2016年江苏省高考数学压轴试卷

2016年江苏省高考数学压轴试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）

1．（5分）若集合A={x|y=2．（5分）若复数

，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B= ．

+m（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m= ．

3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是 ． 4．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 ． 5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值为 ．

6．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ． 7．（5分）若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣

）= ．

，侧面积为

，

8．（5分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的底面一边AB长为则它的体积为

9．（5分）已知双曲线双曲线的离心率为 ．

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﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为2x﹣y=0，则该

10．（5分）不等式组所表示的区域的面积为 ．

11．（5分）已知△ABC外接圆O的半径为2，且，||=||，则= ．

12．（5分）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=

?

（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值

为 ．

13．（5分）在等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．

2

14．（5分）设关于x的实系数不等式（ax+3）（x﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则2

ab= ．

二、解答题 15．（14分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD． （Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

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17．（14分）如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、

km．测得tan∠MON=﹣3，OA=6km．以点O为坐标

原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以18km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）． （1）问游轮自码头A沿

方向开往码头B共需多少分钟？

（2）海中有一处景点P（设点P在xOy平面内，PQ⊥OM，且PQ=6km），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标．

18．（16分）已知椭圆C：在椭圆C上；

（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C1：

=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x+y=的两条切

2

2

的右焦点为F（1，0），且点P（1，）

线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：

为定值；

（3）若P1、P2是椭圆C2：上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆

C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过

焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（6分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a≥0）． （1）当a=1时，求f（x）的单调减区间；

（2）若存在m＞0，方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值． 20．（16分）已知数列{an}的通项公式为 an=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z： （1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{an}中的各项均为正数； （2）若k1=1、k2∈N，数列{bn}满足bn=出所有满足条件的k2的值；

*

x

2

，且对任意m∈N（m≠3），均有b3＜bm，写

*

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（3）若0＜k1＜k2，数列{cn}满足cn=an+|an|，其前n项和为Sn，且使ci=cj≠0（i，j∈N，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、Sn中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．

【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证：BE?CE=EF?EA．

*

B．[选修4-2：矩阵与变换] 22．已知矩阵A=

，求矩阵A的特征值和特征向量．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为线C所截得的弦长．

D．[选修4-5：不等式选讲]

24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+

≥2y+3．

（t为参数），求直线l被曲

四.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．

（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；

（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）． 26．若存在n个不同的正整数a1，a2，…，an，对任意1≤i＜j≤n，都有这n个不同的正整数a1，a2，…，an为“n个好数”． （1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；

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∈Z，则称

（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．

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