顶点：A1(-a,0) A2(a,0) 实轴：│A1A2│ ; 虚轴：│B1B2│ 准线：x??a c2 bx2y21． 记忆：2?2?0 ?y??x aab2． 有共同渐近线的双曲线系：x2y2?2?? 2ab223． 共轭双曲线：x?y??1 227．渐近线 ab4．等轴双曲线：x2 – y2=a2；y2 – x2=a2 8．离心率 9．统一定义 WP.h

e=MFdc 01 aMF1d ?MF2d'?e?MFd?e??e 焦半径：│PF1│=a+ex0；│PF2│=a - ex Page 2 of 16

第八章 圆锥曲线总结

椭圆系列题 x2y2已知椭圆??1上一点P(x，y)

2591． 求“一套”——

a=5；b=3；c=4；e=4/5

焦点坐标F(±4，0)；准线x=±25/4； 顶点坐标A(±5,0)；B(0, ±3)

焦点到相应准线的距离p=b2/c=9/4； 两准线间的距离d=2a2/c=25/2 2． 若PF2?6，求PF1的值和P点的坐标 PF1?2a?PF2?10?6?4；P(5,?315)

443． 若PF2?6，求：P到左、右准线的距离。 到左准线距离5；到右准线距离7.5 4． 若PF2?6，求：?F1PF2的大小 π－arccos1/4 5． 若?F1PF2=900，求?F1PF2的面积 9 6． 若sin?F1PF2?24,则PO的值 2591 27． 求?F1PF2的最大值 π－arccos7/25

x2y2??1 8． 求与其有相同焦点且过点A（5, 3）的椭圆方程。

40249． 若A（3，5），则PA?5PF1的最小值_37/4_，此时P点的坐标_P(-10/3, 45) 10． 若A（2，5），则PA?PF1的最小值_ 7___

11． 若I是?F1PF2的内心，直线IP交x轴于N，则PI:IN=_1/e=5/4__。

提示：由正弦定理PF1?PF2?PI?2a?PI

F1NF2NIN2cIN12． 判断以过右焦点的弦为直径的圆与右准线的位置关系？（你能将此结论推广吗？） 提示：相离 2R?AFF?(e1d?2)d?21?B1e?d ?R?(d0?) ?e113． 是否存在点P，使P到左准线的距离是P到两焦点的距离的等比中项？并说明理由。

WP.h

Page 3 of 16

第八章 圆锥曲线总结

存在

14． 当m为何值时，直线l: y=x+m与此椭圆相交、相切、相离。 相交：|m|?34；相切： |m|?34 相离：|m|?34 15． 当m为何值时，直线l: x – 5y+m=0与此椭圆截得弦长为326 m??15 516． 求此椭圆被点M(,)所平分的弦所在的直线方程。 3x+5y-15=0 5322b217． 求斜率为k0的平行弦的中点轨迹方程。 推广：y??2x

ak018． 求过右焦点弦中点的轨迹方程。 点差法：9(x-2)2+25y2=36 19． 求过此椭圆的焦点，斜率为

12341836的弦长及弦中点到该焦点的距离。 ;5252520． 求2x+5y的最大值、最小值

513;?513 5541;dmin?541

21． 求点P到直线l：4x+5y+30=0的最大值、最小值。dmax?22． 若P在第一象限，求四边形OA2PB2面积的最大值。 152/ 223． （1）若A(0，3)，求PA的最大值；（2）若A(0，a)，研究PA的最大值 925时|PA|MAX?1642 3a25(a?16)(2)|PA|2??16sin2??6asin??a2?25??16(sin??)2?1616(1)设P(5cos?,3sin?),则|PA|2??16sin2??18sin??34,当sin???163a5a2?16当|a|?时，sin???,|PA|max?;316424． 讨论圆(x-a)2+y2=4与此椭圆交点的个数。

4545或|a|>7时交点个数0个;(2)<|a |<3时有4个交点; 3345(3)|a|=或3<|a|<7有2个交点；(4)|a|=3有3个交点;(5)|a|?7有1个交点3(1)|a|?25． 此椭圆上不同三点A(x1,y1)、B(4,)、C(x2,y2)与右焦点F的距离成等差数列，

求（1）x1+x2；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率。

95(1) x1+x2=8 (2) KBT=5/4

WP.h

Page 4 of 16

第八章 圆锥曲线总结

x2y2双曲线系列题 已知双曲线??1上一点P（x,y）

9161． 求：“一套”——

a=3 b= 4 c=5 e=5/3；

焦点坐标（-5,0）;(5,0)、顶点坐标(-3,0)；(3,0)

准线方程x??49；渐近线方程y??x

3522yx其共轭双曲线方程??1。 1692． 若PF2?8，求：PF1的值 14或2

3． 求两渐近线的夹角 arctan(24/7)或π-2arctan(4/3) 4． 若PF2?8，求：P点到左准线的距离 5． 若PF2?5，求：P点到左准线的距离.

426或 5533 56． 求与其有相同渐近线且过点A（6,10）的双曲线方程

x2y2y24x2??????1 提示：设C：

9163681x2y2??1 7． 求与其有相同焦点且过点A（5, 45）的双曲线方程

5208． 若?F1PF2=900，求?F1PF2的面积。 利用第一定义+勾股定理 S=16 9． 研究直线y=kx+3和此双曲线交点的个数

y?kx?3??(16?9k2)x2?54kx?225?0????22?16x?9y?1444(1)当16?9k2?0时，k??(与渐近线平行的直线）32（2）当16?9k?0时，?＝542k2＋4?(16?9k2)?225?05?272k?(16?9k2)?225?0?k??(与渐近线相切）34555?k??或?时有一个交点；k?(??,?)?(,??)时无交点3333544445k?（-，-)?(?，）（?，）时有两个交点333333WP.h

Page 5 of 16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nm6d.html