实变函数课程教学大纲

实变函数课程教学大纲

一、课程说明：

1、课程性质：

本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论?和科学研究提供必不可少的基础知识。

它是一学期课程，学时数的安排为： 一学期68=17?4课时，其中习题课17课时。 2、本课程的教学目的与要求：

通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。并且在一定程度上掌握集的分析方法。

通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。

3、先行或后继课程：

实变函数是第五学期开设的专业必修课。是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。它的后继课程课有 概率统计、泛函分析、点集拓扑等。

4、教学时数分配表：

章 节 目 录 第一节．集合与子集合 第二节．集合的运算 第三节．映射与基数 第一章 第四节．Rn中点与点之间的距离*点集的极限点 集 合 n与点集 第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集 第六节．*连续变换与可测集 习题课 第二章 第一节．点集的Lebesgue外测度 课时分配 1 1 4 2 13 4 1 (选学) 4 15 110

Lebesgue 第二节．可测集与测度 4 4 1 1 1 2 测度 第三节．可测集与Borel集的关系 第四节．正测度与矩体的关系 第五节．不可测集 第六节．*连续变换与可测集 习题课 第一节．可测函数的定义及其性质 4 8 4 4 6 2 4 6 24 16 第三章 第二节．可测函数列的收敛 可测函数 第三节．可测函数与连续函数的关系 习题课 第一节．非负可测函数的积分 第二节 .一般可测函数的积分 第四章 Lebesgue 第三节．可积函数与连续函的性质 第四节. Lebesgue积分与Riemann积分的性质 第五节.重积分与累次积分的关系 习题课 总 课 时 数 积分 68 5、使用教材：

普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社， 周民强编著《实变函数论》。

6、教学方法与手段：

本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以

Lebesgue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebesgue测度和积分理论，而后简

述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。

手段：课堂讲授+习题课训练。一些定理的证明学生不易理解，实变函数的内容虽是微积分的进一步深化，但在思想方面却有较大的飞跃，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象的多、这使得初学者往往不太习惯。为使学生能较好的掌握这一过程，教师在讲解时应尽可能将主要概念的产生背景以及概念之间的联系加以介绍，讲解时既要严格论证，又要形象说明，同时要配合典型例题。使学生通过做习题加深对

111

知识点的理解。也可以帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。

7、考核方式：闭卷笔试。 8、主要参考书目：

《实变函数论与泛函分析》,夏道行,严绍宗等人主编,高等教育出版社。 《实变函数》,将泽坚主编，高等教育出版社。

《实变函数论》，曹广福主编，高等教育出版社，2000年。

二、本课程内容：

第一章 集合与点集

第一节（1课时） 集合与子集合

1、教学目的和要求：理解集合的概念，分清集合的元与集合的归属关系，集与 集之间的包含关系的区别。

2、教学要点与知识点：集合的元素、集合的表示； 集合的包含与相等； 空集; 子集，真子集。介绍近代数学的基础 - 集合与映射等有关概念。

3、教学重点与难点：近代数学的基础 - 集合与映射等有关概念。 第二节（1课时）集合的运算

1、教学目的和要求：掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的 概念及其交并表示。

2、教学要点：集合的并、交、补、差、余运算；集合列的上极限集、下极限集。 3、教学知识点：集合的基本运算及集合列的上、下极限集、域的概念。理解集列的收敛、单调集列的概念。

4、教学重点与难点：集合的基本运算及集合列的上、下极限集 第三节（4课时）映射与基数 1、教学目的和要求：

掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。 2、教学知识点：

映射与一一映射、 对等、 Bernstein定理；n维空间中开集的构造；可数集的性质；常见的一些可数集，连续基数集合的基数的性质（无最大基数定理）。

112

建议课时安排（13学时）

3、教学要点：集合势的概念、Bernstein定理；单调集列的收敛性。 4、重点与难点：Bernstein定理及应用

第四节（2课时）R中点与点之间的距离*点集的极限点

1、教学目的和要求：熟练掌握Rn中点集，区间，领域与点之间的距离、了解点集收敛、极限等概念。理解n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。

2、知识点：点集的直径、点的领域、矩体；点集的极限点，Bolzano?Weierstrass定理；集合列的收敛极限点的概念。

3、学习要点： Rn中点集，区间，领域与点之间的距离。

第五节（4课时）R中的基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集 1、教学目的和要求：理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。理解直线上开集、闭集、完备集的构造。理解康托集的构造、特性。

nlCantor集，2、学知识点：R聚点、内点、边界点以及 开集、闭集 Bore集、

nn及运算；有限子覆盖定理；开集构造定理、闭集的构造、Cantor完备集、R中开集的构造。

3、教学要点：聚点、内点、界点。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。

4、教学重点与难点：Borel集、Cantor集以及开集、闭集及完备集的构造。 第六节（1课时）点集间的距离

1、教学目的和要求；理解Rn中点与点集之间的距离的概念及连续延拓。 2、教学要点：点集间的距离及连续延拓。 3、知识点：距离及连续延拓

第二章 Lebesgue 测度 建议课时安排（15学时）

第一节．（4课时）点集的Lebesgue外测度

1、教学目的和要求：理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质，了解并掌握不可测集的存在性这一结论。

