冲刺2010—2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)

1 冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)

2、（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠ °，

1tan 2tan 212

AE AD ADE BCD ∴=∠=?∠=?= ． ∴(01)

E ，． ····················································································································· （1分） 设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2

(0)y ax bx c a =++≠．

将点E 的坐标代入，得1c =．

将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得 42129310.

a b a b ++=??++=?， ············································································································ （2分） 解这个方程组，得56136a b ?=-????=??

故抛物线的解析式为2513166

y x x =-++． ································································ （3分） 26题图 y x D B C

A E O

2 （2）2EF GO =成立． ································································································ （4分）

点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65

， ∴点M 的纵坐标为125

． ······························································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠，

将点D M 、的坐标分别代入，得 1122612.5

5k b k b +=???+=??， 解得1123k b ?=-???=?，． ∴DM 的解析式为132

y x =-+． ··············································································· （6分） ∴(03)F ，

，2EF =． ··································································································· （7分） 过点D 作DK OC ⊥于点K ，

则DA DK =．

90ADK FDG ∠=∠= °，

FDA GDK ∴∠=∠．

又90FAD GKD ∠=∠= °，

DAF DKG ∴△≌△．

1KG AF ∴==．

1GO ∴=． ·

··················································································································· （8分） 2EF GO ∴=．

（3） 点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．

①若PG PC =，则2222

(1)2(3)2t t -+=-+，

解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．

∴(22)Q ，

． ···················································································································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=，

解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，

∴点Q 的纵坐标为73

． y x D B C

A

E

O Ｍ F K G

3

∴713Q ??

???

，． ·

··············································································································· （10分） ③若PC GC =，则2

2

2

(3)22t -+=，

解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ， 则QH GH =，设QH h =，

(1)Q h h ∴+，．

2513

(1)(1)166

h h h ∴-++++=．

解得127

25

h h ==-，（舍去）．

12755Q ??

∴ ???

，． ·

·············································· （12分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q ，

即(22)Q ，或713Q ??

???，或12755Q ??

???

，．

3、（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？

并求出最小值及此时PQ 的长．

y

x

D

B C

A E

O

Q

P

H G (P ) (Q )

Q (P )

x

y

M C D P

Q

O

A

B

4

*26．解：（1） 抛物线2

(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，， 309333

a a ∴=+∴=- ·································································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-

++ ······················································· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，

过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，° ························································ 4分 OM AD ∥

①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形

66(s)OP t ∴=∴= ····················································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）

55(s)OP DH t ∴=== ·

···································································································· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形

26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=

综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． ·· 7分

（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形

则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，

过P 作PE OQ ⊥于E ，则32

PE t = ················································································ 8分 113633(62)222

BCPQ S t t ∴=??-?-? =233633228

t ??-+ ??? ··········································································································· 9分 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338

········································································· 10分 x y M C

D P

Q

O A B N E H

5

∴此时33

39

33

3324

44

4

OQ OP OE QE PE ==

∴=-

==

，=， 2

2

2233933442PQ PE QE ????

∴=+=+= ? ? ???

?? ··························································· 11分

4、（2009年河北省）26．（本小题满分12分）

如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．

26．解：（1）1，8

5

；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC ，22534BC =-=， 得

45QF t =．∴4

5

QF t =． ∴14

(3)25S t t =-?，

即22655

S t t =-+．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．

由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP

AC AB =

， 即335t t -=． 解得98

t =．

A

C B

P Q

E D 图16 A

C

B

P

Q E

D

图4

A

C B

P

Q D

图3

E

F

6

②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 AQ AP

AB AC

=

， 即35

3t t -=． 解得15

8

t =．

（4）52t =

或4514

t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．

方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．

PC t =，222QC QG CG =+2234

[(5)][4(5)]55t t =-+--．

由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]5

5

t t t =-+--，解得52

t =

． 方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52

AQ BQ ==．∴5

2t =．

②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234

(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514

t =】

5、（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的

三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2

+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E

①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.

