第十二章 微分方程

第十二章 微分方程

§12.1微分方程的基本概念 课后习题全解

1． 指出下列微分方程的阶数：

知识点：微分方程阶的定义

★（1）x(y?)2?4yy??3xy?0；

解：?出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。(?(y?))

★（2）xy??2?2y??xy?0；

2解：?出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴ 方程的阶数为2。

★（3）xy????5y???2xy?0；

解：?出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）(7x?6y)dx?(x?y)dy?0。

思路：先化成形如 F(x,y,y?,?,y(n))?0的形式，可根据题意选x或y作为因变量。 解：化简得

dydx6y?7xx?y? ，?出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

2? 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

知识点：微分方程的解的定义 。

思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）xy??2y， y?5x；

22解：将y??10x， y?5x代入原方程得

左边?x?10x?2?5x22?2y?右边，

所以y?5x是所给微分方程的解。

★（2）

y????y?0,y?C1cos?x?C2sin?x；

2

解： y????C1sin?x??C2cos?x，

将y?????C1cos?x??C2sin?x，y?C1cos?x?C2sin?x ， 代入原方程得 ：

左边?y????y???C1cos?x??C2sin?x??(C1cos?x?C2sin?x)?右边， 所以y?C1cos?x?C2sin?x是所给微分方程的解。

★ （3）

222222y???2xy??2yx2?0,y?C1x?C2x；

2解：将y?C1x?C2x2，y??C1?2C2x ，y???2C2 ，

代入原方程得：

左边=y???2xy??2yx2?2C2?2C1?4C2xx?2(C1x?C2x)x22?0?右边?

所以y?C1x?C2x是所给微分方程的解。

★（4）

2y???(?1??2)y???1?2y?0? y?C1e?1x?1x?C2e?2x?2x ；

22解：将y?C1e?C2e?2x，y??C1?1e?1x?C2?2e，y???C1?1e?1x?C2?2e?2x，

代入原方程得：

左边?y???(?1??2)y???1?2y

?C1?1e2?1x?C2?2e2?2x?(?1??2)(C1?1e?1x?C2?2e?2x)??1?2(C1e?1x?C2e?2x) ?0?右边 ，

所以y?C1e?1x?C2e?2x是所给微分方程的解。

★★ 3. 验证由方程

y?lnxy所确定的函数为微分方程(xy?x)y???xy??yy??2y??0 的解；

2解： 将y?lnxy的两边对x求导得： y??再次求导得：

1x?1yy?，即y??yxy?x。

y???y?(xy?x)?y(y?xy??1)(xy?x)2??xy??y?y(xy?x)22?1xy?x?(?xyy??yy??y?)。

2

注意到由y??1x1?1yy? ，可得

xyy??xy??1，

所以 y???xy?x?[?(xy??1)y??yy??y?]?1xy?x2?(?xy??yy??2y?)，

从而 (xy?x)y???xy??yy??2y??0 ， 即由y?lnxy所确定的函数是所给微分方程的解。

2注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。

★ 4.

y?Cx?1C （C是任意常数）是方程xy???yy??1?0的通解，求满足初始条件yx?0?2的

特解。

解：将初始条件yx?0?2，代入通解得 2?12?x1C，从而C?12，

所以所求特解为y?★5.

