点集拓扑学考试题目及答案

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下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。

反例：X??a,b,c? ，规定拓扑 ???X,?,?a??，则当

A??a?时，b和c都是A的聚点。因为b和c的领域只有X一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A\\?a???。 2、欧式直线E1是紧致空间。 答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖?????n,n?|n?Z??，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间X?Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有P1?X?Y??X，P2?X?Y??Y，由投射是连续的，又知X?Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。 4、单位闭区间I与S不同胚。 答：这个说法是正确的。

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下面用反证法证明，反设I与S同胚，则

??1???1??1?f|2\\??:2\\???S1\\?f???也是同胚映射，I?2??2???2??11?1?\\??不连通，则 ?2?1S与不同胚。

?1?S\\??不连通，故矛盾，所以单位闭区间I2??5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。

反例 ：?0,1?紧致但?0,1?不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分） 1、规定f:E\\?0,1??E为

11?x,x?0f?x???f，证明

?x?1x?1是连

续映射，但不是同胚映射。

证明：由于f限制在???,0?与?1,???上连续，由粘接引

?1ff理，连续。但不连续，如???,0?是E1\\?0,1?的闭集，

但?f?1?1?????,0????f?????,0??????,0?不是E的闭集，

1所以f不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。 证明：设X是Hausdorff空间，Y是X的任一子空间，需证Y是Hausdorff空间。?x,y?Y，由X是Hausdorff空间，所以存在x,y在X的开邻域U、V使得U?V??，

U?Y是x在Y中开邻域，V?Y是y在Y中开邻域，

?U?Y???V?Y??U?V?Y??，故Y是Hausdorff空

间。

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3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。

?1f:Y?X连续，只需证f是闭映射，证明：要证明

设A是X的闭子集紧致，所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以f?A?是Y的紧致子集，又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所以f?A?是Y的闭集。

4、设X0是X的既开又闭的子集，A是X的连通子集，则或者A?X0??或者A?X0。

证明：A?X0是A的既开又闭的子集，由于A连通，则或者A?X0??或者A?X0?A即A?X0。 5、证明：道路连通性具有可乘性质。

证明：设?x0,y0?是?x1,y1?是X?Y中两点，X和Y都是道路连通，则有X中道路a，以x0,x1为起始点，又有Y中道路b，以y0,y1为起始点，作X?Y中道路c为：

c?t???a?t?,b?t??，?t?I，则c连接?x0,y0?和?x1,y1?，所以

道路连通性具有可乘性质。

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