高等数学题库5678题

重庆工业职业技术学院《高等数学》试题库

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)

一、单选题

(f(x)dx)?1.设f(x)是可导函数,则?为（ A ）.

? A.f(x) B.f(x)?C C.f?(x) D.f(x)?C

2.函数f(x)的（ A ）原函数,称为f(x)的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 f(x)dx?e3.?xcos2x?C,则f(x)?（ B ）.

xxxxA.e(cos2x?2sin2x) B.e(cos2x?2sin2x)?C C.ecos2x D. esin2x

4.函数f(x)?ex的不定积分是（ B ）.

A.ex B.ex?c C.lnx D.lnx?c 5.函数f(x)?cosx的原函数是 （ A ）.

A.sinx?c B.cosx C.?sinx D.?cosx?c 6.函数f(x)?1?12的原函数是（ A ）.

x 1211?c B.x? C.3 D.x2??c

xxxx?7.设2x是f(x)的一个原函数,则?f(x)dx?()( C )

A.x???A. 2x B.2 C.x D.-2 8.若

xx?edx?e?c2 , 则

2xe?d2x=（ A ）

A.e2x?c B.ex?c C.?e2x?c D.e?2x?c

9.函数f(x)?sinx的原函数是（ D ）.

A.sinx?c B.cosx C.?sinx D.?cosx?c

F?(x)?G?(x)=（ B ）. 10.若F(x)、G(x)均为f(x)的原函数，则 A.f(x) B.0 C.F(x) D.f?(x) 11.函数f(x)?1?1的原函数是（ A ）. 2x2111 A.x??c B.x? C.3 D.x2??c

xxxx

12. 函数f(x)?1?

1的原函数是（ A ）. x21

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2111 A.x??c B.x? C.3 D.x2??c

xxxx13.若函数f(x)、g(x)在区间(a,b)内可导，且f?(x)?g?(x)，则（ B ）. A.f(x)?g(x) B.f(x)?g(x)?C

C.f(x)?g(x) D. 不能确定f(x)与g(x)之间的关系 14.若F?(x)?f(x)，则下列等式成立的是（ B ）. A.F?(x)dx?f(x)?C B.

??f(x)dx?F(x)?C ?f?(x)dx?F(x)?C

C.F(x)dx?f(x)?C D.

?15.经过点(0,?1)，且切线斜率为2x的曲线方程是（ D ）.

A.y?x2 B. y??x2 C. y?x2?1 D. y?x2?1

二.计算题

1.求不定积分x1?x2dx.

?1dx. 2.求不定积分?3?xexdx. 3.求不定积分?x1?e4.求不定积分(??13?2sinx?)dx.

xxdx.

5.求不定积分xe6.求不定积分

?x2x?x2?1dx.

7.求不定积分?(2x?7x)2dx. 8.求不定积分?(2x?1)10dx. 9.求不定积分?(x?1)(x?210.求不定积分sinxdx.

1)dx. x?11.求不定积分

1?sin2xcos2xdx.

2

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12.求不定积分

1?2x?3dx.

1arctanxdx. 21?x13.求不定积分?3x3dx. 14.求不定积分?1?x415.求不定积分

?1?4x12dx.

16.求不定积分?(x3?5x)dx. 17.求不定积分?e?5xdx. 18.

三.判断题 1.?sinxdx?cosx?cx ( B )

e2.?3.?4.?5.?6.?dx?ex （ B ）

( B ) ( A )

( B )

sinxdx??cosx.sinxdx??cosx?c[sin(1?2x)]dx?sin(1?2x)cosxdx??sinx?c （ B ）

四.填空题

dx?________dln(5?2x)5?2x1..

2xdx?_______d(1?x). 2.

3.

xa?dx? .

4.设f(x)是连续函数，则d?f(x)dx? .

25. 的原函数是x?sinx.

6.(3?x)dx?d[(3?x)2?4].