x?2。

（C1,C2为任意常数）是方程y???2y??y?0的通解，求满足初始条件

y?(C1?C2x)eyx?0?4,y?x?0??2的特解。

解：将y将y?x?0?4，代入通解得 C1?4， 所以 y??C2e?x?(4?C2x)e?x，

x?0??2，代入上式得 ?2?C2?4，所以 C2?2，

?x所以所求特解为 y?(4?2x)e★★6.设函数

2。

y?(1?x)u(x)是方程y??221?xy?(1?x)的通解，求u(x)。

y1?x?(1?x)u(x)，

33解： 由题意得 y??(1?x)u?(x)?2(1?x)u(x)，即

2代入所给微分方程得 (1?x)u?(x)?2(1?x)u(x)?2(1?x)u(x)=(1?x)， 即 u?(x)?1?x，

2积分得 ：u(x)??(1?x)dx=

x2?x?C (C为任意常数)即为所求。

★★7 曲线上点

P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分，试写出该曲线满足的微

分方程。

解：设曲线为y?y(x)，则曲线上点P(x,y)处的法线斜率为?1， y?由题目条件知PQ中点的横坐标为0，所以Q点的坐标为(?x,0)， 从而有

y?01??， x?xy?即yy??2x?0 为该曲线满足的微分方程。

★★★8.求连续函数

f(x)使它满足?f(tx)dt?f(x)?xsinx。

01思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条

件。

解：令u?tx，则du?xdt ，且有t?0,u?0，t?1,u?x，

原方程化简为

?x0f(u)?1xdu?f(x)?xsinx，

2即

?x0f(u)du?xf(x)?xsinx，

2两边关于x求导得f(x)?f(x)?xf?(x)?2xsinx?xcosx， 化简得f?(x)??2sinx?xcosx， 两边积分得 f(x)??(?2sinx?xcosx)dx?cosx?xsinx?C 即为所求函数。

§12.2 可分离变量的微分方程

课后习题全解

2． 指出下列微分方程的通解：

知识点：可分离变量微分方程的解法。

★ （1） xy??ylny?0；

11dy?dx， ylnyx11dy??dx， ylnyx解： 分离变量得

两边积分得

?求解得 lnlny?lnx?lnC， 从而 lnlny?lnCx，即lny?Cx， 故通解为y?eCx。

注：积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例：lnlny?lnx?lnC改写为ln(lny)?lnx?lnC，从而ln(lny)?lnCx，即lny?Cx，故通解为y?e

Cx。

★（2）x(y2?1)dx?y(x?1)dy?0；

2解：分离变量得

yy?1y2dy??xx?1xx?122dx，

两边积分

?y?12dy???1222dx，

即

12lny?1??22lnx?1?C1，

2C1化简得 (y?1)(x?1)??e22，

故通解为(y★（3）xydx?1)(x?1)?C，其中C为任意常数。

?1?xdy?0； 1ydy??x1?x1ydy?22解：分离变量得 dx，

两边积分得

???x1?x2dx，

即 lny?1?x2?C1，

2故通解为y?C2e1?x，其中C2??eC1为任意非零常数。

而y?0显然也为原方程的解，

1?x2所以通解为y?Ce，C为任意常数。

注：解题过程中任意常数出现e的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范

围可否包括零。

★(4) xdy?dx?edx；

1eyy解： 分离变量得

两边积分得 即 ln1?e?y?e?11ydy?1xdx，

?1dy??xdx，

1?lnx?lnC，

?y故通解为1?e?Cx。

注：其中?

1e?1ydy??1?ee?y?ydy??d(1?e1?e?y)?y?ln1?e?y?C

?a1x?b1y?c1思路：先化成形如?f??ax?by?cdx22?2dy?a1x?b1y?c1?0a1b1??，由于，所以联立?无解。??ax?by?c?0ab?2222?2做变换u?a1x?b1y即可求得通解。

x?y?0?解：原方程化简为 ，联立?无解，无法应用平移变换。 ??3x?3y?4?0dx3x?3y?4?dyx?y令u?x?y，则代入原方程得

dudx?1?udydx，

dudx?1?4?3u?4?2u4?3u3?，

分离变量得

3u?42u?422u?43两边积分得 u?lnu?2?x?C。

2将u?x?y代入得

du?dx， 即 (2)du?dx，

32(x?y)?lnx?y?2?x?C2，

化简得x?3y?2lnx?y?2?C 即为所求通解。

★★ 6. 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。在

2t?10s时，速度等于v?50cm/s， 外力为F?4g?cm/s， 问运动1分钟后的速度是多少？

解： 已知F?k故4?kt2， 并且当t?10s时， v?50cm/s，F?4gcm/s ， v10t， 从而k?20， 因此F?20。 50vdvdt?20tv，

