11简单的三角恒等变换公开课

知识回顾 1、 同角三角函数的基本关系

sin α cos α 12 2

sinα tanα cosα

π (α kπ,k Z) 2

知识回顾 2、 和(差)角的正弦、余弦、正切公式

sin(α β) sinαcos cos sin cos(α β) cos cos sin sin tan α tan β tan(α β) 1 tan αtan β

知识回顾

3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2 2 sin cos cos 2 cos α sin α2 2

2 tan tan 2 2 1 tan

知识回顾

4、二倍角的余弦变形公式

cos2α 2 cos 12

1 2sin α2

也可把 cos α、sin α 解出来得2 2

1 cos 2α cos α 2 1 - cos 2α 2 sin α 22

知识回顾

5、辅助角公式

asinx bcos x a b sin(x )2 2

b 其中tan . a

例题讲解一

α 例1 试以cosα表示sin . 22

cos cos 2

与 有 么 系 什 关 ？2

2

1 2 sin

2

2

是 的 角 倍2

例题讲解一

α 解 ：α是 的 二 倍 角 . 2 2 在倍角公式 cos2α 1 2sin α中， α 以α代 替2α, 以 代 替α, 即 得 2 2 α cosα 1 2sin , 2 1 cosα 2 α 所 以sin . 2 2

α 2 α 请用 cosα表示cos 和tan . 2 22

结论

1 cos sin , 2 22

从左到右升角降幂

1 cos cos , 2 22

(降幂公式)

1 cos tan . 2 1 cos 2

以上三个式子，你能发现左右两边在角与结构上 有什么共同特点吗？

sin 1、求证： tan . 1 cos 2α 分析：α是 的倍角，所以可以考虑 用倍角公式 2α α s in 2cos s inα 2 2 证法一： α α 1 cosα cos 2cos 2 2 α s in 2 tan α .得 证 . α 2 cos 2

巩固练习1

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sin 1、求证： tan . 1 cos 2分析：等式的两边函数 的名称不同 可以考虑用同角 ， 三角函数的基本关系。α s in α 2 证法二： tan α 2 cos 2 α α s in 2cos 2 2 s inα .得 证 . α α 1 cosα cos 2cos 2 2返回

巩固练习1

例题讲解二 例2 求函数y sinx 3cosx的周期、最大值和最小值.分析：利用三角恒等变换，先化简函数式，再求解.

解： y sin x 3 cos x 1 3 2 sin x cos x 2 2 2 sin x cos cos x sin 3 2 sin x 3

例题小结:本例是 三角恒等变换在数 学中应用的举例， 它使三角函数中对 函数的性质研究得 到延伸，体现了三 3 角变换在化简三角 函数式中的作用.

所以,所求函数的周期为2 ,最大值为2,最小值为-2.返回

巩固练习22、求函数 y 2sin (sinx cosx ) 的最小正周期、 x 最值。 分析：先去括号，再用倍角公式、辅助角公式将 原函数变换为 y A sin( x ) b 形式求解。

y

2sinx (sinx cosx ) 2sin2 x 2sinxcosx 解： 1 cos2x sin2x (sin2x cos2x ) 1 2 2 2( sin2x cos2x ) 1 2 2 π 2sin(2x ) 1 4 所 以 ， 此 函 数 的 最 小 正 期 为 ,最 大 值 为 2 1, 周最 小 值 为 - 2。 1

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总结与提高 1、三角恒等变换的一般思路：(1)找差异 (2)消除差异——由角的联系选择公式 (3)对公式变形

2、三角恒等变换的应用：将y=asinx+bcosx转换为 y A sin( x ) b,达到研究 y=asinx+bcosx的性质的目的.

3、思想上的收获： 整体代换(换元)、化归.2 4

总结与提高

4、三角恒等变换中一系列的三角公式的作用： (1)同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；1

(2)诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现 角的形式的转化； 2(3)倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂 或降幂的转化，同时也可完成角的转化。 3

1 cos 1、求证： tan . 2 sin

2、若 a (sin x, m), b (sin x 3 cos x,1) ,设 f ( x) a b

(1)写出函数 f(x)的解析式，并指出它的最小正周期；

, f(x)的最小值为2,求m的值。 (2)若 x [0, ]3

作业 教材P

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A组

第1题(1)(3)(5)(7) 第3、5题

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