概(1)答案
更新时间:2023-12-04 16:52:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. (1) 掷一颗骰子,出现奇数点. (2) 掷二颗骰子,
A=“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点.” (3)将一枚硬币抛两次, A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】()1???12,,3,4,5,6?,A??13,,;5?
(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C(1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C (3) A,B,C都发生; (4) A,B,C (5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C
(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生. 【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC
(4) A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
1
(5) ABC=ABC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.指出下列等式命题是否成立,并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B; (2) AB=A∪B; (3) AB∩C=ABC;
(4) (AB)( AB)= ?;
(5) 若A?B,则A=AB;
(6) 若AB=?,且C?A,则BC=?; (7) 若A?B,则B?A;
(8) 若B?A,则A∪B=A.
【解】(1)不成立.特例:若Α∩B=φ,则ΑB∪B=B.
所以,事件Α发生,事件B必不发生,即Α∪B发生,ΑB∪B不发生. 故不成立.
(2)不成立.若事件Α发生,则A不发生,Α∪B发生, 所以AB不发生,从而不成立. (3)不成立.AB,AB画文氏图如下:
所以,若Α-B发生,则AB发生, A故不成立.
(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.
(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.
(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.
(7)不成立.画文氏图,可知B?A.
2
B不发生,
(8)成立.若事件Α发生,由A?(AB),则事件Α∪B发生.
若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.
若事件B发生,由B?A,则事件Α发生.
4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A?B)=0.3,求P(AB). 【解】 P(AB)=1?P(AB)=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1) 在什么条件下P(AB (2) 在什么条件下P(AB 【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
【解】 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
7.
11113++?= 44312452张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352
8.
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=
115
=()(亦可用独立性求解,下同) 757(2) 设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
6565
P(A2)=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1?P(A1)=1?(
15
)7
9. 从一批由45件正品,5件次品组成的产品中任取3件,求其中恰有一件次品的概率.
3
3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次
21C45C5P?3.
C50品的取法为CC24515种,所以所求概率为
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n n?mn【解】(1) P(A)=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有PN种,n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正 mn?m品中取m件的排列数有PM种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种, 故 mn?mCmnPMPN?MP(A)= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP(A)= CnN可以看出,用第二种方法简便得多. (3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序,n种,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故 mn?mn P(A)?CmM(N?M)/Nn此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M,则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N?? 4 mn?m 11. 在电话号码簿中任取一电话号码,求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0,1,?,9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列 444问题.用10个数去排4个位置,有P10种排法,故所求概率为P?P10/10. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太 弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少? 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013. 7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}(i=2,3),显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A214. A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求: (1) 两粒都发芽的概率; (2) 至少有一粒发芽的概率; (3) 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽},(i=1,2) (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215. A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 3次正面才停止. (1) 问正好在第6次停止的概率; (2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131224?2 ?【解】(1) p1?C5()() (2) p2?222325/32516.0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球},i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 5 222233
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