又由牛顿定律F?ma，即1?故vdv?20tdt， 即为速度与时间应满足的微分方程。 两边积分得

12v?10t2?C，即v?220t2?2C。

由初始条件t?10s时， v?50cm/s，有

12?502?10?102?C，解得 C?250，

因此 v?20t2?500。

20?602?500?269.3cm/s即为所求。

且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

当t?60s时， v?★★ 7.求一曲线的方程，该曲线通过点(0,1)解：设曲线方程为y?f(x)，切点为P(x,y)，则与原点连线斜率为

yx，

由题意得曲线满足的微分方程为

dydx??xy ， 即 ydy??xdx，

两边积分得

y222??x22?C2，

方程通解为x?y2?C 。

又曲线通过点(0,1)，代入通解得 0?1?C，

22 所以所求曲线方程为x?y?1。

??★★★8 设有连结点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧O A? 对于O A上任一点P(x,y)? 曲线弧??O P与直线段OP所围图形的面积为x? 求曲线弧O A的方程。

?解： 设曲线弧O A的方程为y?y(x)，由题意知满足下面方程

2

?0xy(x)dx?1xy(x)?x2， 2方程为积分形式的方程，需化为微分方程。

y11y(x)?xy?(x)?2x， 即y???4为齐次方程。

x224ydu令u?? 则有 u?x?u?4， 即du??dx，

xdxx两边求导得 y(x)?两边积分得 u??4lnx?C 。 将u?

y

代入上式得方程的通解 y??4xlnx?Cx 。 x

由于A(1,1)在曲线上，即y(1)?1，代入通解求得C?1， 从而所求曲线方程为y??4xlnx?x。

注：积分化为微分形式的方程，往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号。

★★9 某林区现有木材

10万立方米，如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比，假使10年内这林区

能有20万立方米，是确定木材数p与时间t的关系。

解：由题意得

dpdt?kp 且 pt?0?10,p1pt?10?20。

方程为可分离变量类型，分离变量

dp?kdt，

两边积分得通解为 p?Cekt。

代入初始条件得 C?10,k?ln210，

所以所求函数关系为p?10?2t10 。

1000尾，在时刻t，鱼数y是时间t的函数y?y(t),其变化

★★10 在某池塘养鱼，该池塘内最多能养鱼

率与鱼数y及1000-y成正比。已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养t月后池塘内鱼数y(t)的公式。

解：由题意得：

dydt?ky(1000?y) （k为比例系数）且 yt?0?100,yt?3?250。

可分离变量类型方程

1y(1000?y)ydy?kdt ，

两边积分得通解为

1000?y代入初始条件得 C??Celn33000t31000kt。

19,k? ，

所以所求函数关系为y?1000?39?3t3。

§12.3 一阶线性微分方程

1.求下列微分方程的解：

知识点：一阶线性微分方程的解法。

★(1)

dydx?2xy?4x；

解：P(x)?2x ，Q(x)?4x，代入公式得

?2xdx2xdxy?e?(?4x?e?dx?C)

?e?x2(?4x?edx?C)

x2?e?x2(2ex2?C)?Ce?x2?x2?2，

原方程通解为y?Ce?2。

★(2)

dydx?1xy?2x；

2解：P(x)??1x，Q(x)?2x， 代入公式得

2

y?e?xdx1[?2x?e22??xdx1dx?C]

?x(2x??1xdx?C)

23?x(x?C)?x?Cx。

★(3) (x?2)dy?y?2(x?2)3； dxdy1?y?2(x?2)2。 dxx?21x?21解：原方程变形为

其中P(x)??，Q(x)?2(x?2)，

1dxx?2dx2代入公式得 y?e?x?2dx[?2(x?2)?e2???C]

?(x?2)[?2(x?2)2?21dx?C] x?23?(x?2)[(x?2)?C]?(x?2)?C(x?2),

即为原方程通解。

★(4) (x2?1)y??2xy?4x ；

2解：原方程变形为y??2xx?12y?4x22x?14x22。

其中P(x)?2xx?1?2，Q(x)?x?12 ，

代入公式得y?e?x2?1dx2x(?4x2x?12?e?x2?1dx2xdx?C)

?1x?12[?4x2x?1?(x?1)dx?C]?212x?13(4x?C)

3 即为原方程通解。

★★★(5) (y2?6x)dy?2y?0； dx思路：微分方程中函数关系可以依解题方便来定。本题中若将y看作x的函数，不便解题，若将x看作y的函数，则可改写成一阶线性微分方程

dxdy?P(y)x?Q(y)，通解公式为

?P(y)dyP(y)dyx?e?[?Q(y)?e?dy?C]。

解：原方程变形为：

dxdy?3yx??12y。

令P(y)??3y，Q(y)??12y，

代入公式得 x?e?ydy3??dy1[?(?y)?eydy?C]