2、教学知识点：点集的Lebesgue外测度的定义；外测度的性质；区间的外测度。 3、教学要点： Lebesgue外测度及基本性质。

113

N4、教学重点与难点：Lebesgue外测度及基本性质 第二节．（4课时）可测集与测度

1、教学目的和要求：正确理解Caratheud1ry条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。

2、教学知识点：可测集及其测度的定义； Caratheodory条件；常见的一些可测集与 Ｌ可测集的基本性质。

3、教学要点：Caratheodory条件； Ｌ可测集的基本性质。 4、教学重点与难点：Ｌ可测集的基本性质 第三节．（4课时）可测集与Borel集的关系

1、教学目的和要求：了解开集的可测性和L－可测集的结构 ；以及可测集与

Borel集的关系。熟练掌握常见的Lebesgue可测集。

2、学知识点要点：闭集、开集、Borel集为可测集。 3、教学要点： 可测集与Borel集的关系。 4、教学重点与难点：可测集，Lebesgue可测集。 第四节．（1课时）正测度与矩体的关系

1、教学目的和要求：了解正测度与矩体的关系。

2、教学要点与知识点：可数覆盖的矩体的体积；正测度；正测度与矩体的关系。 3、教学重点与难点：正测度与矩体的关系。 第五节．（1课时）不可测集（说明） 1、教学目的和要求：了解不可测集的例子。 2、教学要点与知识点：不可测集。 3、教学重点与难点：不可测集的构造。 第六节．（选学1课时）*连续变换与可测集。

第 三 章 可 测 函 数 建议课时安排（16课时）

第一节．（4课时）可测函数的定义及其性质

1、教学目的和要求：理解可测函数的定义及其等价描述，了解可测函数类对代数运算及极限运算的封闭性，掌握可测函数与简单函数的关系，熟悉可测函数的性质。

2、学要点与知识点：可测函数的定义及等价定义；可测函数的性质；“几乎处处”的概念

114

3、重点与难点：可测函数的定义及等价定义；可测函数的性质 第二节．（8课时）可测函数列的收敛

1、教学目的和要求：理解依测度收敛概念，了解依测度收敛与几乎处处收敛的关系，掌握 Lebesgue定理 ，Riesz定理 及有关反例，了解一致收敛与几乎处处收敛的关系，了解叶果洛夫定理。

2、教学要点：几乎处处收敛与一致收敛，依测度收敛。叶果洛夫定理，理解并证明叶果洛夫定理Riesz定理，依测度收敛与a,e收敛之间的关系。

3、知识点：依测度收敛；几乎处处收敛；Lebesgue定理 Riesz定理；叶果洛夫定理。 4、重点与难点：Lebesgue定理 Riesz定理；叶果洛夫定理。 第三节．（4课时）可测函数与连续函数的关系

1、教学目的和要求：了解函数的相对连续性及鲁津定理；理解可测函数与连续函数的关系。

2、教学要点：鲁津定理；可测函数与连续函数。 3、知识点：可测函数与连续函数，鲁津定理。 4、重点与难点：鲁津定理。

第四章 Lebesgue积分 建议课时安排（24课时）

第一节．（4课时）非负可测函数的积分

1、教学目的和要求：了解非负可测函数的积分及其积分性质，Levi引理和Fatou引理。

2、教学要点：非负可测简单函数的积分；非负可测函数的积分、及性质，Levi引理和Fatou 引理。

3、知识点：非负可测简单函数的积分及性质；Levi引理和Fatou引理。 4、重点与难点：Levi引理和Fatou引理 第二节 .（6课时）一般可测函数的积分

1、教学目的和要求：掌握简单函数的Lebesgue积分的定义，非负可测函数的Lebesgue积分的定义，了解一般可测函数的Lebesgue积分的定义， 熟练掌握Lebesgue积分基本性质，熟练掌握Fubini定理，了解一般集上的测度和积分理论概要，掌握Lebesgue积分的三个极限定理，注意分析这些定理的条件,并理解证明思路。

2、教学要点：积分的定义与初等性质；控制收敛定理及性质。 3、教学知识点：Lebesgue积分，控制收敛定理。

115

4、教学重点与难点：Lebesgue积分，控制收敛定理。 第三节. （2课时）可积函数与连续函数的性质

1、教学目的和要求：掌握绝对连续函数概念和性质，理解可积函数与连续函数的关系，了解连续函数逼近可积函数及积分的平均连续性。

2、教学要点：绝对可积性；绝对连续函数的定义；绝对连续函数和有界变差函数的关系；绝对连续函数的例子。

3、知识点：绝对可积性；绝对连续性。

第四节. （4课时）Lebesgue积分与Riemann积分的性质

1、教学目的和要求：掌握Lebesgue积分与Riemann积分的关系，了解Riemann可积函数的构造。

2、教学要点：Lebesgue积分与Riemann积分的关系与性质；Riemann可积函数的构造。

3、知识点： Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 4、教学重点与难点：Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 第五节. （6课时）重积分与累次积分的关系

1、教学目的和要求：掌握并会运用Fubini定理，了解卷积函数与分布函数。 2、教学要点：Fubini定理、积分的几何意义、卷积函数与分布函数。 3、教学知识点：Fubini定理；卷积函数与分布函数 4、教学重点与难点：Fubini定理

116

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nlmr.html