行列式测试题（有答案）

第九讲

行列式单元测试题点评

一、填空题（每小题2分，满分20分）

1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为 偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇 排列；

3. 行列式D和它的转置行列式D?有关系式D?D? ； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于 零 ；

6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边；

7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式 的值不变 ；

8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 零 ；

a1109. ?a12?a1na22?a2n?0???ann?a11a22?ann;

0kk2?1410.当k=时，42k?5。

2

1

二、判断题（每小题3分，满分24分）

1.若?(i1i2?in)?k,则?(i2i1i3?in)?k?1 （∨）

a112.设D?a21?an1a12??a1n??,则D的一般项ai1j1ai2j2?ainjn的符号a22?a2nan2?ann?(j1j2?jn)是(?1). （×）

3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D有两行（列）元素相同. (×) 4．若n阶行列式D恰有n个元素非0，则D≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D的相同元素多于n2?n个，则D=0. (×)

a117.

a12a22a32a13a13a23a22a21a33a23 (×) a31a21a31a23?a12a33a118.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分）

1．位于n级排列i1i2?ik?11ik?1?in中的数1与其余数形成的反序个数为（ A）

2（A）k-1 (B) n-k-1 (C) Cn (D) Cn?k

k2.设i1i2?in是奇排列，则inin?1?i2i1是（C） （A）奇排列； （B） 偶排列；

2

（C）奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列； （D）奇偶性仅由n的奇偶性确定的排列。

3．一个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为（D）；

(A)n(n?1)(B)n2(C)(n?1)2(D)n

4．以下数集作成数环的是( C )

?(3) S=?a?b(1) S=b5b?Z; (2) S=?a?0a?Q?;

?3a,b?Z; （4） S=a?b3ia,b?Q.

???（A）（1）、（3） （B）（2）、（4） （C）（3）、（4） （D）（1）、（4） a05．行列式0h0bg00fc0e00中元素f的代数余子式是（ C ） d(A)dgef(B)?dgef(C)?gaehd(D)ahd

e四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）

(2k)1(2k-1)2?(k+1)k)； 1．计算?( 解?[(2k)1(2k?1)2?(k?1)k]?(1?2???k) ?(1?2???(k?1)?k(k?1)k(k?1)??k2.22 32.设D?1?12 ?513?4201?11 ?5,求A?A?A?A的值.111213143?31解A11?A12?A13?A14?1 ?12 3 113?4101?11?53?4.?352223．计算行列式D=322453323334544243445552535456623的值。 66452解222324533233345442434455525354152622?5263326246413323334144243441552535416626364

?（3?2)（4?2)（5?2)（6?2)（4?3)（5?3)（6?3)（5?4)（6?4)（6?5）5=2885123?n?1n1?10?000的值。 4．计算行列式 Dn?02?2?0?????000?n?11?n

11解Dn?0?01(n?1)n02?0n?1?（?1）2?12?02?10?03030?2?0????????n?100?n?1n?100?n00?n00?1?n将第2至n列都加到第一列?0?2?01?n(n?1)n)!n?1(n?1(n?1)!?（?1）.224

五、证明下列各题（满分16分）

1.设F1,F2均为数域，证明F1?F2也是数域。（5分）

证明 因为 0,1?F1,F2?0,1?F1?F2,a,b?F1?F2?a,b?F1,aaa,b?F2?a?b,ab,(b?0)?F1,a?b,ab,(b?0) bba?F2?a?b,ab,(b?0)?F1?F2?F1?F2是数域。b?ay?bx?c?cx?az?b有唯一解。

2．已知a,b,c均不为0，证明?（5分）

?bz?cy?a?证明 因为方程组的系数行列式

ba0D?c0a??2abc?0(?a,b,c均不为0）

0cb所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。

0a3．设a,b,c是一个三角形的三边，证明bca0cbbc0acb?0.（6分）a0证明

0abc

a0cbbc0ac1b1?（a+b+c)a101a0cbbc0ac1000b1?ac?bb?c?（a+b+c)a1c?a?ba?c 01b?aa?b?c5

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