23?y3(?即为原方程通解。

★★ (6)

12?y?12131?y(?C)?y?Cy3 dy?C)32y2yydx?(1?y)xdy?edy ；

y思路：同题（5） 解： 原方程变形为

dxdy?1?yyx?eyy。

令 P(y)?1?yy ，Q(y)?eyy?(，

1y1代入公式得原方程通解为x?e??1)dy(?eyeyy?e?(y?1)dydy?C)

2y ?1ye?y[?y?yedy?C]?y1ye?y?(e2?C)

1e?(?Cey2

★★★(7)

y?y)。

dydx?1xcosy?sin2y；

思路：同题（5） 解： 原方程变形为

dxdy?xcosy?sin2y，即

dxdy?xcosy?sin2y。

令 P(y)??cosy ，Q(y)?sin2y，代入公式得 x?e ?e ?e

?cosydy(sin2ye??cosydydy?C)

?siny(?sin2ye?sinydy?C)?e?sinysiny?(?2sinycosyesiny?sinydy?C)

?sinysiny?(??2sinyde?C) ?e?(?2sinye?siny?2?edsiny?C)

受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比(比例系数k1?0)而方向与初速一致，又介质的阻力与速度成正比(比例系数k2?0)， 求反映这质点的运动规律的函数。

v0解：设数轴为x轴? v0方向为正轴方向，

t时刻位移x(t)，

Ox(t)x由题意得微分方程 x???k1x?k2x? ? 即x???k2x??k1x?0， 初始条件为xt?0?0,x?t?0?v0。

2微分方程的特征方程为r?k2r?k1?0，

其根为r1?2?k2?k2?4k12， r2??k2?k2?4k122，

2?k2?k2?4k1故微分方程的通解为x?C1e由x2t2?k2?k2?4k1?C2e2t?

t?0?C?C2?0?0,x?t?0?v0，得?1? 解之得

Cr?Cr?v220?11v02k2C1??4k1? C2??v02k2。

?4k12?k2?k2?4k1 因此质点的运动规律为 x?v02k2?4k1(e2t2?k2?k2?4k1?e2t)。

★★★★8. 设圆柱形浮筒， 直径为0.5m， 铅直放在水中， 当稍向下压后突然放开， 浮筒在水中上下

振动的周期为2s， 求浮筒的质量。

解： 设?为水的密度， S为浮筒的横截面积， D为浮筒的直径， 且设压下的位移为x ，

d2xd2x则 f???gS?x ， 又f?ma?m， 因此 ??gS?x?m，

dt2dt2即mdxdt22??gSx?0。

微分方程的特征方程为 mr2??gS?0， 其根为 r1, 2???gSmi，

故微分方程的通解为 x?C1cos?gSmt?C2sin?gSmt。

化为 x?Asin(?gSmt??)，

由此得浮筒的振动的频率为???gSm。

因为周期为T?2， 故

2???2??gSm?2， m?2。 ?gS?2由??1000kg/m， g?9.8m/s， D?0.5m

2 得 m?★★★9.长为

?gS?2?1000?9.8?0.54?2?195kg。

6m的链条自桌面上无摩擦向下滑动，假定在运动开始时，链条自桌面上垂下部分已有一半

长，试问需要多长时间链条才全部滑过桌面。

解：设于时刻t链条垂下Sm，链条的密度为?，

dsdt22则6???sg, 且 Sgt?0?3,g6dSdtt?0?0。

两次积分得S?C1e6t?t?C2e，

代入初始条件得C1?C2?3,(C1?C2)g6?0，则C1?C2?23。

从而S?23ge6t?23?g6te?3chg6t，

因此t?g6archS3?6gln(S3?S29?1)。

当S?6时，t?6gln(2?3)S。

★★★10? 在

R,L,C含源串联电路中? 电动势为E的电源对电容器C充电? 已知E?20V，

C?20?F(微法)? L?0.1H(亨)? R?1000?， 试求合上开关K后电流i(t)及电压Uc(t)? ???RCUc??Uc?E， 解： (1) 由回路定律可知 LCUc???即 UcRL??Uc1LCUc?ELC，

