创新设计2012高考数学二轮专题复习试题：1-3-1(新课标版理科)

haodongd

A组

(时间：45分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

4

1．(2011·舟山模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝，则S9等于( )．

3A．4 B．5 C．6 D．7 解析 ∵{an}为等差数列， 4

∴a2＋a8＝a1＋a9

34939 a＋a

∴S9＝6.

22答案 C

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )． A．54 B．45 C．36 D．27 解析 由等差中项性质可得2a8＝a5＋a11＝6＋a11. 9 a1＋a9

∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.

2答案 A

3．(2011·佛山市模拟)在等比数列{an}中，an>0，若a1·a5＝16，a4＝8，则a5＝( )． A．16 B．8 C．4 D．32 解析 ∵a1·a5＝a2·a4＝16，∴a2＝2， a∴q2＝＝4，∴q＝2，

a2∴a5＝a2q3＝2·23＝16. 答案 A

4．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )．

A．6 B．7 C．8 D．9

解析 设等差数列的公差为d，则由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－n n－1 3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时，Sn

2

haodongd

取最小值，故选A. 答案 A

5．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则( )． A．a6＝b6 B．a6>b6 C．a6<b6 D．a6>b6或a6<b6 解析 ∵a1＋a11＝b1＋b11，又a1＋a11＝2a6， b1＋b11b1b11＝2b6，∴a6>b6. 答案 B

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的公差d＝________.

解析 由题意得(1＋d)2＝1·(1＋4d)， ∵d≠0，∴解得d＝2. 答案 2

1

7．在等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝n＝________.

2a＋aq a＋a 181

解析 ∵q＝，

362a3＋a6a3＋a612 1 5＝36， ∴a3＋a6＝a1 ＋a1

2 2 ∴a1＝27＝128，

1 n－11－

∴an＝a1· qn1＝27× 2 ＝2 1 n－1 18∴ 2 ＝ 2， ∴n－1＝8，∴n＝9. 答案 9

8．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系Sn＝2－3an，则an＝________. 解析 当n≥2时，Sn－1＝2－3an－1，①；又Sn＝2－3an，②；由②－①得an＝－3an＋3an－1，31即an＝an－1.又当n＝1时，a1＝S1＝2－3a1，∴a1

4213

∴{an}是首项为，公比为的等比数列，

2413n－1

∴an＝ .

2 413n－1

答案

24三、解答题(每小题10分，共20分)

haodongd

9．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2an＝Sn＋n. (1)若bn＝an＋1，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{Sn}的前n项和Tn.]

(1)证明 n＝1时，2a1＝S1＋1，∴a1＝1. 由题意，得2an＝Sn＋n,2an＋1＝Sn＋1＋(n＋1)， 两式相减可得2an＋1－2an＝an＋1＋1， 即an＋1＝2an＋1.

于是an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝2. 所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知：bn＝2·2n1＝2n，

－

∴an＝2n－1，

∴Sn＝2an－n＝2n1－n－2，

＋

∴Tn＝T1＋T2＋…＋Tn

＝(22＋23＋…＋2n1)－(1＋2＋…＋n)－2n

＋

22－2n2n n＋1 ＝－2n

21－2

＋

5n1＋

＝2n2－4－n2.

22

10．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)设数列{an}的公比为q(q>1)， a＋a＋a＝7， 123

由已知，得 a1＋3 ＋ a3＋4

3a，2 2

a1＋a2＋a3＝7， a1 1＋q＋q2 ＝7，

即 亦即 2

a－6a＋a＝－7，a 1－6q＋q ＝－7， 1 123

解得：a1＝1，q＝2，∴an＝2n1.

－

(2)由(1)得：a3n＋1＝23n，∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2，又bn＋1－bn＝3ln 2， ∴{bn}是以b1＝3ln 2为首项，公差为3ln 2的等差数列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＝

n b1＋bn n 3ln 2＋3nln 2

223n n＋1 ln 2

， 2

haodongd

3n n＋1

即Tn＝2

B组

(时间：30分钟 满分：35分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．在公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b6·b8等于( )．

A．2 B．4 C．8 D．16

2解析 ∵2a3－a27＋2a11＝0，∴2(a3＋a11)＝a7， 2∴4a7＝a7，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b6·b8＝b27＝16.

答案 D

2．在正项等比数列{an}中，a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )．

21

B．93 C．±93 D．35 233

解析 依题意知：a2＝，a48＝2或a2＝2，a48＝22

2

∴a2a48＝a 25＝3.

5∴a1·a2·a25·a48·a49＝a25＝93.

答案 B

3．(2011·哈尔滨模拟)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，anmn＝14

4a1，则的最小值为( )．

mn

35254 B. C. 2363解析 由a7＝a6＋2a5.得q2－q－2＝0，解得q＝2. ∴aman＝a1qm1·a1qn1＝16a21，

－

－

∴qm

＋n－2

＝2m

＋n－2

＝24，

∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，

141n4m1

＋m＋n)＝ 1＋5＋≥ ∴ mn mn66 15(6＋4)＝. 63答案 B

二、填空题(每小题5分，共10分)

4．设Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S9＝18，Sn＝240，若an－4＝30(n>9)，则n＝________.

haodongd

9 a1＋a9

解析 由S9＝18，得a5＝2，

2n a1＋an n a5＋an－4 ∴Sn＝＝240，

22∴n＝15. 答案 15

1

5．在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1n(n≥1)，则an＝________.

311

解析 ∵an＋1n(n≥1)，∴an＝Sn－1(n≥2)，

3314

∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝an(n≥2)，

3314n－2

当n≥2时，an＝，当n＝1时，a1＝1.

331，n＝1，

∴an＝ 1 4n－2

，n≥2.3 31，n＝1

答案 1 4n－2

3，n≥2 3三、解答题(本题10分)

6．(2011·杭州教学质量检测)已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an

＋1

成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝10，a2＝15.

(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}，{bn}的通项公式；

111b(3)设Sn＝，如果对任意正整数n，不等式2aSn<2－a的取值

a1a2anan范围．

(1)证明 由已知，得2bn＝an＋an＋1 a2bn＋1 n＋1＝bn·

① ② ③

由②得an＋1＝bnbn＋1

将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*， 有2bnbn－1bnbnbn＋1. 即bn＝bn－1＋bn＋1. ∴bn}是等差数列．

(2)解 设数列{bn}的公差为d，

haodongd

25

由a1＝10，a2＝15.经计算，得b1＝，b2＝18.

255∴b1＝2，d＝b2－b1＝32－2＝222522

∴bn＝2＋(n－＝n＋4)．

222 n＋4 2 n＋3 n＋4

∴bn＝，an.

22

1112

(3)解 由(1)得＝2 n＋3n＋4.

an n＋3 n＋4 11 11 11－＋＋…＋ ∴Sn＝2 n＋3n＋4 45 56

11

＝2 4n＋4.

11n＋4b不等式2aSn<2－化为4a 4n＋4<2－an n＋3即(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0，

设f(n)＝(a－1)n2＋(3a－6)n－8，则f(n)<0对任意正整数n恒成立． 当a－1>0，即a>1时，不满足条件； 当a－1＝0，即a＝1时，满足条件； 当a－1<0，即a<1时，f(n)的对称轴为x＝－

3 a－2

<0，f(n)关于n递减，

2 a－1

15

因此，只需f(1)＝4a－15<0.解得a<a<1.

4综上，a≤1.

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