解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将

A

(4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx

8=16a +4b

得 0=64a +8b 解 得a =-

1

2

,b =4 A

C

B

P

Q

E D 图5

A

C (E ) B

P

Q

D

图6

G

A C (E )

B P

Q

D

图7

G

7 ∴抛物线的解析式为：y =-

12

x 2+4x …………………3分 （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48

∴PE =12AP =12

t ．PB=8-t ． ∴点Ｅ的坐标为（4+12

t ，8-t ）. ∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18

t 2+8. …………………5分 ∴EG=-18

t 2+8-(8-t ) =-18

t 2+t . ∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t 1=

163， t 2=4013，t 3= 8525

+． …………………11分 6、(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128:33

l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设

移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

26．（1）解：由28033

x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，． A D B E O C F x y 1l 2l （G ） （第26题）

8

由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，

． ∴()8412AB =--=． ·························································································· （2分）

由2833216y x y x ?

=+???=-+?，

．

解得56x y =??

=?，．∴C 点的坐标为()56，． ······································· （3分） ∴11

1263622

ABC C S AB y =

=??=△·．

······························································· （4分） （2）解：∵点D 在1l 上且28

88833

D B D x x y ==∴=?+=，．

∴D 点坐标为()88，． ····························································································· （5分）

又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．

∴E 点坐标为()48，． ····························································································· （6分）

∴8448OE EF =-==，． ················································································· （7分）

（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边

形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，

则Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴

BG RG BM CM =，即36

t RG

=，

∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，

∴()()112

36288223

ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△．

即241644

333

S t t =-++．

········································································· （10分） 7、（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分） 问题解决

如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点

E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当

1

2

CE CD =时， A D

B E

O

R

F x

y

1

l 2l

M

（图3）

G C

A D

B E

O C

F x

y

1

l 2l

G （图1）

R

M A D B E

O C F x

y

1

l 2l

G （图2）

R

M

图（1）

A B

C

D

E

F

M

N

9 求AM BN

的值．

类比归纳

在图（1）中，若

13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14

CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n

=>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

29．问题解决

解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．

由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．

∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ·············································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． 方法指导：

为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） N A B C

D E F M N 图（1-1） A B C D E F M

10 ∵112

CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． 在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．

∴()2

2221x x =-+．解得54x =，即54

BN =． ···················································· 3分 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，

222AM AB BM +=，

222DM DE EM +=，

∴2222AM AB DM DE +=+．

············································································· 5分 设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．

解得14y =，即14

AM =． ······················································································· 6分 ∴15

AM BN =． ··········································································································· 7分 方法二：同方法一，54

BN =． ················································································ 3分 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．

∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．

∴NG CD BC ==．

同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54

AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．

90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，．

在BCE △与NGM △中

N 图（1-2） A B C D

E F M G

11 O 60 20 4 批发单价（元） 5 批发量（kg ） ① ② 第23题图（1） 90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠??=??∠=∠=?

，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ································５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=

．4··································································· 6分 ∴

15

AM BN =． ········································································································· 7分 类比归纳 25（或410）；917

； ()2211n n -+ ················································································ 10分 联系拓广

2222211

n m n n m -++ ············································································································· 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．

2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没

有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．

8、（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 【解】

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

【解】

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，

且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，

使得当日获得的利润最大．

【解】

金额w （元） O

批发量m （kg ）

300 200 100 20 40 60

12

O 6

2 40 日

最高销量（kg ）

80

零售价（元）

第23题图（2）

4

8 （6，80）

（7，40）

23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，

可按5元/kg 批发；……3分

图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分

（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ?=??

≤≤（）

）＞（，函数图象如图所示．

………………………………………………………………7分

由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分

（3）解法一：

设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为

2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分

当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：

设日最高销售量为x kg （x ＞60）

则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040

x

p -=

销售利润23201

(4)(80)1604040

x y x x -=-=--+………………………12分

当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分

9、（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，

金额w （元）

O 批发量m （k

300 200 100

20 40 60

240

13

过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =?∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.

25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ························ 1分

∵E 为AB 的中点，

∴1

22

BE AB ==．

在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． ·············· 2分

∴221

12132

BG BE EG ===-=，．

即点E 到BC 的距离为3．··············································· 3分

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，3PM EG ==．

同理4MN AB ==． ······································································································· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠．

∴13

22

PH PM ==．

A D E B

F C

图4（备用）

A

D E

B

F C

图5（备用）

A D E B

F C

图1 图2 A D E

B

F C P

N

M 图3 A D E

B

F

C

P

N

M （第25题） 图1

A D E B

F C

G

图2

A D

E

B

F C

P

N

M

G H

14

∴3

cos302

MH PM =?= ． 则35

422

NH MN MH =-=-

=． 在Rt PNH △中，2

2

22

53722PN NH PH ????=+=+= ? ? ?????