且当t?0时，Uc??0 。 ?0，Uc 已知R?1000?，L?0.1H， C?20?F， 故

R1000??104， L0.111??5?107， ?6LC0.1?0.2?10E?5?107E?5?107?20?109。 LC47c

???10Uc??5?10U因此微分方程为Uc (2)解方程： 微分方程的特征方程为r其根为r1,2??5?10332?10。

79?10r?5?104?0，

?5?10i，

?5?10t3 因此对应的齐次方程的通解为 Uc?e 由观察法易知U*c[C1cos(5?10)t?C2sin(5?10)t]。

33?20为非齐次方程的一个特解。

因此非齐次方程的通解为 Uc?e?5?10t3[C1cos(5?10)t?C2sin(5?10)t]?20。

c33 由当t?0时，U??0， 得C1?C2??20。 ?0，Uc?5?10t3 因此 Uc?20?20e[cos(5?10)t?sin(5?10)t](V)，

333??0.2?10?6uc??4?10?2e?5?10tsin(5?103t)](A)。 i(t)?Cuc★★★★ 11. 一链条悬挂在一钉子上? 起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m? 分别在以下两种

情况下求链条滑下来所需的时间；

(1) 若不计钉子对链条所产生的摩擦力。

(2) 若摩擦力为1m长的链条的重量。

解： (1)设在时刻t时， 链条上较长的一段垂下xm， 且设链条的密度为?，

则向下拉链条下滑的作用力 F?x?g?(20?x)?g?2?g(x?10)， 由牛顿第二定律， 有 20?x???2?g(x?10) ， 即x???gx??g。 10g， 10微分方程的特征方程为 r2?g10?0， 其根为r1???g10tgtg，r2?10故对应的齐次方程的通解为X?C1e由观察法易知X

??C2e10。

?10为非齐次方程的一个特解，

故通解为 x?C1e?g10tg?C2e10t?10。

由x(0)?12及x?(0)?0，得C1?C2?1，

?g10tgt因此特解为x?e?e10?10。

?g10tg 当x?20? 即链条完全滑下来时，有e解之得所需时间 t??e10t?10?

10ln(5?26)s。 g (2)此时向下拉链条的作用力变为F?x?g?(20?x)?g?1?g?2?gx?21?g ，

由牛顿第二定律有20?x???2?gx?21?g，即x????g10tgtgx??1.05g。 10 微分方程的通解为 x?C1e?C2e10?10.5?

3。 4 由x(0)?12及x?(0)?0，得C1?C2?g10g3?因此特解为 x?(e4t?e10t)?10.5? ，

3? 当x?20? 即链条完全滑下来时有(e4解之得所需时间 t?g10tg?e10t)?9.5?

1019422ln(?)s。 g33

解：原方程变形为

dydx?y(xy?1)x(xy?1)x?du，

令u?xy，y?ux，

dydxdx2x?u，

代入原方程化简得 xdudx?u?u(u?1)u?1，

即xdudx?2u2u?1Cux2为可分离变量类型方程，

求通解得

?e?1u。

将u?xy代入上式得：

?1xy原方程的通解为 Cy?xe。

★★★(4)

dydx?xy2?sinx2ydydx ；

解：原方程变形为2ydudx?xy2?sinx，

令u?y，

2?2ydudxdydx，

代入原方程化简得 即

?xu?sinx，

dudx?xu?sinx 为一阶线性微分方程。

?xdx(sinxe??xdxdx?C)?e?x2x2求得通解u?e原方程通解为y2(?e?x22sinxdx?C)。

2?e2(?e?x22sinxdx?C)。

注：1.课本答案有误；

2.e??x22sinxdx积分没有办法有初等函数表示，可保留。 ydydx?cosxsin2★★★(5) cosy?siny；

解：令u?siny，

dudx?cosydydx，

代入原方程化简得

dudx?ucosx?u，

2

即

dudx?u?ucosx 为贝努里微分方程。

2名称 标准形式 可降通解及解法 解法：积分n次 y(n)?f(x)型 y???f(x,y?)型 阶型 解法：设y??p(x)，方程化为p??f(x,p)，求得通解y??p??(x,C1)，再积分即得原方程通解 y???(x,C1)dx?C2。 y???f(y,y?)型 解法：设y??p(y)，y???pdpdy，方程化为pdpdy?f(y,p)，求得通解y??p??(y,C1)，分离变量积分得原方程通解为 ??(y,C1)?x?C2。 令z?u?1dy，

dzdxdzdx??u?2dudx，

代入原方程得 ?z??cosx 为一阶线性微分方程，

x??1dx(?cos?xe?dxdx?C)?e?x(?e(sinx?cosx)?C)

