高等数学练习册第八章

同济版高等数学期末复习

第八章 多元函数微分法及其应用

§8.1多元函数的基本概念

一. 基本作业题

1. 求下列函数的定义域：

（1）z ln(y2 4x 8); （2）z

1

arcsin2 x y

2

2

。

解：定义域为 解：定义域为

y2 4x 8 0即y2 4x 8。 0 2 x2 y2 1即1 x2 y2 2。

2. 求下列极限

1 xy 1ln(x ey)（1）lim ； （2）lim；

4x 1x 0xyx yy 0y 0

解： 解：

1 xy 1

lix 0xyy 0

xy1 li x 0

xy 1)2y 0xy(1

1x

lim

x 2y 0

ln(x ey)x y4

ln32

limln(x ey)

x 2y 0

limx y4

x 2y 0

（3）lim(1 xy) ； （4）lim

x 0y 0

x 0y 0

sin(x2 y2)(x y)e

2

2

x2 y2

。

解： 解：

lim(1 xy)

x 0y 0

1x

lim

1xy

sin(x2 y2)(x2 y2)ex

2

2

y

x 0y 0

y22

lim[(1 xy)] e 1

x 0y 0

lim

sin(x y)1

lim 122

x 0(x2 y2)x 0x yy 0y 0e

x2y

3. 证明极限lim4 不存在。

x 0x y4y 0

x2yky21

lim 证明：取路径x ky趋于(0,0)，则：lim4

x 0x y4x 0k2y2 y4ky 0y 0

2

极限值随k变化，故极限不存在。

§8.2 偏导数

同济版高等数学期末复习

一．基本作业题 1．求下列函数的偏导数

z z,。 x y

（1）z x3y x2y3 ； （2）z sin(xy)；

z z zycos(xy) zxcos(xy)

, 3x2y 2xy3; x3 3x2y2

x y x2xy) y2xy)y

（3）z lncot ； （4）z arctaney；

x

x

zyyy 2tancsc2 xxxx z

;

x

11 e

2xy

1 z ；e y y

xy

11 e

2xy

e

xy

x y2

z1yy tancsc2 yxxx

(5) f(x,y) x y

x2 y2,求fx(3,4)。

fx(x,y) 1 fx(3,4) 1

2.求二阶偏导数

xx2 y2

39 16

25

（1）z x xy xy y； （2）z sin(ax by)。

32232

2z

6x 2y; x2 2z 2x 2y

x y

2z

2x 6y2

y

一．基本作业题

1．求下列函数全微分 （1）z arcsin

2z

2a2cos2(ax by)2

x 2z

2abcos2(ax by)

x y

2z

2b2cos2(ax by)2

y

§8.3 全微分及其应用

x2

； （2）z xy； y

dz 2xydx xdy

2

dz

ydx xdyyy2 x2

同济版高等数学期末复习

（3）求函数z ln(2x y3)在点(1,2)的全微分。

dz

(1,2)

1

5

(dx 6dy) 二．

§8.4多元复合函数的求导法则

一．基本作业题 1．设z x2 y2,x sint,y cost,求

dzdt

。 解：

dz zdxx

dxydy

dt zdy xdt ydt

x2 y2dt

x2 y

2dt sintcost cost( sint) 0 2．设z e

2x y

,x cost,y t3,求

dz

dt

。 解：

dz zdx zdy 2e2x y( sint) 3t2e2x ydt xdt ydt

e2cost t3

( 2sint 3t2) 3．设z xey

,y cosx,求

dzdx

。 解：

dzdx z x z y

( sinx) ey xey( sinx) 4．设z x2

y xy2

,x ucosv,y usinv,求

z u, z v

。 解：

z z x u x u z y y u

(2xy y2)cosv (x2 2xy)sinv 3u2

sinvcosv(cosv sinv)

z v z x x v z y y v (2xy y2)u( sinv) (x2 2xy)ucovs

2u3sinvcovs(sivn covs) u3(si3nv co3sv)

5．设z x

,x u v,y u v z zy,求

u, v

。

同济版高等数学期末复习

z z x z y u x u y u

解：111x

( 2)xyxy1 ()21 ()2

yy

y x

x2 y2

111x

( 2)( 1)xyxy1 ()21 ()2

yy

z z x z y

v x v y v

y xx2 y2

2

2

xy

6．设z f(x y,a)(f z z,。 x y

解：

z

f1 (2x) f2 (axyylna) x

z

f1 ( 2y) f2 (axyxlna) y

2z 2z

7．设z f(x,xy)(f具有二阶连续偏导数）。 ，求2,

y xy

2 z z xf2 x) x2f22 解： y x(f222

y

2z

f22 y) f2 x(f21

y x

§8.5 隐函数的求导公式

一．基本作业题

1．设方程确定隐函数y y(x),求

dy。 dx

xy2

（1） xy lny 0； （2）cosy e xy 0。

解：方程两边对x求导有： 解：方程两边对x求导有：

y x

dy1dy 0dxydx

2

y ( siny) exy(xy y) y2 x2yy 0

dyy

dx1 xy

dyy2 yexy

dx siny xexy 2xy

同济版高等数学期末复习

2．设方程确定隐函数z z(x,y),求

z x,z y

。 （1）2z 3y z2 x3 y2 0 ；

解：方程两边对x求偏导有： 方程两边对y求偏导有：

2

z z z x 2z z x

3x2 0

2 y 3 2z y 2y 0 z2

z 3 2y x

3x

2 2z

y 2 2z（2）ez lnxyz 0。

x

z解：方程两边对x求导有：e

z

z

y(z)

x

xyz 0 zz x x( 1 zez)

z y z

y( 1 zez

)

