绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布

绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布

机械茅班 杨婧 20091018

摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。

关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度

一．推迟势的推导

绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)

????2??1?E??J?2E-22??()??0C?t?0?t??2????1?B2?B?22??0??JC?t

用矢势和标势为： （2）

????B???A?????AE??????t

矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）

??2????1?A2?A-22???0JC?t1?2??2???22??C?t?0??1????A?2?0C?t

方程（3）的解为：

（4）

????r?Jr,t???????0c?'?Ar,t?dv4??rr????r,t????1c?'??r,t?dv4??0?r

????二．匀速转动时的磁场

如图1所示，设圆盘在xoy平面内，对称轴为z轴，转动的角速度w不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q，圆盘半径为R，则电荷密度

??Q?R2.

图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场

在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为Ri，宽度为dRi，则由于圆环转动时产生

的电流为

2?QwR2iI?dRi2?R

?在圆环上任取一线元dl，则

（5）

?2nQwR3dRiiIdl?[?exsinwt'd?wt'??eycoswt'd?wt'?]2?R

把（5）式代入（4）式得 （6）

????dAr,t?024????????Jr',t'1r1??dv??'04??2?QwR2i[?exsinwt'd?wt'??eycoswt'd?wt'?]0?R2r1

由叠加原理，（6）式得 （7）

????QwAr,t?0224?R????0a2?R2i[?exsinwt'd?wt'??eycoswt'd?wt'?]R2i?r2?2Rirsin?coswt'

0?wRiw???er?ei????1c由于c，得

（8）

t'?t?

r1?t?c????r?Ric?t?rc

利用幂级数

?2n?1?!!n?111?321?3?53?1?x?x?x?...????1?xx?122?42?4?6(2n)!!1?xn?0

（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P点在中远区，r>>Ri级数只取二级近似值 （9）

1?R???1?isin?coswt'?r?R2i?r2?2Rirsin?coswt'r?1

把（8）式和（9）式代入（7）式积分得

????QwAr,t?0224?R????0R2?0???R3i???R?[?ersin?kr?wt??eycos?kr?wt?]??1?isin?cos?kr?wt??d?kr?wt?rr??

??QwR????0QwRsin?2??0sin??ey?e?16?r216?r2 ??????e?ey其中?，P点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为

（10）

??????????QwR2??????0QwR20Br,t???Ar,t???sinQe??2cos?er?sin?e?16?2r216?2r3

??????根据球坐标与直角坐标的关系：

r2?x2?y2?z2

??????????er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos??????????e???exsin??eycos????????????e??excos?cos??eycos?sin??ezsin?

可求得均匀带电圆盘在yoz平面内的磁感强度： ???????0QwR2By??3sin?cos??ey316?y2?z22?????Bz??0QwR2z16??y2?z2?2???2cos??sin???ez3?22cos??sin??x2?y2?z2x2?y2x2?y2?z2（x=0)

三．结果分析

根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。

由物理数字平台模拟的结果如下图：

由模拟结果可知，调节滑动条1,2分别增大或减小电荷量及圆盘半径，圆盘周围磁感应强度相对应地增大或减小。调节滑动条3增大或减小角速度，磁感应强度也相应增大或减小。综合公式（10）及图形可知，绕对称轴匀速转动的均匀带电薄圆盘产生的磁场强度与时间t无关，为稳恒磁场，没有辐射的电磁场。带电量Q越多，磁场越强；半径R越大，磁场越强；角速度w越大，磁场越强；离圆心O越远，磁场强度越小，在无穷远处磁场强度为0。

本文的理论仅适用于圆盘移去负电荷后的带正电体，因为电子在高速转动时电荷重新分布。

参考文献：

【1】郭硕鸿.电动力学【M】.北京：人民教育出版社，1979.160-177

【2】虞福春，郑春开.电动力学【M】.北京：北京大学出版社，2003.157-177 【3】孙景李.经典电动力学【M】.北京：高等教育出版社，1987.276-294 【4】谢东，刘庆想.平面螺线外的磁场研究【J】.大学物理,2005,24(9)：23-24 【5】朱平.园电流空间磁场分布.大学物理，200524（9）：13-17

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