利用通解公式得z?e?2化简得 z??即u?1sinx?cosx22?1?Ce?x?x，

??sinx?cosx?Ce??，

原方程的通解为(siny)sinx?cosx2?Ce?x。

§12.5 可降阶的二阶微分方程

内容概要

课后习题详解

1．求下列微分方程的通解：

★(1)

y???e3x?sinx ；

解：积分一次 y??积分两次 y??(e3x?sinx)dx?13e3x?cosx?C1，

13x13x(e?cosx?C)dx?e?sinx?C1x?C2， 1?3919e3x原方程的通解为 y??sinx?C1x?C2。

★(2)

2y???1?y?； 解： 令p(x)?y?，则原方程化为 p??1?p2， 即

1dp?dx，

1?p2两边积分得 arctanp?x?C1 ，即y??p?tan(x?C1)， 从而 y??tan(x?C1)dx??ln|cos(x?C1)|?C2，

原方程的通解为 y??ln|cos(x?C1)|?C2。

★(3)

y???y??x，

解：令p(x)?y?， 则原方程化为 p??p?x，

由一阶线性非齐次方程的通解公式得：

dx?dxx?xxp?e?(?x?e?dx?C1)?e(?xedx?C1)?C1e?x?1，

即 y??C1ex?x?1 ，

12x?x?C2， 2于是 y?(C1ex?x?1)dx?C1ex??原方程的通解为 y?C1ex?12x?x?C2。 2★★ (4)

y???y?21?y?0?

dp， dy解： 令p(x)?y?， 则y???pdpdyp2原方程化为p?1?y?0， 即

1pdp?1y?1dy，

两边积分得 lnp?lny?1?lnC1， 即p?C1(y?1)，

故 y??C1(y?1)， 即

1y?1dy?C1dx，

两边积分得原方程的通解 lny?1?C1x?C2。

★★★(5) xy???y??xsiny?x

解法一：令p(x)?y?， 则y???p?，

代入原方程化简得 xp??p?xsinpx， 即p??px?sinpx，

为齐次微分方程，令

px?u(x)，则p??xu??u，

代入方程得xu??u?u?sinu，为可分离变量方程， 两边积分

?sinu1dp??x1dx，解得lntany?xu2?lnx?lnC1，

化简得 u?2arctanC1x，即从而y??2xarctanC1x， 两边积分得y??2arctanC1x ，

?2xarctanC1xdx??xarctanC1x?2?arctanC1xdxC1x2212

?1?C2x2dx

C1x??xarctanC1x?21C121?21C1dx，

??Cx111?Cx1C1?xarctanC1x?2dx??1?C121x2dx

解得y?xarctanC1x?2C1?1C21arctanC1x?C2，(C1?0)；

若C1?0，则y??0，y?C2。

解法二：令p(x)?y?x， 则y???xp??p，

2代入原方程化简得 xp??xp?xp?xsinp， 即xp??sinp为可分离变量方程，

两边积分

?sin1pdp??xdx，

1解得lntanp2p2?lnx?lnC1，

y?x化简得tan?C1x，p?2arctanC1x，即?2arctanC1x ，

从而y??2xarctanC1x， 两边积分y??2xarctanC1xdx??arctanC1xdx2

?xarctanC1x?2?1?CC1x221x2dx

C1x??xarctanC1x?221C12?21C1dx

??C?111?C1xdx?1C1?xarctanC1x?2?1?C121x2dx，

解得y?xarctanC1x?2xC11C12arctanC1x?C2,(C1?0)，

若C1?0，则y??0，y?C2。

★★★ (6)

y???y??y?。

dp， dy3解： 令p(y)?y?， 则y???p 原方程化为 pdpdp?p3?p， 即p[?(1?p2)]?0? dydy由p?0得y?C， 这是原方程的一个解； 由

