基本初等函数综合例题（教师）

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课题 教学目标 一．【典例解析】

题型1：指数运算

??3?340.53【例1】（1）计算：[(3)(5)?(0.008)?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25；

892211基本初等函数例题 （2）化简：

a?8ab4b?23ab?a2143132323?(a?2323ba?3a2?)?。

53aa?a2184910003426254【解】（1）原式=[()3?()2?()?50?]?()

27981010000471421172?[??25??]??(??2)?2?； 932995210（2）原式=

a[(a)?(2b)](a)?a?(2b)?(2b)132131313213133133?a?2b(a?a)?111 a(a2?a3)52313132312?a(a?2b)?12131313aa?2b1313?aa5616?a?a?a?a2。

13【例2】（1）已知x?x1212?12?3，求

12?x2?x?2?2x?x32?32的值

?3【解】∵x?x??3，∴(x?x)?9，

?1122∴x?2?x?9，∴x?x?1?7，

2?2?12∴(x?x)?49，∴x?x?47，

又∵x?x32?32?(x?x)?(x?1?x?1)?3?(7?1)?18，

12?122?2∴x?x?2?47?2?3。

33?18?32x?x2?3题型2：对数运算 【例3】计算

（1）(lg2)?lg2?lg50?lg25； （2）(log32?log92)?(log43?log83)；

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lg5?lg8000?(lg23)2（3）

11lg600?lg0.036?lg0.122【解】（1）原式?(lg2)2?(1?lg5)lg2?lg52?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5

?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2； （2）原式?(lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3?)?(?)?(?)?(?) lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg35??； 2lg36lg24 ?（3）分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)2?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3；

分母=(lg6?2)?lg3616??lg6?2?lg?4； 1000101003?原式=。

4222【例4】设a、b、c为正数，且满足a?b?c

b?ca?c)?log2(1?)?1； abb?c2)?1，log8(a?b?c)?，求a、b、c的值。 （2）若log4(1?a3a?b?ca?b?ca?b?ca?b?c?log2?log2(?) 【解析】（1）左边?log2abab（1）求证：log2(1?(a?b)2?c2a2?2ab?b2?c22ab?c2?c2?log2?log2?log2?log22?1；

ababab（2）由log4(1?b?cb?c)?1得1??4，∴?3a?b?c?0?????① aa22由log8(a?b?c)?得a?b?c?83?4?????????②

3由①?②得b?a?2??????????????③

222由①得c?3a?b，代入a?b?c得2a(4a?3b)?0，

∵a?0， ∴4a?3b?0????????????④ 由③、④解得a?6，b?8，从而c?10。

题型3：指数、对数方程

?2x?b【例5】(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇

2?a

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函数.

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围. 【解】（1） 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0,即?1?b?0,解得b?1 2?a1??1x?2?1?2?1. 又由f(1)??f(?1)知从而有f(x)?x?1，解得a?2 ??22?a4?a1?a?2x?111???x, （2）解法一：由（1）知f(x)?x?122?12?2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

f(t2?2t)?f(2t2?k)?0等价于f(t2?2t)??f(2t2?k)?f(?2t2?k). 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2?2t??2t2?k.

1即对一切t?R有3t2?2t?k?0,从而??4?12k?0,解得k??

3?2x?1, 解法二：由（1）知f(x)?x?12?222?2t?2t?1?22t?k?1又由题设条件得2?2t2?k?1?0

t?2t?12?22?2即(22t2?k?1?2)(?2t2?2t?1)?(2t2?2t?1?2)(?22t2?k?1)?0

13整理得23t2?2t?k?1，因底数2>1，故3t2?2t?k?0

上式对一切t?R均成立，从而判别式??4?12k?0,解得k??.

【例6】（2008广东 理7）设a?R，若函数y?e?3x，x?R有大于零的极值点，则（ B ） A．a??3

B．a??3

axaxC．a??

13D．a??

ax13【解析】f'(x)?3?ae，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f'(x)?3?ae当有f'(x)?3?aeax?0有正根。

?0成立时,显然有a?0,此时x?13ln(?)，由x?0我们马上就能得到参aa数a的范围为a??3.