7.?cos7xdx? .

3

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8.a3xdx?9.sin3xdx?10.?lnxdx?x11.?x3dx?2d(a3x?1).

d(cos3x).

. .

?2xxedx?d__________12..

13.?cosx?sinxdx?14.?1dx?1?9x22. . . .

,若积分曲线通过原点，则常数C? .

15.sin2xdx??16.?f?(2x)dx?17.设?f(x)dx?F(x)?C.dx?________d(arctan3x)218.1?9x.

19.xedx?________d(e). f(x)dx?sin20.已知?2x2x2x?C,则f(x)?___________.

21.设F1(x)、F2(x)是f(x)的两个不同的原函数，且f(x)?0,则有F1(x)?F2(x)? .

22.求不定积分23.?12exdx?x1?x2?1dxx?1 .

.

xdx?________dln(x2?1)224.x?1.

25.若f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数为______________.

3_. 26.设x为f(x)的一个原函数，则df(x)?__________d(1?4cos2x) 27.sin2xdx?_______228.x?sinx的一个原函数是_____ _______.

29.

sinxxdx?_______d(cos)33.

4

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30.?tanxdx?31.?cos?1?2x?dx?32.?sec2xdx?33.?dx?sin23x.

. . .

34.设2x是f(x)的一个原函数，则[f(x)dx]?? .

五.应用题

1.设一质点作直线运动,已知其加速度为a?12t2?3sint,如果t?0时v0?5,s0??3,求（1）v与t的函数关系； （2）s与t的函数关系.

2.求经过点（0,0）,且切线斜率为2x的曲线方程.

3.一物体由静止开始运动,t秒末的速度是3t（米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？

4.一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于x,求这曲线的方程.

5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t秒时的速度为360t?180（米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.

6.求经过点(e,1),且切线斜率为

1x32?的曲线方程.

的曲线方程.

127.求经过点（0,0）,且切线斜率为1?x

第五章 不定积分2(分部积分法)

一.单选题

1.下列分部积分法中, u,dv选择正确的是（ ）. A.?xsin2xdx，u?x，dv?sin2xdx2?x B.?xlnxdx,u?1,dv?lnxdxx

xeC.?dx,u?e?x,dv?x2dxxedx,u?e,dv?xdx D.?

)

2.?arctan2xdx?xarctan2x??xd(dx4-x2A.arctan2x B.arctan4x C.-arctan2x D.-arctan4x 3.

??().

A.

arcsinxx?Carccos?C22 B.arcsinx?C C. D.arccosx?C

二.判断题

1.分部积分法?udv?uv??vdu的关键是恰当的选择u和dv,使?vdu应比?udv容易积分.（ ）

5

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47.求定积分

?11dx21?x33. 48.求定积分

?16 14dx.

x?x

五.应用题

1.巳知生产某产品x（百台）时,总收入R的变化率R′=8-x(万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量.

2.试描画出定积分

???2cosxdx所表示的图形面积,并计算其面积.

?3.试描画出定积分??sinxdx所表示的面积图形,并计算其面积.

2

3y?x4.计算曲线,直线x??2,x?3及x轴所围成的曲边梯形面积.

2y?4?x5.计算抛物线与x轴所围成的图形面积.

6.巳知生产某产品x（百台）时,总成本C的变化率为C??2?x（万元/百台）,求产量从1(百台)增

加到3(百台)时总成本的增加量.

?0,?7.计算函数y?2sinx在?2?上的平均值.

???8.计算函数y?2cosx在?0,??上的平均值.

??2??

第七章 定积分的应用

一.单选题

1.变力使f(x)物体由[a,b]内的任一闭区间[x,x?dx]的左端点x 到右端点x?dx所做功的近似值为( ).

A.?df(x) B.f(dx) C.f(x)dx D.?f(x)dx

2.一物体受连续的变力F(x)作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从x?a运动到x?b, 变力所做的功为( ). A.

