第三讲：t检验

复习相关理论知识

1．正态分布：

如果连续型随机变量X的概率密度为

其中μ，σ为常数,且 σ>0，我们称X服从正态分布，简记作X~N（μ，σ2）.

2．标准正态分布： 当

=0，

=1时，X的概率密度为

,

我们称X服从标准正态分布，简记作

3．正态分布的标准化： 设

，令u?

x???，这也被称作变量的u变换。

但由于?往往未知，所以用样本标准差s来替代，此时t?只能以x来替代，此时t?

x??，或者有时甚至μ也未知，sx?x，这两种变量变换都叫做t变换。 s

4．t分布的规律:

变量经u变换得到的函数曲线叫做标准正态分布，或称为u分布、布尔分布。变量经t 变换所得的函数曲线叫做t 分布。 t分布具有以下规律：

1）当自由度足够大时，t分布逐淅趋进于u分布

2）用定积分方法，可以求出在t取值在?t0.05/2,?到t0.05/2,?之间时，t分布曲线下所夹的面积为：?(x)??t0.05/2,??t0.05/2,?1edt =0.95 记为 2?t22p??t0.05/2,??t?t0.05/2,???0.95…………………………（式1）

t取值在?t0.01/2,?到t0.01/2,?之间时，t分布曲线下所夹的面积为：?(x)?=0.99记为

t0.01/2,???t0.01/2,?1edt 2?t22p??t0.01/2,??t?t0.01/2,???0.99…………………………（式2）

式1和式2可统一表示为：

p??t?/2,??t?t?/2,???1??

………………………………………（式3）

3）同样的方法可以求得t?t0.05/2,?（即t??t0.05/2,?和t?t0.05/2,?）时，曲线下的面积分别为

?(x)???(x)??所

以

?t0.05/2,???1edt?0.025 2?12edt?0.025 2?当

t22t2t22??t0.05/2,?，

?t0.05/2,?t?t0.05/2,?时

t22，曲线下的面积为

?(x)????1edt?2????t0.05/2,?1edt?0.05 2?记为：p?t?t0.05/2,???0.05………………………………………（式4） 同理，当t?t0.01时，曲线下的面积为?(x)???t0.01/2,???1edt??t0.01/2,?2???t221edt?0.05 2?t22记为：p?t?t0.01/2,???0.01…………………………………………………（式5）

上述式4和式5统一表示为

p?t?t?/2,????……………………………………………………………（式6）

式3的用途： 将t?x?x代入式1 得： s???1?? ?x?x?p??t?/2,???t?/2,?s?∴p?t?/2,?s?x?x?t?/2,?s?1?? ∴px?t?/2,?s?x?x?t?/2,?s?1??

上式的意思是：变量值x落在x?t?/2,?s~x?t?/2,?s范围内的可能性是1-α，我们把这个范围叫做频数的1-α分布范围，当υ足够大时，这个公式可以用于正态分布资料的

正常值范围制订。

5．抽样误差和标准误

??????x3、x2、在一个总体均数为?的总体中作k次放回抽样，可以得到k个样本均数x1、。。。

xk，这时会发现，每个样本与总体均数间可能会出现差异，每个样本均数之间也会存在差

异，这种差异是由于抽样造成的，所以也称为抽样误差。

为描述样本均数间的差异，我们可模仿标准差的计算方法进行计算，即：

????x???n2??x?x?2 ?x???x???k2

s?n?1 sx?2??x?x?k?1

我们把样本均数之间的标准差，改称为标准误，以示与标准差的区别。可见，标准误是

一个描述抽样误差大小的指标。

但实际工作中为节省财力、人力、物力，不可能取得多个x，因此也就无法用这种方法计算出标准误。换一个思路来说，抽样误差与变异程度成正比，而与样本含量成反比，经过模拟得出了计算标准误的经验公式：

?x?

?n sx?sn

6．中心极限原理： 如果x~N(μ，σ)， u?则x~N（μ，?x），u?x???x??~N(0，1) ~N（0，1）

?x当σ未知时，?x未知，常用sx代替，则t?x??~t分布 sx将t?x??代入式3 p?t?/2,??t?t?/2,??1?? 得： sx????x??p??t??t?1?? ?/2,????/2,??sx??∴p?t?/2,?sx?x???t?/2,?sx?1?? ∴px?t?/2,?sx???x?t?/2,?sx?1??

上式的意思是：在多次抽样中，总体均数μ落在x?t?/2,?sx~x?t?/2,?sx范围内的可能性是1-α，我们把这个范围叫总体均数的1-α可信区间，1-α叫做可信度。

7．样本均数与总体均数的比较——假设检验的原理： 以样本均数与总体均数的比较为例，其步骤和原理如下： 设：H0：???0

以此为理论基础，将变量值进行t变换： t???????x??0 sx依据t分布的规律（式6）

p?t?t?/2,????，即当 t?t?/2,?时，p≤α，也就是说，H0

如果成立的话，得出这样一个大的t值的可能性很小。反过来说，如果得出一个大的t值，那么HO成立的可能性就很小了，因此选择它的反面H1：???0

总结假设检验的步骤：

1．设H0：???0 H1：???0 检验水准α=0.05 或α=0.01 2．计算统计量：

t?x??0 sx3．判断p值：

t?t?/2,? 时 p≤α t?t?/2,? 时p>α

4.下结论：

统计结论 当p≤α时，称为差异有显著性，拒绝H0 接受H1 当p>α时，称为差异无显著性，不拒绝H0 专业结论 结合统计结论与专业知识下一个专业结论。

8．t检验的应用条件和计算公式

样本均数与总体均数的比较

xx??0s? x? sx? ??n?1 t?nsxn

配对设计的比较

dd?0?d? sd?t?nsd

完全随机设计的两样本均数的t检验

?(d?d) sn?1d?sdn ??n?1

s(n?1)?s2(n2?1)x?x21212) sc?11 sx1?x2?sc(? t?1n1n2(n1?1)?(n2?1)sx1?x2

方差齐时，??(n1?1)?(n2?1)

2222方差不齐时，t?t? ??(SXI?SX2)2S44

XIX2n1?1?Sn2?1假设检验注意事项：

1． 统计推断的结论不能绝对化

Ⅰ类错误、Ⅱ类错误及两者间的关系

2． α到底是应该取0.05还是0.01?