． ∴PMN △的周长=374PM PN MN ++=++． ················································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．

当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．

类似①，3

2

MR =． ∴23MN MR ==．

········································································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ············································· 8分

当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．

此时，61353x EP GM ===--=-．

当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．

则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =?= ．

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4或()

53-时，PMN △为等腰三角形． ·························· 10分 （2009年广东广州）25.（本小题满分14分）

10、如图13，二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4

5

。 （1）求该二次函数的关系式；

图3

A D E B

F

C

P

N M

图4

A D E

B

F C

P M

N 图5

A

D E

B

F （P ） C

M

N G

G

R

G

15 （2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，

求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求

出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

25.（本小题满分14分）

解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC ×AB=45,得AB=52

， 设A （a,0）,B(b,0)AB=b -a=2()4a b ab +-=

52，解得p=32±,但p<0,所以p=32

-。 所以解析式为：2312y x x =-

- （2）令y=0，解方程得23102x x --=，得121,22x x =-=,所以A(12

-,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得AC=

52,同样可求得BC=5,，显然AC 2+BC 2=AB 2,得三角形ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=52,所以5544

m -≤≤. （3）存在，AC ⊥BC,①若以AC 为底边，则BD//AC,易求AC 的解析式为y=-2x-1,

可设BD 的解析式

为y=-2x+b ，把B(2,0)代入得BD 解析式为y=-2x+4，解方程组231224

y x x y x ?=--???=-+?得D （52

-,9） ②若以BC 为底边，则BC//AD,易求BC 的解析式为y=0.5x-1,可设AD 的解析

式为y=0.5x+b ，把

A(12-,0)代入得AD 解析式为y=0.5x+0.25，解方程组23120.50.25

y x x y x ?=--???=+?得D(53,22

)

16 综上，所以存在两点：（52 ,9）或(53,22

)。 11、（2009年广东省中山市）22. （本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.

（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；

（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值.

D B A

M C N

17

18

12、（2009 年哈尔滨市）28．(本题10分）

如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），

点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

19

20

13、(2009山东省泰安市)26（本小题满分10分）

如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠

ABC=90°，AD

∥BC ，AB=BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。

（1） 求证：BE=AD ；

（2） 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；

（3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。

26、（本小题满分10分）

证明：（1）∵∠ABC=90°，BD ⊥EC ，

∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，

∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC

∴△BAD ≌△CBE …………………………………………2分 ∴AD=BE ……………………………………………………3分

（2）∵E 是AB 中点，

∴EB=EA

由（1）AD=BE 得：AE=AD ……………………………5分 ∵AD ∥BC

∴∠7=∠ACB=45°

∵∠6=45°

∴∠6=∠7

由等腰三角形的性质，得：EM=MD ，AM ⊥DE 。

即，AC 是线段ED 的垂直平分线。……………………7分

（3）△DBC 是等腰三角（CD=BD ）……………………8分 理由如下：

由（2）得：CD=CE

由（1）得：CE=BD

∴CD=BD

∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10分

21

14、（2009年威海市）25．（12分）

一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k

y x

=

的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k

y x

=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．

（2）若点A B ，分别在反比例函数k

y x

=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．

25．（本小题满分12分）

解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，

∴四边形AEOC 为矩形． BF x ⊥轴，BD y ⊥轴， ∴四边形BDOF 为矩形． AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，

∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ·

············ 1分 1111OC x AC y x y k === ，，， ∴11AEOC S OC AC x y k === 矩形 2222OF x FB y x y k === ，，， ∴22BDOF S OF FB x y k === 矩形． ∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．

O C F M

D

E N K

y x

11()

A x y ，22()

B x y ，

（第25题图1）

O C

D

K F E N y

x

11()

A x y ，33()

B x y ， M

（第25题图2）

O C F M

D

E N

K

y x

A

B

图1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nl8l.html