人教版初一数学(上)一对一提优讲义 第3讲.有理数四则运算(含答案

第三讲 有理数四则运算

模块一 有理数的加减法

定 义 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． ．．．．．．．．．．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符．．．．．号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ．．③一个数同0相加，仍得这个数． ?5?3???5?3???2 示例剖析 3?5?8 ?3?0??3 有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差． 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算． ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起． 有理数加法的运算律： ① 两个数相加，交换加数的位置，和不变． ② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． ．．．有理数减法的运算步骤： ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果． a?b?b?a(加法交换律) (a?b)?c?a?(b?c)(加法结合律) a?b?a?(?b)(减法法则) 3?0.15?9?5?11?(?3)?(?0.15)?(?9)?(?5)?(?11)它的含义是正3，负0．15，负9，正5，负11的和． 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式． 1 / 9 【夯实基础】

【例1】 计算：

?3?⑴ ??7.5????3??

?5?

?3?⑵ ??7.5????3??

?5? ⑶

7?53?????? 6?6?【解析】 ⑴ 11.1；⑵?11.1；⑶ ?23． 3

【例2】 计算：

⑴ ?20???15????28??17

（人大附中期中）

⑵ ⑶

21?1??3?????????? 38?3??8?1132?2?2?3 4343（北京师范大学附属实验）

【解析】 ⑴ ?24；⑵

1；⑶ ?3． 2

【例3】 计算：

⑴ ?7.34???12.74??12.34?7.34

1?1??1?⑵ 3???5.5????1????3?

3?3??2?⑶ ??3????4??|?15|???????7??? 23132⑷ ???1??2?

3424332⑸ 6?24?4?16?6.8?3.2

551【解析】 ⑴ ?0.4；⑵ ?7；⑶ 1；⑷ ?；⑸ 9．

2

??【能力提升】

【例4】 计算：

4??3?4???⑴ ??18????53????53.6????18????100?

5??5?5???⑵ [4

5127＋(－)]＋[(－)＋6] 127712⑶ 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999 151191411711⑷ 1?2?3?4?5?6?7?8?9

2612203042567290 2 / 9

1111122222(?????)?(?????)23459603455960⑸

333335859?(?????)??(?)44659605960【解析】 ⑴ ?100

4⑵ 10

7⑶ 添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：

原式 = 20＋200＋2×10＋2×10＋…＋2×10-(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220-45 = 2222222175．

⑷ 原式

1??1??1??1??1??1??1??1??1????1????3????3????5????5????7????7????9????9??6??12??20??30??42??56??72??90??2??111111??111?????? ??1?3?3?5?5?7?7?9?9???????2612203042567290?1??11111??111??9?????????????

?261220??3042567290?73?1??11???9??1????????9???8

1010?5??510?349⑸原式?????

11212312359?(?)?(??)???(?????) 2334446060606012?459??????222221(1?2?3???59) 21(1?59)?59?22885 3 / 9 模块二 有理数乘除法

定 义 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号．．．．．．．．．．得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． ．．有理数乘法运算律： ①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． ab?ba(乘法交换律) abc?a(bc)(乘法结合律) 示例剖析 3?4?12 ?3?4??(3?4)??12 ?3?(?4)?12 a(b?c)?ab?ac(乘法分配律) 有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．（奇负偶正） ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0． ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算． 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数． 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0． 有理数除法的运算步骤： 首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．

133?5?3?? 551a?b?a? (b?0) b ?4?2??2 【夯实基础】

【例5】 计算：

3???4??1??1?3⑴ ??0.25??0.5???70??4 ⑵ ??3????1????1????5??

5???5??9??2?113【解析】 ⑴ 35；⑵ ?9．

10

【例6】 计算：

?11111?⑴ 36???????

?23469??1111???????48? ⑵ ???436612? 4 / 9 9?9?9????⑶ ??8????12????5????12??4???12?

16?16?16?????1?1?1?⑷ ??0.25????5?????3.5??????2

?2?4?4?

29【解析】 ⑴ 11；⑵ ?6；⑶ ?12；⑷ 0

316

模块三 有理数四则混合运算

定 义 示例剖析 有理数混合运算的运算顺序： ⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除， 最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行； ⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、运算顺序可以简记为：“从左到右，从高（级）．．．．．．中括号、大括号依次进行． 到低（级），从小（括号）到大（括号）”． ．．．．．．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算． 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 易错点1：注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的． 易错点2：如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算．

【能力提升】

【例7】 计算：

?1?4⑴ ??5???8???2?4?

?2?11（北师大附属实验中学期中）

⑵ ?9?12???6????4????4????8?

?2?517??⑶ ?1??????24????5?