dp?(1?p2)?0得arctanp?y?C1即y??p?tan(y?C1)， dy从而 x?C2??1dy?lnsin(y?C1)，

tan(y?C1)故原方程的通解为y?arcsinex?C2?C1。

★★ 2. 求微分方程

y???32y满足初始条件ydp， dy2x?0?1，y?x?0?1的特解。

解：令p(x)?y?，则y???pdpdy2原方程化为 p?32122y， 即pdp?32ydy，

2两边积分得 由y12p?y?312C1， 即y???y?C1。

3x?0?1，y?3x?0?1得C1?0，

?32所以y??y， 从而y2dy?dx，

两边积分得 ?2y?12?x?C2，

由yx?0?1，得C2??2，

?2故原方程的特解为y?4(x?2)★★3? 试求

。

y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?1x?1相切的积分曲线。 21的特解。 2解：原题转化成求y???x在初始条件y方程两边积分：y?? y?x?0?1， y?|x?0?12x?C1， 213x?C1x?C2。 611得C1?， 再由y2216x?3x?0代入初始条件y?|x?0? 因此所求曲线为 y??1，得C2?1，

12x?1。

的切线MT，M的纵坐标MP，x轴

★★★ 4.已知某曲线在第一象限内且过坐标原点，其上任一点M所成的三角形MPT的面积与曲边三角形OMP的面积之比恒为常数(k?1)，又知道点M处的导数

2总为正，试求该曲线的方程。

解：设所线方程为y?y(x)，如右图所示 y任一点M坐标为(x,y)， 由题意得 tan??y??MPTP，

即TP?yy?y?f(x)，三角形MPT的面积 MS?12MP?TP?12?y?yy??y22y?， TOPx曲边三角形OMP的面积S??x0y(x)dx， x由两面积之比为常数得

y22y??k?y(x)dx，

02两边关于x求导得

2yy?y??yy??y?2?2ky(x) ， 即yy???2(1?k)y?，

2令p(y)?y?， 则y???pdp， dy2原方程化为ypdpdy?2(1?k)p， 即p[ydpdy?2(1?k)p]?0。

由p?0得y?C， 这是原方程的一个解? 但不合题意舍去。

由ydpdy?2(1?k)p?0，得 p?C1y2(1?k) ，即y??C1y2(1?k) ，

从而 C1x?C2?y2k?12k?1，

由曲线过原点，得y所求曲线为y2k?1x?0?0 ，代入得C2?0。

?(2k?1)C1x，

12k?1由C1的任意性，曲线可表示为y?Cx，C为任意常数。

§12.6 二阶线性微分方程解的结构

课后习题全解

1? 判断下列各组函数是否线性相关：

知识点: 两个函数线性相关性。

★ (1) x2,x；

3解： 因为

xx32?x不恒为常数， 所以x,x是线性无关的。

23★(2) cos3x,sin3x；

?tan3x不恒为常数， 所以cos3x,sin3x是线性无关的。

解： 因为

★(3) lnsin3xcos3xx,xlnx；

解： 因为

★(4) eaxxlnx?x不恒为常数，所以lnx,xlnx是线性无关的。 lnxbx,e(a?b) 。

解： 因为

eeaxbx?e(a?b)x不恒为常数，所以eax,ebx(a?b)是线性无关的。

★★2? 验证

y1?cos?x及y2?sin?x都是方程y????y?0的解， 并写出该方程的通解。

2222????y1???cos?x??cos?x?0， 解： 因为 y1????y2??? y222sin?x??sin?x?0 ， 2

并且

y1y2?cot?x不恒为常数，所以y1?cos?x及y2?sin?x是方程的两个线性无关解，

从而方程的通解为y?C1cos?x?C2sin?x。

?????2cos?x；y2?????2sin?x。 ????sin?x ；y1???cos?x ；y2注：y1★★3? 验证y1 ?ex及y2?xex都是方程y???4xy??(4x?2)y?0 的解，并写出该方程的通解。

