高考数学第一轮复习资料随机事件的概率

第39讲 随机事件的概率 第39讲 随机事件的概率 要点 梳 理 现的次数nA为事件A出现的频数，称事件AnA出现的比例fn(A)＝n为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件． (4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 考点剖析 随机事件的关系 【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 【解析】 件B，C是对立事件，故应选D. 【拓展练习】1.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 【解析】如图画3×4的坐标表格，x轴为基本事件(命中次数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 如图作6×3的坐标表格，x轴为基本事件(点数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。由图可知，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事

设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，由图可知A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?. 故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件． 随机事件的频率与概率 【例2】(2015·陕西文19)随机抽取一个年份，- 1 -

“功夫”文科第一轮复习资料 对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 4 5 6 7 日期 1 2 3 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 日期 8 9 10 11 12 13 14 天气 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 日期 15 16 17 18 19 20 21 天气 晴 晴 阴 雨 阴 阴 晴 日期 22 23 24 25 26 27 28 天气 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 日期 29 30 天气 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一13天，西安市在该天不下雨的概率为15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的“互邻日期对”有16个，其中后一天不下雨的有14个，所7以晴天的次日不下雨的频率为8. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的7概率为8. 【思维启迪】 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 【拓展练习】2. (2012·湖北文2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为( ) A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【解析】 数据落在[10，40)的频率为 2＋3＋4920＝20＝0.45，故选B. 互斥事件、对立事件的概率 【例3】(2015·湖北黄石二模文18）某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设- 2 -

1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 思维点拨 事件A、B、C两两互斥． 【解析】 1101(1)P(A)＝1 000，P(B)＝1 000＝100， 501P(C)＝1 000＝20. 111故事件A，B，C的概率分别为1 000，100，20. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C. ∵A、B、C两两互斥， ∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) 1＋10＋5061＝1 000＝1 000. 61故1张奖券的中奖概率为1 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A＋B) 9891??1＝1－?＝??1 000. 1000100??故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率989为1 000. 【思维升华】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件－的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．错误!错误! 【拓展练习】3.(2015·河南安阳二模5)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( ) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 【解析】“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件， ∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35，故选C. 第39讲 随机事件的概率 用正难则反思想求互斥事件的概率 【例4】(2012湖南文17)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购1至5至9至13至17件及4件 8件 12件 16件 以上 物量 顾客数x 30 25 y 10 (人) 结算时间 1 1.5 2 2.5 3 (分钟/人) 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知得25＋y＋10＝100×55%＝55，x＋30＝100×(1－55%)＝45，所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10 100＝1.9(分钟)． (2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将201频率视为概率得P(A1)＝100＝5， 101P(A2)＝100＝10. 117P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－5－10＝10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分7钟的概率为10. 【温馨提醒】 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将所求

事件转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式． 易错提示 (1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体． (2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误. 1．抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为( ) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 【解析】选B ∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品” 2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( ) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 【解析】选D 由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示， 考点练习 由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件． 3．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数 ②至少有一个是奇数和两个都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个都是偶数 ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 【解析】③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．答案：C 4.从6个男生2个女生中任选3人，则下列- 3 -

“功夫”文科第一轮复习资料 事件中必然事件是( ) A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【解析】 因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有一个男生． 5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动37卡”的概率是10，那么概率是10的事件是( ) A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 【解析】 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A. 6．[2014·河南联考]甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{0,1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) 1527 A.3 B.9 C.3 D.9 【解析】 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9. 设甲、乙“心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2个基2本事件，∴P(B)＝9， 27∴P(A)＝1－9＝9. 7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品． 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ① 8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和- 4 -

黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 【解析】 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50， 50×0.30＝15. 9．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 【解析】 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率5为20＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 10．【2015湖北文2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【解析】设这批米内夹谷的个数为错误！未找到引用源。，则由题意并结合简单随机抽样可知，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，故应选错误！未找到引用源。. 【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算. 【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程 第39讲 随机事件的概率 的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 11．一个人掷骰子(均匀正方体形状的骰子)游戏，在他连续掷5次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第6次奇数点朝上的概率是( ) 1111A.2 B.3 C.6 D.4 【解析】 无论哪一次掷骰子都有6种情况． 其中有3种奇数点朝上，另外3种偶数点朝上． 1故掷第6次奇数点朝上的概率是，故选A. 21112．设事件A，B，已知P(A)＝5，P(B)＝3，8P(A∪B)＝15，则A，B之间的关系一定为( ) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 118【解析】 因为P(A)＋P(B)＝5＋3＝15＝P(A∪B)， 所以A，B之间的关系一定为互斥事件． 13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只7取一个，取得两个红球的概率为15，取得两1个绿球的概率为15，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________． 【解析】 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个718同色球的概率为P＝＋＝. 151515(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1114－P(B)＝1－15＝15. 14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 【解析】 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为 11＋10＋7＋83P＝＝. 6＋7＋8＋8＋10＋10＋115“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是 P＝ 15.(2014·陕西文19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额0 1 000 2 000 3 000 4 000 (元) 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率． 【解析】 (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 150120P(A)＝1 000＝0.15，P(B)＝1 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1× 1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有120×20%＝24(辆)． 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为244 000元的频率为100＝0.24， 由频率估计概率得P(C)＝0.24. 16. (2011·湖南文18）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,1- 5 -

“功夫”文科第一轮复习资料 60,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨112270 140 160 200 0 0 量 142 频率 202020 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 【解析】 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨70 110 140 160 200 220 量 134732频率 202020202020 (2)因为X每增加10，Y增加5 ?yy?y051即??? ?xx?x01021所以y?y0?(x?x0) 2当X＝70时，Y＝460，即x0?70,y0?460 X所以Y＝2＋425， 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) 1323＝20＋20＋20＝10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率3为10. - 6 -

“功夫”文科第一轮复习资料 60,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨112270 140 160 200 0 0 量 142 频率 202020 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 【解析】 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨70 110 140 160 200 220 量 134732频率 202020202020 (2)因为X每增加10，Y增加5 ?yy?y051即??? ?xx?x01021所以y?y0?(x?x0) 2当X＝70时，Y＝460，即x0?70,y0?460 X所以Y＝2＋425， 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) 1323＝20＋20＋20＝10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率3为10. - 6 -

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