?abF(x)dx B.?F(x)dx C.??F(x)dx D.??F(x)dx

bbabaa2y?x3.将曲线与x轴和直线x?2所围成的平面图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积可表示为

Vy?（ ）.

A.

??x4dx02 B.

??ydy04 C.

???4?y?dy04 D.

???4?y?dy04

11

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二.判断题 1.定积分?baf(x)dx反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ）

2.已知边际利润求总利润函数要用到定积分方法. （ ）

三.填空题

?x?2及y?0所围成的平面图形的面积可用定积分表示为1.计算曲线y?sinx与曲线

A?.

3y?x2.抛物线与x轴和直线x?2围成的图形面积为____ ____ .

2y?x3.由曲线与直线x?1及x轴所围成的平面图形,绕x轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表

示为Vx?________.

四.计算题

3y?x1.求抛物线与x轴和直线x?3围成的图形面积.

2y?4ax及直线x?b(b?0)所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转体的体积. 2.把抛物线

3.一边长为am的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m,试求该薄板的一侧所受的水

332的压力（水的密度为10kg/m, g取10m/s）.

4.计算抛物线y?x与直线x??1,x?3和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转体体积.

225.由y?x和y?x所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.

26.求由曲线

y?1x与直线y?x及x?2所围成的图形的面积.

2y?x?1,y?0,x?1,x?0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 7.用定积分求由

228.求曲线y?x,y?(x?2)与x轴围成的平面图形的面积.

高为h的圆锥体的体积9.用定积分求底圆半径为r，.

3y?x10.计算曲线和y?x所围成的图形面积.

211.计算抛物线y?4?x与x轴所围成的图形面积.

2y?x12.求曲线与y?x所围成的图形的面积。

12

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五.应用题

1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,f(t)?2t?1,t?0,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少？

2y?x2.计算抛物线与直线x??2,x?4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转体体

积.

3y?x3.计算曲线和y?x所围成的图形面积.

p(,p)4.求抛物线y?2px及其在点2处的法线所围成的图形面积.

2

5.把等边双曲线xy?4及直线y?1,y?4,x?0所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的体积.

6.已知某产品生产x个单位时，总收益R的变化率(边际收益)为:R?(x)?200?x（1）求生产了50个单位时的总收益.

（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.

2y?4ax及直线x?x0?x0?0?所围成的图形绕x轴旋转所的旋转体的体积. 7.把抛物线

100(x?0)

2y?x所围成的图形的面积. x?y8.求曲线与直线

2y?x9.计算曲线,直线y?2x?3所围成的图形面积.

x2y2??19410.计算椭圆绕x轴旋转所形成的椭圆的体积.

22y?xx?y11.由抛物线及所围成的图形绕y轴旋转所的旋转体的体积.

x?xy?e,y?e12.求曲线与直线x?1所围成的图形的面积.

2y?1?x13.设平面图形D由抛物线和x轴围成,试求D绕y轴旋转所得旋转体的体积.

14.已知某弹簧用２Ｎ拉力能伸长2cm,求如果把该弹簧拉长10cm需做多少功?

215.已知物体的运动速度与时间的函数关系v(t)?3t(m/s),求在时间段?1,3?(s)上物体的平均速度是

13

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多少？

216.求抛物线y??x?4x?3与其在点(0,3)和(3,0)处交线所围成的平面图形的面积.

3y?x17.计算曲线,直线x??4,x?2所围成的曲边梯形面积.

2y?x18.计算曲线,直线y?2x?3所围成的图形面积.

19.某产品的总成本C(万元)的变化率(边际成本)C??1，总收益R(万元)的变化率(边际收益)为生产量x(百台)的函数R?(x)?5?x,

（1）求生产量等于多少时，总利润L?R?C为最大?

（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少?