2222222???4xy1??(4x2?2)y1?2ex?4x2ex?4x?2xex?(4x2?2)?ex?0， 解： 因为y1???4xy2??(4x2?2)y2?6xex?4x3ex?4x?(ex?2x2ex)?(4x2?2)?xex?0， y222222并且

y2y1

?x不恒为常数，所以y1?ex与y2?2xex是方程的线性无关解，

22从而方程的通解为y?C1ex?C22xex。

22??2xex；y1???2ex?4x2ex； 注：y1??ex?2x2ex；y2???6xex?4x3ex。 y2 ★★★★ 4. 已知 y1?3,y2?3?x,y3?3?x (x22222222222?e都是方程

x?2x)y???(x?2)y??(2x?2)y?6x?6 的解，求此方程的通解。 解：令y1?y2?y1?x2，y2?y3?y2?e，

代入原方程所对应的齐次方程得

**x(x?2x)(y1)???(x?2)(y1)??(2x?2)y1

2*2**?(x?2x)?2?(x?2)?2x?(2x?2)?x

222?2x?4x?2x?4x?2x?2x ?0；

所以y1为原方程对应齐次方程的解，同理可验证y2也为其解。

**2332又

y2y1???exx2不恒为常数，所以y1与y2是其线性无关解。

**又y1?3为原方程的特解，由定理3知 y?C1x

2?C2e?3即为原方程的通解。

x

注：解的理论的补充：定理：线性微分方程，非齐次方程的两个特解之差是其对应的齐次的特解。

★★★5.验证

y?C1e2C2?3x?1是y???9y?9的解。说明它不是通解，其中C1,C2是两个任意常数。

C2?3x解：因为y?C1eC代入原方程： 左边?9C1e?3x?1；y???3C1e；y???9C1eC2?3x，

C2?3x?9(C1eC2?3x?1)?9?右边，

所以y?C1eC2?3x?1为原方程的解。

C2由C1,C2的任意性，令C1e?C为任意常数，则y?Ce?3x?1仅含有一个独立的常数，

而原方程为二阶微分方程，根据通解定义，所以不是通解。

★★★★

6.已知y1(x)?x是齐次线性方程xy???2xy??2y?0的一个解，求非齐次方程

2xy???2xy??2y?2x的通解。

23知识点：刘维尔公式；常数变异法。

解：原方程为变系数二阶线性非齐次微分方程，变形为

y???对应齐次方程为y???令p(x)??2x2xy??y??2x2y?2x ， y?0。

2x22x，y1(x)?x，由刘维尔公式得其通解为

2??1??p(x)dx?1?xdx?Y?y1?C1?C2?2edx??x?C1?C2?2edx??xC1?C2?dx

y1x???????C1x?C2x。

下面用常数变异法求非齐次的特解：

2???2x????0xu?xu2?u11*2令f(x)?2x，设y?xu1?xu2，得方程组?，解之得?，

?u?2??u?2xu?2x?22?12?u1??x2?C1?u1??x2*3从而?。分别取?，则y?x。

?u2?2x?C2?u2?2x综上，原方程通解为y?C1x?C2x2?x。

3§12.7二阶常系数齐次线性微分方程

课后习题全解

1. 求解下列微分方程的通解：

知识点：二阶常系数齐次线性微分方程 。

思路：求二阶常系数齐次线性微分方程y???py??qy?0;的通解的步骤为：

第一步 写出微分方程的特征方程 r2?pr?q?0；

第二步 求出特征方程的两个根r1,r2；

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解。

★（1）

y???5y??6y?0 ；

解：微分方程的特征方程为 r2?5r?6?0 ，即(r?2)(r?3)?0，

其根为r1??2,r2??3， 故微分方程的通解为 y?C1e★（2）16?2x?C2e?3x。

y???24y??9y?0；

解：微分方程的特征方程为 16r2?24r?9?0， 即(4r?3)2?0?

其根为r1,2?34，

3x故微分方程的通解为 y?e4(C1?C2x)。

★（3）

y???y??0；

解：微分方程的特征方程为 r2?r?0，

其根为r1?0,r2??1， 故微分方程的通解为y?C1?C2e?x。

注：课本上答案有误。

★（4）

y???8y??25y?0；

2解：微分方程的特征方程为r?8r?25?0，

其根为r1??4?3i,r2??4?3i， 故微分方程的通解为y?e?4x(C1cos3x?C2sin3x)。

★（5）4dxdt22?20dxdt?25x?0；

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