巩固练习_高考总复习：离散型随机变量及其分布列、均值与方差

【巩固练习】

1．某射手射击所得环数X 的分布列为：

A ．0.28

B ．0.88

C ．0.79

D ．0.51

2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名

运动员这次测试成绩的标准差，则有

（ ）

Ａ．312s s s >>

Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >>

3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X

是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )

A. 1

220 B. 2755 C.

27

220

D.

2125

4．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q 等于( )

1

6

1

4

A ．1

B ．1±

2

C ．1

D ．1 5．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝(1)

c

k k ，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P (12

值为( )

A. 23

B. 34

C.

45

D.

56

6．已知某随机变量ξ的概率分布列如下表，其中x >0，y >0，随机变量ξ的方差Dξ＝1

2

，则x ＋y ＝________.

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．

8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：

请小牛同学计算ξ两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.

9．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：

F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝________.

10．袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．

11．某学校高一年级开设了,,,,

A B C D E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；

（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望．

12.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE，并求该商家拒收这批产品的概率.

13.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。已知师父加工一个零件

是精品的概率为2

3

，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为

1

9

。

（Ⅰ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；

（Ⅱ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；

（Ⅲ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值Eξ。

14．袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和均值．

15．某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时.

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .

【参考答案】

1．【答案】C

【解析】P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)

＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.

2．【答案】B 【解析】8.5x x x ===乙甲丙，

2222

2

5(78.5)5(88.5)5(98.5)5(108.5) 1.2520s -+-+-+-==1

， 同理2 1.45s =2，2 1.05s =3，故213s s s >>，选B 。

3．【答案】C

【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，

故P (X ＝4)＝2139312

27220C C C = 4．【答案】C

【解析】由分布列的性质得：

221120020

10.51212q q q q q q ?-≥?<≤???≥?????=±+-+=???

?

∴1q = 5．【答案】D 【解析】由题意，得

1261220c c c c +++=，即54c =，于是 P (12

c c c +==?= 6．【答案】 34

【解析】 2x ＋y ＝1，Eξ＝4x ＋2y ＝2，Dξ＝(－1)2x ＋12x ＝2x ＝

12?x ＝14， y ＝1－12＝12，所以x ＋y ＝34

. 7．【答案】答案：－1,0,1,2,3

【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X 的所有可能取值为－1,0,1,2,3.

8．【答案】2

【解析】设“？”处数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以Eξ＝t ＋2(1－2t)＋3t ＝2.

9．【答案】56

【解析】∵a ＋

13＋16＝1， ∴a ＝12

∵x ∈[1,2)， ∴F (x )＝P (X ≤x )＝

12＋13＝56. 10．【解析】（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则3111433331227()55

C C C C P A C ???==． （II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.

31211(1)220

P X C ===； 212133333331219(2)220

C C C C C P X C ?+?+===； 21123636333126416(3)22055

C C C C C P X C ?+?+====； 211239393331213634(4)22055

C C C C C P X C ?+?+====． 所以随机变量X 的分布列为

随机变量X 的均值为 11916341551234220220555544

EX =?+?+?+?=． 11．【解析】（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有555125??=（种）．

（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：35312525A =．

∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：121312525

-

=． （Ⅲ）由题意：0,1,2,3X =． 33464(0)5125P X ===； 1233448(1)5125

C P X ?===； 233412(2)5125C P X ?===； 3331(3)5125

C P X ===． ξ的分布列为

数学期望64481210123125125125125EX =?+?+?+?=35

12.【解析】（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()

4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2

()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190

C P C ξ===

136513301219019019010

E ξ=?+?+?= 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率 ()136271119095

P P B =-=-= 所以商家拒收这批产品的概率为

2795。 13.【解析】（Ⅰ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1 由21221339p ?=得2114

p =， 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是14

（Ⅱ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p 2 由（Ⅰ）知，112

p = 师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下:

徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下:

所以p 2=124194949436

?+?+?= （Ⅲ）ξ的分布列为

ξ的期望为0?136+1?636+2?1336+3?1236+4?436=73

14．【解析】（I ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，

则3111433331227()55

C C C C P A C ???==． （II ）由题意X 所有可能的取值为：1，2，3，4.

31211(1)220

P X C ===； 212133333331219(2)220C C C C C P X C ?+?+===； 21123636333126416(3)22055

C C C C C P X C ?+?+====； 211239393331213634(4)22055

C C C C C P X C ?+?+====． 所以随机变量X 的分布列为

随机变量X 的均值为 11916341551234220220555544EX =?+?+?+?=． 15．【解析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元.

都付2元的概率为1111428

P =

?=； 都付4元的概率为2111248

P =?=； 都付6元的概率为31114416

P =?=； 故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.

1(4)8P ξ==； 11115(6)442216P ξ==?+?=； 1111115(8)44242416P ξ==?+?+?=； 11113(10)442416

P ξ==?+?=； 111(12)4416

P ξ==?=. 故ξ的分布列为

所求数学期望155311546810128161616162E ξ=?+?+?+?+?=.

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