工程力学4第三次作业答案 - 图文

材料力学第三次作业答案（单辉祖 第三版）

（8-2（b）、（c），8-3, 8-6, 8-8, 8-9, 8-12（c））

8-2

（b）

解：由图可知，x、y截面的应力分别为

?x??30MPa, ?x?20MPa,　?y?10MPa

截面m-m的方位角为 ??22.5?

将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：

?30?10?30?10?cos45??20sin45? 22??38.28MPa ?30?10?m?sin45??20cos45?

2?0 （c）

?m?解：由图可知，x、y截面的应力分别为

?x?10MPa, ?x?15MPa,　?y??20MPa

截面m-m的方位角为 ???60?

将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：

10?(?20)10?(?20)?cos(?120?)?15sin(?120?) 22?0.49MPa 10?(?20)?m?sin(?120?)?15cos(?120?)

2??20.49MPa

?m?8-3

（a）

确定A

由坐标（10，-15），（-20,15）分别

和B点，然后以AB为直径画圆，得到相应的应力圆。

为确定m-m上的应力，将半径DA沿逆时针方向旋转|2?|?90?至DC处，所得C点即为截面m-m的对应点。

由图示几何关系知，A、C两点关于?轴对称，从而得到

?m?10MPa,　?m?15MPa

（b）

由坐标（40，20），（0,-20）分别确定A和B点，然后以AB为直径画圆，得到相应的应力圆。

为确定m-m上的应力，将半径CA沿顺时针方向旋转|2?|?60?至CD处，所得D点即为截面m-m的对应点。 由图示几何关系知：

AB402?402应力圆半径R???202MPa

22??30?OC?Rcos15??20?202cos15??47.32MPa

???30??Rsin15???202sin15???7.3MPa

?8-6

证明：

方法一：

设任意截面的方位角为?。 图示x、y截面的应力分别为

?x??, ?x?0,　?y??

将上述数据代入任意方向面上的应力分量表达式，有：

cos2??0?sin2???

22??????sin2??0?cos2??0

2?可见任意截面上的正应力始终为?，切应力为0，与方位角?无关。 方法二：

?????????图示应力状态对应的两个点（?，0），（?，0）在坐标系中重合为一点，即应力圆缩为一点（?，0），那么不管任意截面转过多大角度，正应力始终为?，切应力为0。

8-8

（a）

8-8a解析法：

由图可知，x、y截面的应力分别为

?x?40MPa, ?x?20MPa,　?y?20MPa

根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：

?max??x??y1?52.36MPa22 ??(???)?4? =??xyx7.64MPa?min?22?最大应力的方位角

?0?arctan(??x?max??y)??37.2?

故三个主应力分别为

?1?52.36MPa, ?2?7.64MPa,?3?0,????31.72?

8-8a图解法

由坐标（40,20）与（20，-20）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径

AB202?402R???22.36MPa

22?C?30MPa

?1??E?R??C?52.36MPa

?2??D?R??C?7.64MPa ?3?0

半径CA沿顺时针转到CE，故?0取负值。

?0??（b）

?ACE??31.2? 28-8b解析法：

由图可知，x、y截面的应力分别为

?x??40MPa, ?x??40MPa,　?y??20MPa

根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：

?max??x??y1?11.23MPa22 ?(?x??y)?4?x =????71.23MPa?min?22?最大应力的方位角

?0?arctan(??x?max??y)?52.2?

故三个主应力分别为

?1?11.23MPa, ?2?0,?3??71.23MPa,???52.2?

8-8b图解法

由坐标（-40,-40）与（-20，40）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径

AB202?802R???41.23MPa

22?C??30MPa

?1??E?R??C?11.23MPa ?2?0

?2??D?R??C??71.23MPa

半径CA沿逆时针转到CE，故?0取负值。

?ACE?52.0? 2（c）

?0?8-8c解析法：

由图可知，x、y截面的应力分别为

?x??20MPa, ?x?20MPa,　?y?30MPa

根据平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：

?max??x??y1?37.0MPa22 ??(???)?4? =??xyx?min?22??27.0MPa最大应力的方位角

?0?arctan(??x?max??y)??70.67?

故三个主应力分别为

?1?37.0MPa, ?2?0,?3??27.0MPa,????70.67?

8-8c图解法

由坐标（-20,20）与（30，-20）分别确定A与B点，然后以AB为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径

AB502?402R???32.0MPa

22?C?5MPa

?1??E?R??C?37.0MPa ?2?0

?3??D??(R??C)??27.0MPa

半径CA沿顺时针转到CE，故?0取负值。

?0??

?ACE??71.0? 28-9

微元所在截面的剪力和弯矩分别为

Fs?20kN, M??F?1??20kN?m，即梁的上半部分承受拉应力。

微体A、B、C均处于平面应力状态。

微体A位于梁横截面的上边缘，此处拉应力取得最大值，弯曲剪应力为0。 微体A的应力图为

|M|6?20?103?A???60MPa 2Wz0.05?0.2此时?1?60MPa, ?2?0,?3?0,???0

微体B

微体B的应力图为

由梁的弯曲正应力公式，得：

?

|M|?B?h4?1??30MPa

AIz2根据矩形截面梁的弯曲切应力公式，得：

?h?4???233F4y3?20?104?B?s(1?2)??(1??2?)?2.25MPa

2bhh2?0.05?0.2h将其代入平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：

2?max??B?01?30.2MPa22 ??(??0)?4? =??BB?min?22??0.168MPa最大应力的方位角

?0?arctan(??x?max??y)??4.26?

故三个主应力分别为

?1?30.2MPa, ?2?0,?3??0.168MPa,????4.26?

微体C位于梁横截面的中性轴上，此处弯曲剪应力取得最大值，弯曲正应力为0。 微体C的应力图为

3Fs3?20?103?C???3MPa

2bh2?0.05?0.2将其代入平面应力状态的最大和最小主应力计算公式，得：

?max??3MPa12 ??4? =??C?min?2??3MPa此时?1?3MPa, ?2?0,?3??3MPa,????45

?8-12

建立如图空间直角坐标系。

显然?z为主应力，其他两个主应力可由?x，?x与?y确定（图8-12b）。

在???平面内（图8-12c），由坐标（60,40）与（20，-40）分别确定A与B点，然后以AB

AB402?802为直径画圆，与?轴相交于D与E，其半径R???44.72MPa

22?C?30MPa

?D??(R??C)??4.72MPa ?E?R??C?84.72MPa

取F（20，0）对应于主平面z，然后分别以DF与EF为直径画圆，即得三向应力圆。

由上述分析知，主应力为

?1??E?84.72MPa

?2??F?20MPa

?3??D??4.72MPa

最大正应力和最大切应力分别为

?max??1?84.72MPa

?max??1??32?84.72?4.72?44.72MPa

2

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