随机过程习题答案
更新时间:2023-11-23 12:40:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx和my,它们的自
相关函数分别为Rx(?)和Ry(?)。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案:
(1)Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?
利用x(t)和y(t)独立的性质:Rz(?)?E?x(t??)x(t)?E?y(t??)y(t)???Rx(?)Ry(?) (2)Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?E?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?
仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:Rz(?)?Rx(?)?2mxmy?Ry(?)
2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2
的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。
电流:i(t)
电压:x(t) R C 电压:y(t)
答案:
(1) 该系统的系统函数为H(s)?Y(s)1? X(s)1?RCs则频率响应为H(j?)?1
1?jRC?n0 2而输入信号x(t)的功率谱密度函数为PX(j?)?该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: PY(j?)?PX(j?)H(j?)?2n0/2 21??RC??2对PY(j?)求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:
1RY(?)?2?????PY(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1??RC?2?2ed?
?
(2) 线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。因此,为了求输
出的一维概率密度函数,仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。 均值:已知输入均值mx=0,则输出均值my=mxH(0)=0
2方差:RY(0)?Var(Y)?my
因为均值为0,所以方差Var(Y)?RY(0)?一维PDF:略
12?n0/2???1??RC?2?2d?
?
3、 理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为B,其在通带的频率增益为1。假定输入是均
值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的平均功率;(3)求输出信号的一维概率密度函数。 答案:类似上一题,仅需注意的是:
(a) 此处滤波器的频率响应为H(j?)???1,?02?(fc?B/2)???2?(fc?B/2)
otherwise(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分,也即等于输出信号y(t)的自相关在??0处
的值,即RY(0)
4、 设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI系统所得的输出
为y1(t),x2(t)通过同一个LTI系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。 答案:就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。
由于x1(t)与x2(t)为零均值,显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。 所以,我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。
设LTI系统的单位冲激响应为h(t),则: y1(t)??????x1(t??)h(?)d?
y2(t)??x2(t??)h(?)d?
?? 所以有:
???E?y1(t)y2(t)??E?x1(t??)h(?)d??x2(t?v)h(v)dv????????? ?E?????????x1(t??)x2(t?v)h(?)h(v)d?dv?????12?
????????E?x(t??)x(t?v)?h(?)h(v)d?dv????? 再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质,则有:
E?y1(t)y2(t)????E?x(t??)?E?x(t?v)?h(?)h(v)d?dv?0,从而完成证明。
12?
教材:2.8和2.9题 ?答案略
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