九年级数学解直角三角形

解直角三角形（一）

教学目标

1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 教学重点、难点

1．重点：直角三角形的解法．

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 教学步骤

(一)复习引入

1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

ababsinA?;cosA?;tanA?;cotA?ccba babasinB?;cosB?;tanB?;cotB?ccab 如果用??表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. ??的对边??的邻边??的对边??的邻边sin??；cos??；tan??；cot??斜边斜边??的邻边??的对边

(2)三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二）教学过程

1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题

例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且 例 2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。 4．巩固练习 P91

说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯． (四)总结与扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2．出示图表，请学生完成 a b c A 1 √ √ a22tanA?c?a?b b 2 √ √ a22sinA?b?c?a c 3 √ b=a?cotA √ ac?sinA 4 √ b=a?tanB ac??A?900??B cosB 5 √ √ b22cosA?a?c?b c 6 a=b?tanA √ √ bc?cosB 7 a=b?cotB √ bc??A?900??B sinB 8 a=c?sinA b=c?cosA √ √ 9 a=c?cosB b=c?sinB √ 不可求 ?A?90??B 0B ba acosB?c tanB??B?900??A √ sinB?bc ?B?900??A √ ?B?900??A √ √ 1不可求 不可求 0 注：上表中“√”表示已知。

四、布置作业

√ 解直角三角形（二）

教学目标

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 教学重点、难点

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 难点：实际问题转化成数学模型 教学过程

（一）复习引入

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。 （二）实践探索

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角般要满足

， (如图).现有一个长6m的梯子，问:

一

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角时人是否能够安全使用这个梯子

引导学生先把实际问题转化成数学模型 然后分析提出的问题是数学模型中的什么量 在这个数学模型中可用学到的什么知识来求 未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。 （三）教学互动

例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞

船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km) 分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.

如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船

等于多少(精确到1o) 这

观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出

(即

)

解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，

弧PQ的长为

由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P点约2 009. 6 km. （四）巩固再现 P93 1,P96 1 四、布置作业 P96 2,3

解直角三角形（三）

一、教学目标

1、使学生了解什么是仰角和俯角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题． 二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决观测问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入

平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？

（三种，重叠、向上和向下）

结合示意图给出仰角和俯角的概念

（二）教学互动

例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

分析：在

中，

，

.所以可以利用解直角三角形的知识求

出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC. 解:如图,

，

,

答:这栋楼高约为277.1m. （三）巩固再现

1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．

2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．

3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。

解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出：

（米）

（米）

（米）

舰艇的速度为（米/分）。设我军火力射程为米，

现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟）

我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。

4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？ 四、布置作业 P101 7、8

解直角三角形（四）

一、教学目标

1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决方位角问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 （一）复习引入

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线 （二）教学互动

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65?方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯上的B处.这时，解:如图, 在

塔P的南偏东34?方向中,

PC?PA?cos(900?650)

?80?cos250 ?72.8 在

中,

.

,

因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

（三）巩固再现 1、P95 1

2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小

时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

四、布置作业 P97 7、9

解直角三角形（五）

一、教学目标

1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 二、教学重点、难点

重点：解决有关坡度的实际问题． 难点：理解坡度的有关术语． 三、教学过程 （一）复习引入

1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评． 2．创设情境，导入新课．

例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．

（二）教学互动

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 1．坡度与坡角

结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？

h 答：i＝＝tan?

l 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

______，坡角?______度．

为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1)

如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，

AB因为 tan?＝，AB不变，tan?随BC增大而减小

BC（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα

AB 也随之增大，因为tan?=BC不变时，tan?随AB的增大而增大 2．讲授新课

引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．

以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

1 因为斜坡AB的坡度i＝tan?＝≈0.3333，

3α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。 （三）巩固再现 1、P95 2

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

四、布置作业 P97 8

α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。 （三）巩固再现 1、P95 2

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

四、布置作业 P97 8

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