(第5讲)求函数值域常用方法及值域的应用

数学复习内容

第5讲 求函数值域的常用方法及值域的应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［,

23

］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34

命题意图 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力

知识依托 主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识

错解分析 证明S(λ)在区间［,

23

］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值34

技巧与方法 解设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,

将x=

22

5

代入上式得 S=5000+44 (8 +

5

),

8cm

当8 =

,即λ=(<1)时S取得最小值

5588

x=

4840

=88 cm, 宽λx=

5

× 8

5cm5cm

如果λ∈［,

2323

］，可设≤λ1<λ2≤,

3434

8cm

则由S的表达式得

S( 1) S( 2)

又 1 2≥

52523

>0,∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［,］内单调递增  ,故8－

3834 1 2

数学复习内容

从而对于λ∈［,

232

］,当λ=时，S(λ)取得最小值

334

答画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小如果要求λ∈［,

232

］,当λ=时，所用纸

334

x2 2x a

例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞)

x

1

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值

2

(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围

命题意图 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 知识依托 本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想 错解分析 考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决

技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解

(1)解当a=

11时，f(x)=x++2 22x

∵f(x)在区间［1，+∞)上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞)上的最小值为fx2 2x a

(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立

x

2

设y=x+2x+a,x∈［1,+∞)

∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立， 故a>－3 

f(x)=x+

a

+2,x∈［1,+∞) x

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,

当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－

例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+

1

) m 1

(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值

(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1

(1)证明 先将f(x)变形f(x)=log3［(x－2m)2+m+

1

］, m 1

1

>0恒成立，故f(x)的定义域为R m 1

1

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－

m 1

1

4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M

m 1

1

(2)解析设u=x2－4mx+4m2+m+,

m 1

1

∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)而u=(x－2m)2+m+,

m 1

当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+

数学复习内容

11

,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 m 1m 111

(3)证明当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,

m 1m 1

1

当且仅当m=2时等号成立∴log3(m+)≥log33=1

m 1

显然，当x=m时，u取最小值为m+

巩固练习

11

(x≤－)的值域是( )

2x

32773

－∞,－] B,+∞) C,+∞) D(－∞,－2］

2442

1函数y=x2+

2函数y=x+ 2x的值域是( )

(－∞,1]

B(－∞,－1] C R

［1,+∞)

3一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安

全，两列货车间距离不得小于(

V2

)千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货20

车的车身长)

4设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________ 5已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围

参考答案

1 解析∵m1=x2在(－∞,－

1111）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数，∴y=x2+在x∈(－22xx

∞,－

1

)上为减函数, 2

117

∴y=x2+ (x≤－)的值域为［－，+∞)

24x

答案B

2

2解析令 2x=t(t≥0),则x

1 t21∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1

22∴值域为(－∞,1]

答案A

3解析t=

400V240016V

+16×()/V=+≥2=8 VV20400

答案8

m 2

, 4

m 2117

∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,

2416

4解析x1+x2=m,x1x2=

又x1,x2为实根，∴Δ≥0∴m≤－1或m≥2，

y=(m－

1217)－在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y开口向上且以416

数学复习内容

1

为对称轴故m=1时， 4ymin=

1

答案－1

2

m=

(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是

a 1或a 12

a 1 0

,即， 522

a 或a 1 (a 1) 4(a 1) 0 3

∴a＜－1或a 又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意

故a≤－1或a>为

5

所求 3

a2 1 0

(2）依题意只要t=(a－1)x+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有 ,

0

2

2

解得1＜a≤

55

,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求 33

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nkh1.html