差分方程模型

模型1 蛛网模型

经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周

期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 模型假设与模型建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示； 设第n个时段商品的数量为

，价格为

，n=1,2….;

由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有

（3. 3）

这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量

是决策者根据这期的价格决定的，即：设

，

h是单调增加的对应关系， 从而，有关系：

（3.4）

g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程：

（3.5） （3.6）

这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。 模型的几何表现与分析。 为了表现出两个变量

和

的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g ,通过

，和

在坐标系中描绘出来，进而分

对应关系的几何表现把点列

析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中

将点列

连接起来，就会形成象蛛网

一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程

分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，

就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。

易见：如果点列，则

，并且

最后收敛于点

就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，

市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。 几何上的进一步分析表明，如果曲线的绝对值记为：当当

时，时，

，则 是稳定的； 是不稳定的。

和

在交点

处切线的斜率

模型的差分方程分析 设点在

满足：

点附近取函数

，

的一阶近似：

合并两式可得：这是关于

的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模

型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。 其中，

为f 在

点处的切线斜率；

为g(x)在

点处切线的斜率。

方程（3.9）递推可得：

所以，点稳定的充要条件是：即：

这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。 模型推广 如果决策时考虑到

与

都有关系，则可假设

这时数学模型为：

对此模型仍用线性近似关系可得：首先求出平衡点，即解方程

则有：

再结合（3.7）可得：

即：

特征方程为：

特征根为：

所以：时，，此时解不稳定。

时，，则时，

从而解是稳定的。

这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水 平提高了。

进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还可以近三年的价格来决定，例如：设引入投资额

，并建立有关的离散方程关系。

，；另外还可以考虑

模型 2 金融问题的差分方程模型

设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是

，今采用月还款的方式逐

月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？

模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。

模型假设：设贷款后第 k个月后的欠款数是模型建立：关于离散变量

，

即：这里已知有：模型求解：令

，则

这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据例如：

（3.15）

元，月还款为元，月贷款利息为。

，考虑差分关系有：

代入中，可以求出月还款额

元。

。

时，可以求出：

模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令

，则，并且

当时，总有，即表明：每月只还上了利息。只有当时，欠款余额

逐步减少，并最终还上贷款。

模型3 养老保险模型

问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？

模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责

任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。

模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为

，每月收益率为，用

分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N

表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。 模型建立：在整个过程中，离散变量

的变化规律满足：

，

在这里

实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心

能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负

的是，在第M个月时，

数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量

，很好地刻画了整

个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。

模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有

，初始值为

，我们可以得到：

在上面两式中，分别取

和

并利用

可以求出：

利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：

同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为

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