?13?8612??（清华附中期中）

【解析】 ⑴ ?6；⑵ ?9；⑶ 410 13 5 / 9

??5?1?1??12??【例8】 计算：⑴ ??????1??2??48???1?????????5?

6??23????12?2?20031001－1001× 20041002⑶ 2008?200920092009?2009?200820082008

⑵ 2005×【解析】 ⑴ ?30

⑵ 原式 = (2004＋1)×

20031001－(1002－1)× 2004100220031001 = (2003－1001)＋(＋)

200410022001 =1003．

2004100010001 ⑶ 原式?2008?2009?100010001?2009?2008? ?0

【探索创新】

【例9】 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是 ．

1第一组：?5，3，4.25，5.75；

311第二组：?2，；

3155第三组：2.25，，?4．

1211156805【解析】 所有乘积的总和是：(?5?3?4.25?5.75)?(?2?)?(2.25??4)??25

3315122727

【例10】 ⑴ 用“＞”或“＜”填空

ab①如果?0，ac?0那么b 0；

cab②如果?0，?0那么ac 0．

cbac⑵ 如果?0，bc?0，且a(b?c)?0，试确定a、b、c的符号.

b【解析】⑴ ①?；②?；

c⑵ bc?0说明b、c异号，那么?0；

bac又因为?0，所以a?0；

b因为a(b?c)?0，所以b?c?0， 进而得b?c，且bc?0， 所以b?0，c?0.

6 / 9

【例11】 ⑴ 若19a?98b?0，则ab是（ ）

A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数

⑵ 已知有理数x,y,z两两不等，则

x?yy?zz?x,,中负数的个数是（ ） y?zz?xx?yA．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个

⑶ 若a，b，c，d是互不相等的整数，且abcd?9，则a?b?c?d的值为（ ） A．0 B．4 C．8 D．无法确定

⑷ 如果4个不同的正整数m，n，p，q满足(7?m)(7?n)(7?p)(7?q)?4， 那么m?n?p?q的值是多少？

9a?98?b，b的符号相反或者a?b?0，【解析】 ⑴ B．由19a?98b?0，得1可知a、故有ab?0；

⑵ B．三数乘积为1，则要么为3正，要么为1正2负；分析可知为1正2负．

bcd4个数分别是?1，?3，所以a?b?c?d?0； ⑶ A．a，，，⑷ (7?m)(7?n)(7?p)(7?q)?1?(?1)?2?(?2)， 所以m,n,p,q这4个数分别为5，6，8，9， 所以m?n?p?q?28．

12617?39?2435)． 【例12】计算×(0.125＋71261120.125?(7?3)?9?27?34375431261【解析】设a =7?3，b = 0.125，c =9?2，则

4375原式=

ca×(b＋)

aab?cab?ca×

aab?c=

= 1．

【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：

7

1261?3，0.125，9?2，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 4375 7 / 9

课后创新培养

【实战演练】

知识模块一 有理数加减法 课后演练

【演练1】 填空：

?3?⑴ ??1.3????2??

?5?3【解析】 ⑴ ?1.3；⑵ ．

2

【演练2】 ⑴ ??5.5????3.2????2.5??4.8

1?1?1⑵ ??8.5??3???6??11

3?3?22?51??45?⑶ ???2.8????2??

3?63??56?1⑵ ???4??1.25

⑷ ?517?3?????9.5??4??7.5 37?74?⑸ ?5.5???3.2????2.5????4.8? ⑹ ?32?17??23????17?

【解析】 ⑴ ?11；⑵ 0；⑶ 1； ⑷ 7.5；⑸ ?1.4；⑹ ?89．

知识模块二 有理数乘除法 课后演练

1??1??【演练3】 ⑴ ??0.03???3????33?

3??2???1?1?4?⑵ ????1?????16

?8?4?5?2?3??15??5?⑶ 1????????????

7?4??14??8?7【解析】 ⑴ ；⑵ 2；⑶ ?1．

2

15【演练4】 计算：⑴ ?71???8?

16?735?⑵ ???????1?????36?

?1246? 8 / 9

15?1?2?5?⑶ ?2????3????0.75??????

34?2?5?2?1245【解析】 ⑴ 575；⑵ ?12；⑶

28

知识模块三 有理数加减乘除混合运算 课后演练

?????5?【演练5】 计算： ??1????12?????3???0.5?????4????6??

?8?????1【解析】

6

ab【演练6】 ⑴ 如果?0，?0，试确定ac的符号；

cb⑵ 已知整数a,b,c,d满足abcd?25，且a?b?c?d，那么a?b?c?d? ． ab【解析】⑴ ?0说明a、b异号；?0说明b、c异号，所以a、c同号，所以ac的符号为正；

cb⑵ 易知a?5，b?1，c??1，d??5，则a?b?c?d?5?1?(?1)?(?5)?8

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