3． 何时用单侧检验？何时用双侧检验？ 4． 差别有显著性？还是差别显著？

5． p?? 做出的结论是接受H0，对吗？

6． 科研设计中有些小错误无所谓，可以用统计学方法来弥补。这种说法对吗？

例1． 已知正常成年男子脉搏数为72次/分，现某山区测定了20名成年男子的脉搏数，平均值为74次/分，标准差为6.16次/分，问该地男子脉搏数是否比正常成年男子快？ 80 80 68 68 80 80 68 68 80 80 68 68 80 80 68 68 80 80 68 68

例2．不同饲料组大白鼠肝中维生素A含量（IU/g）

大白鼠对号 正常饲料组 1 2 3 4 5 6 7 8

3550 2000 3000 3950 3800 3750 3450 3050

维生素E缺乏组 2450 2400 1800 3200 3250 2700 2500 1750

差值d 1100 -400 1200 750 550 1050 950 1300

问，不同饲料的大白鼠肝中维生素A含量有无差别？

例3．用克矽平才化吸入治疗矽肺患者7人，得如下资料，能否认为治疗会引起患者血清粘蛋白的变化？

患者号 1 2 3 4 5 6 7

治疗前 65 73 73 30 73 56 73

治疗后 34 36 37 26 43 37 50

差值d 31 37 36 4 30 19 23

例4．25例糖尿病患者随机分成两组，甲组单纯用药物治疗，乙组采用药物治疗合并饮食疗法，二个月后再次测空腹血糖，问二组患者血糖值是否相同？

表 25名糖尿病患者两种疗法治疗后二个月血糖值（mmol/L）

甲组 乙组 8.4 5.4 10.5 6.4 12.0 6.4 12.0 7.5 13.9 7.6 15.3 8.1 16.7 11.6 18.0 12.0 18.7 13.4 20.7 13.5 21.1 14.8 15.2 15.6 18.7

例6．30例患者平均分成西药组15例和中药组15例，分别于治疗前和治疗后10天检测辅助性T细胞（CD4+）的变化，结果如下表：

表 两种疗法受试病例治疗前后辅助性T细胞（CD4）变化的比较

编西药组 编中药组 号 治疗前 治疗后 前后差 号 治疗前 治疗后 前后差 1 36 41 -5 16 35 38 -3 2 35 38 -3 17 36 39 -3 3 40 43 -3 18 36 39 -3 4 35 39 -4 19 33 36 -3 5 28 24 4 20 36 41 -5 6 28 26 2 21 35 40 -5 7 35 31 4 22 37 42 -5 8 38 34 4 23 40 41 -1 9 38 36 2 24 33 39 -6 10 39 36 3 25 40 38 2 11 32 30 2 26 40 42 -2 12 32 36 -4 27 38 41 -3 13 38 36 2 28 32 35 -3 14 36 40 -4 29 41 44 -4 15 38 36 2 30 35 33 2

问：（1）两种疗法对T辅助细胞数有没有影响？（2）哪一种疗法的影响更大？

例7．今测30不同年龄男子的某项指标如下，问50岁及以上者与50岁以下者该指标有无不同？

age 50 48 56 48 37 37 48 53 53 55

x 41 38 43 39 24 26 31 34 36 36

age 43 43 53 50 53 48 50 50 45 50

x 30 36 36 40 36 38 39 39 36 41

age 48 51 56 45 56 56 53 43 58 48

x 40 42 41 39 38 42 41 35 44 33

例8．将钩端螺旋体病人的血清随机分为两组，分别用标准株和水生株作凝溶试验，测得稀释倍数如下表，问两组的平均效价是否不同？

标准株（11人） 100 200 400 400 400 400 800 1600 1600 1600 3200

水生株（9人） 100 100 100 200 200 200 200 400 400

例9．某医生测得当地116名正常成女子血清甘油三酯，结果如下表。

组段 0.6- 0.7- 0.8- 0.9- 1.0- 1.1- 1.2- 1.3- 1.4- 1.5- 1.6-1.7 合计

频数 1 3 9 13 19 25 18 13 9 5 1 116

（1） 能否据此数据估计该地正常成年女子血清胆固醇的95%、99%正常值范围？ （2） 据此数据估计该地正常成年女子血清胆固醇总体均数的95%、99%可信区间。 （3） 说明95%正常值范围与总体均数95%可信区间的区别。

例10．测得某地300名正常人尿汞值，其频数表如下。 尿汞值 0- 4- 8- 12- 16- 20- （1） （2） （3） （4）

例数 49 27 58 50 45 22

尿汞值 24- 28- 32- 36- 40- 44-

例数 16 9 9 4 5 0

尿汞值 48- 52- 56- 60- 64- 68-

例数 3 0 2 0 0 1

试计算无均数和中位数，何者的代表性较好？ 能否据此求出正常人尿汞值的95%正常值范围？

可否据此估计正常人尿汞值总体均数的95%可信区间？

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