题型4：指数函数的概念与性质

x?1??2e,x＜2，则f(f(2))的值为（ C ） 【例7】设f(x)??2log(x?1)，x?2.??3A．0 B．1 C．2 D．3

0?1【解】（C）f(2)?log3(22?1)?1，f(f(2))?2e?2。 e?1f(logx)?x?x(a?0,且a?1)试求函数f(x)的单调区间。 a【例8】已知

t【解】令logax?t，则x=a，t∈R。

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?tx?x?f(t)?a?af(x)?a?a所以即，（x∈R）。

因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。 任取x1，x2，且使0?x1?x2，则

f(x2)?f(x1)

?(ax2?a?x2)?(ax1?a?x1)

(ax1?ax2)(1?ax1?x2)?ax1?x2

xxx?x（1）当a>1时，由0?x1?x2，有0?a1?a2，a12?1，所以f(x2)?f(x1)?0，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。

x?xxx（2）当0

综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。

题型5：指数函数的图像与应用

|1?x|?m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ B ） 【例9】若函数y?()12A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0

1|1?x|【解】?y?()2?1x?1?(2)???2x?1?(x?1)，

(x?1)画图象可知－1≤m<0。 答案为B。

【例10】设函数f(x)?2|x?1|?|x?1|,求使f(x)?22x的取值范围。 【解】由于y?2是增函数，f(x)?22等价于|x?1|?|x?1|?1)当x?1时，|x?1|?|x?1|?2，?①式恒成立； 2)当?1?x?1时，|x?1|?|x?1|?2x，①式化为2x?3)当x??1时，|x?1|?|x?1|??2，①式无解； 综上x的取值范围是?,???。

题型6：对数函数的概念与性质 【例11】（1）函数y?x3 ① 233，即?x?1； 24?3?4??log2x?2的定义域是（ D ）

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A．(3,??) B．[3,??) C．(4,??) D．[4,??) （2）（2006湖北）设f(x)＝lg2?xx2，则f()?f()的定义域为（ B ） 2?x2x（－4，0）?（0，4）A． B．(－4,－1)?(1，4) C．(－2,－1)?(1，2) D．(－4,－2)?(2，4)

2【例12】（2009广东三校一模）设函数f?x???1?x??2ln?1?x?.

(1)求f?x?的单调区间;

(2)若当x???1,e?1?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的取值范围;

(3)试讨论关于x的方程:f?x??x2?x?a在区间?0,2?上的根的个数. 【解】 （1）函数的定义域为??1,???,f??x??2??x?1??由f??x??0得x?0; 由f??x??0得?1?x?0,

则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. (2)令f??x??

?1?e????1?2x?x?2?. ??x?1?x?12x?x?2??1??0,得x?0,由(1)知f?x?在??1,0?上递减,在?0,e?1?上递增,

x?1?e?

由f?1?1?1 ?1??2?2,f?e?1??e2?2,且e2?2?2?2,

e?e?e?1??x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e2?2,故m?e2?2时,不等式f?x??m恒成立.

?e?

9分

(3)方程f?x??x2?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

g??x??1?2x?1?.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1. 1?xx?1所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 所以，当a＞1时，方程无解；

当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，

当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；

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当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a＜2-2ln2时，方程无解.

字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解； a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解； a?(2?2ln2,3?2ln3]时，方程有两个不等的解.

【例13】当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )

yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD

【解】当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=(1－a)x为减函数。 答案：B 【例14】设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围 【解】（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中点公式得D(a+2, log2a(a?4) )。

(a?2)2（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=?= log2,

a(a?4)其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

(a?2)2由S△ABC= log2>1, 得0< a<22－2。

a(a?4)

题型8：指数函数、对数函数综合问题

【例15】在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(

ax

)(0

(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由

1an?2【解】(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()。

210(2)∵函数y=2000(

1ax

)(0

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∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。

则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn， 即(

a2a)+()－1>0， 1010解得a<－5(1+2)或a>5(5－1)。 ∴5(5－1)

