构造几何图形解决代数问题

构造几何图形解决代数问题

摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。 关键词 数形结合 解题 以形助数 教学

1.“以形助数”的思想应用

1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A?B。

分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A?B=[0,3]

B=[-2,3]

A=[0,4]

例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

分析：如下图，设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为

10?(1?5x?)x?故5,1?x5??53?0x?8。?

评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。

1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

例:（2009山东理）若函数

f(x)?ax?x?a(a?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是

?分析：设函数y?ax(a?0,且a?1)和函数y?xa，则函数

f(x)?ax?x?a(a?0且a?1)有两个零点，就是函数y?ax(a?0,且a?1)与函数

y?x?a有两个交点，由图象可知当0?a?1时两函数只有一个交点，不符合，

当a?1时，因为函数y?ax(a?1)的图象过点（0，1），而直线y?x?a所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a?1

0

a>1

例:若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，求

f(x)?0的x的取值范围。

分析：由偶函数的性质，y=f(x)关于y轴对称，由y=f(x)在(??,0]上为减函数，且f(-2)=f(2)=0，做出如图，由图象可知发f(x)<0，所以x?(-2,2)

评价：函数问题是高考中主打题型，往往又是比较难解的问题。在解决这类问题时，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半

功倍的效果。

1.3解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

2lg(?x?3x?m)?lg(3?x)在x?(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范例:若方程

围。 分

析

：

原

方

程

可

化

为

?(x?2)2?1?m(0?x?3)，设

y1??(x?2)2?1(0?x?3),y2?m

在同一坐标系中画出它们的图像，如下图，由原方程在（0，3）内有唯一解，知

y1与y2的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是-1

例:已知不等式分析：

(x?1)2?(x?2)2?m对一切实数x恒成立，求实数m取值。

(x?1)2表示数轴上点x到点（-1）的距离，(x?2)2表示数轴上点x

到点2的距离。数轴上点x到点（-1）的距离与点x到点2的距离的和的最小值为3，即(x?1)2?(x?2)2?3，所以实数m的范围是：m<3.

评价：方程问题和不等式问题归根结底也就是函数问题的变形，只要我们根据题意条件循序渐进地找出突破口，便可同样很好地利用图象简捷地解决。

1.4解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

y?sinx+2cosx?2最值

例:求

sinx+2可以理解

cosx?2为点（cosx,sinx）与点（2，-2）连线的斜率。由图可知，斜率的最大值与最小值应为通过点（2，-2）且与单位圆相切的两条切线的斜率，设点（2，-2）且与

分析：我们可以把（cosx,sinx）看成是单位圆周上的一点，

单位圆相切的直线方程为：y+2?k(x-2)，利用圆心（0，0）到切线的距离为圆的半径1，可以求出斜率k的范围：

-4?37,y-?437-4?7-4?7，所以?k?33ymax??imn

评价：三角函数的图象和性质是高考的热点，在解题时要灵活运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来，通过图象直观地感受题目的要义，为解题提供方便。

1.5解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例:（08年高考湖南卷理改编）已知变量x,y满足条件x?1,x?y?0,x?2y?9?0，

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