222x?y?8分割成两部分的面积. y?2x20.求抛物线将圆

第八章 常微分方程

一.单选题

1.微分方程y???0的通解是（ ）

A.y?C B.y?Cx C.y?C1x?C2x D.y?C1x?C2 2.以下不是微分方程的是（ ）

dy?xcosx?022dxA. B.(2x?1)dx?(x?y)dy C.y?4xy?0 D.x(y?)?2xy??0 3.以下属可分离变量微分方程的是（ ）

?x3?y3222?A.y?x?y?0 B.dx C.(x?y)dx?ydy?0 D.xydx?(x?2)dy?0

dy4.微分方程y???2y?y?sinx是（ ）

A.一阶线性方程 B.一阶非线性方程 C.二阶线性方程 D.二阶非线性方程

二．判断题

1.yy??y?sinx是一阶非齐次线性微分方程. ( ) 2.(7x?5y)dx?(x?y)dy?0是二阶微分方程. ( )

253.xy????2y??xy?0是三阶微分方程. ( )

三．填空题

14

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1.设曲线y?y?x?上任意一点?x,y?的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为 .

2.微分方程y????2y???sinx?1的阶数为 .

2x?yy?0?y?e3.微分方程, x?0满足已给初始条件的特解是 .

4.微分方程y??3y?2的通解是 . 5.xy??4y的通解为 .

dy?y?1dx6.的满足初始条件y?0??1的特解为 . 7.设某微分方程的的解为y??c1?c2x?e2x,且

yx?0?0,

y?x?0?1则c1?，

c2?.

8.微分方程 9.微分方程

dy?ex?8dx满足条件的通解为 .

的通解为 .

d2y?6x?1210.微分方程dx的通解为 .

d2y?6x2dx11.微分方程的通解为____________ __ .

212.微分方程3x?5x?5y??0的通解是 .

13.微分方程y??my?n（其中m,n为常数，且m?0）,则满足条件y?0??0的特解为 .

dy?ex14.微分方程dx的通解为___________ ___.

四.计算题

1.求微分方程

y??y?2(x?2)2x?2的通解.

?e的特解.

2.求微分方程y?sinx?ylny,yx??23.求微分方程的通解.

4.求微分方程y??ysinx?0的通解.

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dy?eax?by5.求微分方程dx的通解.

6.求微分方程xy??ylny?0的通解. 7.求微分方程ylnxdx?xlnydy?0的通解. 8.求微分方程y??ysinx?0的通解. 9.求微分方程

1?x2y??1?y2的通解.

10.求齐次微分方程y??2xy?0的通解.

dy2x?1?dx2y,11.求微分方程

yx?1?0的特解.

2212.求微分方程2xyy??y?1的通解.

xx13.求微分方程(1?e)yy??e的通解.

14.求微分方程 x2dy?(2xy?x?1)dx?0,当yx?1?0时的特解. 15.求微分方程y??e2x?y,

yx?0?0的特解.

dy2x?1?dx2y,y16.求微分方程

x?1?0的特解.

2?3y?2y?x17.求微分方程的通解.

五.应用题

1.验证函数

2

2.汽车刹车前速度为20m/s,刹车获得的加速度大小为2m/s,用微分方程求解汽车刹车开始到停止的时间与距离.

3.已知曲线y?f(x)上点（处的切线方程为2x?3y?6,函数y满足y???6x,求函数y的解析表达0，-2）式.

4.列车在直线轨道上匀速行驶,当制动时列车获得加速度?0.8m/s2,求开始制动后列车的运动规律（即制动后发生的位移与时间的关系式）.

5.列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶,当制动时列车获得加速度?0.4m/s2,问开始制动后列车的运动规律（制动后发生的位移与时间的关系）.

6.验证函数y?c1x?c2e是微分方程?1?x?y???xy??y?0的通解,并求满足初始条件

xy?x2?x22是微分方程xy???2y?x的解.

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yx?0??1,y?x?0?1的特解.

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