7n?∴bn=2000()2。数列{bn}是一个递减的正数数列，

10对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1。

于是当bn≥1时，Bn

因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，

17n?由bn=2000()2≥1得：n≤20。

10∴n=20。

【例16】已知函数f(x)?loga(ax?（1）求函数f(x)的定义域；

（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性 （3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。 解：（1）由ax?∵a＞0，x≥0

x?0 ????x?ax221x)(a?0,a?1为常数）

x?0得x?ax

?x?1 a2∴f(x)的定义域是x?(1,??)。 a2（2）若a=2，则f(x)?log2(2x?x) 设x1?x2?1 ， 则 4(2x1?x1)?(2x2?x2)?2(x1?x2)?(x1?x2)?(x1?x2)[2(x1?x2)?1]?0

?f(x1)?f(x2)

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故f(x)为增函数。

（3）设x1?x2?1a2则ax1?ax2?1

?(ax1?x1)?(ax2?x2)?a(x1?x2)?(x1?x2)?(x1?x2)[a(x1?x2)?1]?0

?ax1?x1?ax2?x2 ①

∵f(x)是增函数， ∴f(x1)＞f(x2)

即loga(ax1?x1)?loga(ax2?x2) ② 联立①、②知a＞1， ∴a∈(1，+∞)。

题型9：课标创新题

【例17】对于在区间?m,n?上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x??m,n?，均有

f(x)?g(x)?1，则称f(x)与g(x)在?m,n?上是接近的，否则称f(x)与g(x)在?m,n?上是非接近的，

现有两个函数f1(x)?loga(x?3a)与f2(x)?loga（1）若f1(x)与f2(x)在给定区间?a?2,a?3?上都有意义，求a的取值范围； （2）讨论f1(x)与f2(x)在给定区间?a?2,a?3?上是否是接近的。 【解】（1）两个函数f1(x)?loga(x?3a)与f2(x)?loga1(a?0,a?1)，给定区间?a?2,a?3?。 x?a1(a?0,a?1)在给定区间x?a?a?2,a?3?有意义，因为函数y?x?3a给定区间?a?2,a?3?上单调递增，函数在y?1给

x?a定区间?a?2,a?3?上恒为正数，

?a?0??0?a?1； 故有意义当且仅当?a?1?(a?2)?3a?0?（2）构造函数F(x)?f1(x)?f2(x)?loga(x?a)(x?3a)， 对于函数t?(x?a)(x?3a)来讲，

显然其在(??,2a]上单调递减，在[2a,??)上单调递增。 且y?logat在其定义域内一定是减函数

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由于0?a?1，得0?2a?2?a?2

所以原函数在区间[a?2,a?3]内单调递减，只需保证

?|F(a?2)|?|loga4(1?a)|?1 ?|F(a?3)|?|log3(3?2a)|?1a?1?a?4(1?a)???a??

1?3(3?2a)??a?当0?a?9?57时，f1(x)与f2(x)在区间?a?2,a?3?上是接近的； 12时，f1(x)与f2(x)在区间?a?2,a?3?上是非接近的

当a?

9?5712【例18】设x?1，y?1，且2logxy?2logyx?3?0，求T?x2?4y2的最小值。

解：令 t?logxy， ∵x?1，y?1，∴t?0。 由2logxy?2logyx?3?0得2t?2?3?0，∴2t2?3t?2?0， t111 ∴(2t?1)(t?2)?0，∵t?0，∴t?，即logxy?，∴y?x2，

22 ∴T?x2?4y2?x2?4x?(x?2)2?4，

∵x?1，∴当x?2时，Tmin??4。

【例19】（2009陕西卷文）设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1?x2???xn的值为（ ） A.

11n B. C. D.1 nn?1n?1答案 B

【解析】 对y?xn?1(n?N*)求导得y'?(n?1)xn,令x?1得在点（1，1）处的切线的斜率k?n?1,在点

（1，1）处的切线方程为y?1?k(xn?1)?(n?1)(xn?1),不妨设y?0,

xn?nn?1则

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123n?1n1x1?x2???xn????...???, 故选 B.

234nn?1n?1

二．【思维总结】

1．nN?a,a?N,logaN?b（其中N?0,a?0,a?1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力

b

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nm48.html