3．求由方程组所确定的函数的导数或偏导数 （1）

3x 2y z 0

x2 y3 z2

2求dxdz,dydz

； 解：方程组两边同时对z求导得：

3dx

2dy 1 0 dzdz

dx 4z 3y2dy2x 6z dxdydz4x 9y2;dz 4x 9y2

2xdz

3y2dz 2z 0（2） x eu

usinv cosv求 u v

x, y

。 y eu

u解：方程组两边同时对x求偏导，得：

u u v (e sinv) ucosv 1

x x

usinv x eu(sin

(eu cosv) u usinv vv cosv) 1 x x 0

同理，方程组两边同时对y求偏导，得： v y sinv euu[eu

(sinv cosv) 1]

同济版高等数学期末复习

§8.6 多元函数微分学的几何应用

一．基本作业题 1．求曲线x t1 t,y 1 tt

,z t2在t 1处的切线及法平面方程。 解：

在t 1,(x,y,z) (12,2,1), {x (1),y (1),z (1)}, 1

4

, 1,2}

x

1

切线方程： y 2 z 1 1 12

4

法平面方程14(x 1

2

) (y 2) 2(z 1) 0

即

2x 8y 16z 1

2．求曲线x t,y t2,z t3平行于平面x 2y z 4的切线方程。 解： {x (t),y (t),z (t)}, {1,2t,3t2}

由已知得

1,2t,3t

2

1,2,1 0

1 4t 3t2 0 t 1,t 1

3

故所求切线为x 1yx 1y 1z

11 1 2 z 13及

1

2133

3．求曲线 2x2 3y2 z2

9

在点M 3x2

y2 z2

0

0(1, 1,2)处的切线与法平面方程。解：方程组对x求导有：

2x 3y

dydx zdzdx 03x ydydzdx zdx

0解得

dydx 5xdz7x

4y;dx 4z

在点(1, 1,2)有 {8,10,7} x 1y 1z 2

8 10

7

法平面方程为：8(x 1) 10(y 1) 7(z 2) 0

4．求曲面x2

2y2

3z2

21平行于平面x 4y 6z 0的切平面方程。5．求曲面ez z xy 3在点(2,1,0)处的切平面及法平面方程。

同济版高等数学期末复习

§8.7 方向导数与梯度

一．基本作业题 1． 求函数

z 2x2 3y2在点P（1，2）处沿从点P（1，2）到点Q（2，2 ）的方向的方向导数。

解： {1,} cos 1/2,

cos 3/2,

z

4x 1/2 6y 3/2 l

z l

(1,2)

4 1/2 12 3/2 2 6

2． 对函数u xy3 z2 xyz.

（1） 求u xy3 z2 xyz在点P(5,1,2)处沿从点P(5,1,2)到点Q(9,4,14)的方向

的方向导数

（2） 求gradu(5,1,2)

（3） 问此函数在点P(1, 1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。 解：（1）

{4,3,12} cos 4/13,cos 3/13,cos 12/13

u

4/13 (y3 yz) 3/13 (3xy2 xz) 12/13 (2z xy) l u1 (5,1,2)

l13

(2) gradu(5,1,2)

u

x

(5,1,2)i

u y

(5,1,2)

j

u z

(5,1,2)

k i 5j k

(3) 此函数在点p(1, 1,2)处沿其梯度方向的方向导数最大。

gradu(1, 1,2)

max

u x

(1, 1,2)i

u y

(1, 1,2)

j

u z

(1, 1,2)

k i j 5k

u l

(1, 1,2)

gradu(1, 1,2) 27

§8.8 多元函数的极值及其求法

同济版高等数学期末复习

一．基本作业题

（1） 求函数f(x,y) 6(x y) x2 y2的极值。 解：解方程组

f

6 2x 0 2f(3,3) 2f(3,3) 2f(3,3) x

,得驻点(3,3), 2 2 0 f22

xy x y 6 2y 0

y

4 0,A 2 0 故在点（3，3）取得极大值18。

（2） 求点（2，8）到抛物线y2 4x的最短距离。

解：点（2，8）到抛物线距离，就是此点到抛物线上各点(x,y)的距离之最短者，即求函数

d (x 2)2 (y 8)2在条件y2 4x 0下的条件极值。

即d2 (x 2)2 (y 8)2在条件y2 4x 0下求极值。 令L(x,y, ) (x 2)2 (y 8)2 (y2 4x)

Lx 2(x 2) 4 0

x 4

解方程组 Ly 2(y 8) 2 y 0得： 由实际意义d 25

y 4 2

L y 4x 0

（3） 求函数f(x,y) sinx siny cos(x y)的极值（0 x ,0 y )。

44

解：

f

cosx sin(x y) 0 （1） x

,两式相减得cosx cosy x y,x y( 0 x,y ,舍去） f

4 cosy sin(x y) 0 （2）

y

将x y代入（1）式，注意到0 x 13A 1,B ,C 1, 0

24

函数在驻点取得极大值f(

,得驻点(,),466

3

,) 662

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nls4.html