定积分及其应用

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在的问题是f(x)在[a,b]上是非常数函数，因此它的面积就不能简单地用矩形面积公式计算．但是，由于f(x)在[a,b]上连续，当x变化不大时，f(x)变化也不大，因此，如果将区间分割成许多小区间，相应地将曲图5-1

边梯形分割成许多小曲边梯形，每个小区

第5章 定积分及其应用 113

间上对应的小曲边梯形可以近似地看成小矩形．所有的小矩形面积的和，就是整个曲边梯形面积的近似值．显然，分割得越细，近似的程度越好．当分割无限细密时，小矩形面积之和的极限就是所要求的曲边梯形的面积．

根据上面的分析，曲边梯形的面积可按下述步骤来计算： （1）分割 在区间[a,b]内任取n?1个分点，依次为 a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，

它们将区间[a,b]分割成n个小区间

2 ， ? ， n）， [xi?1,xi]（i?1 ，并用?xi表示每个小区间[xi?1,xi]的长度，即

2 ， ? ， n）?xi?xi?xi?1（i?1 ，， 用直线

2 ? ， n?1）x?xi（i?1 ，，，

把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如图5-1所示）． 2 ，? ， n）上任取一点?i，作以f(?i)为（2）近似代替 在每个小区间[xi?1,xi]（i?1 ，高、?xi为底的小矩形，其面积为f(?i)?xi；当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[xi?1,xi]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的

小曲边梯形的面积．

（3）求和 n个小矩形面积之和就是该曲边梯形面积的近似值，即

S??f(?i)?xi；

i?1n（4）取极限 记所有小区间长度的最大值为?，

??max{?x1 ， ?x2 ， ? ， ?xn}，

当??0时，和式?f(?i)?xi的极限值就是曲边梯形的面积，即

i?1nS?lim?f(?i)?xi．

??0i?1n2．变速直线运动的位移

某物体作变速直线运动，已知速度v?v(t)是时间区间?T1,T2?上t的连续函数，且v(t)?0，求该物体在由T1到T2这段时间内所经过的位移s．

由于速度v是时间t的函数，所以求位移s不能直接按匀速直线运动物体的位移公式来

计算．但是，由于速度函数v?v(t)是区间[T1,T2]上的连续函数，在很短的一段时间内，速度的变化很小，近似于匀速．因此，如果把时间间隔分得很小，那么在一小段时间内，就

114 高等数学

可以用匀速直线运动代替变速直线运动，求其位移的近似值．具体计算如下：

（1）分割 在区间[T1,T2]内任取n?1个分点，依次为

T1?t0?t1?t2???tn?1?tn?T2，

它们将区间[T1,T2]分割成n个小区间

2 ， ? ， n）， [ti?1,ti]（i?1 ，并用?ti表示区间[ti?1,ti]的长度，即

2 ， ? ， n）?ti?ti?ti?1（i?1 ，，

2 ，? ， n）上任取一个时刻?i，用?i时刻（2）近似代替 在每个小区间[ti?1,ti]（i?1 ，的瞬时速度v(?i)来近似代替小区间[ti?1,ti]上各个时刻的速度，从而得到每个小区间上所经过位移的近似值，即v(?i)?ti；

（3）求和 n段时间上的位移之和就是所求变速直线运动物体位移的近似值，即

s??v(?i)?ti；

i?1n（4）取极限 记所有小区间长度的最大值为?，即

??max{?t1 ， ?t2 ， ? ， ?tn}，

当??0时，和式?v(?i)?ti的极限值就是所求变速直线运动的位移s，即

i?1ns?lim?v(?i)?ti．

??0i?1n5.1.2 定积分的定义

定义5.1 设函数f(x)在[a,b]上有定义，用分点

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，

2 ， ? ， n）将区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]（i?1 ，，各个小区间的长度依次为

2 ， ? ， n） 2 ， ? ， n）?xi?xi?xi?1（i?1 ，．在每个小区间[xi?1,xi]任取一点?i（i?1 ，，作乘积f(?i)?xi，并求出和式S? ?x?f(?)?x．记??max??x，iin1 2 ，??? ， ?xn?，如果不论对[a,b]

i?1怎样分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点?i怎样取法，只要当??0时，和S总趋于确定的

极限A，这时我们称极限A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作

? b af(x)dx?lim?f(?i)?xi． (5.1)

??0i?1n其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，f(x)dx称为被积表

达式，a，b分别称为积分下限和上限．

第5章 定积分及其应用 115

根据定积分的定义，前面两个引例都可以用定积分概念来描述：

曲边梯形的面积等于y?f(x)在其底边所在的区间[a,b]上的定积分，即

A?区间?T1,T2?上的定积分，即

? b af(x)dx；

变速直线运动的物体从时刻T1到T2内所经过的位移s等于其速度函数v?v(t)在时间

s??v(t)dt．

T1 T25.1.3 定积分的几何意义

（1）当y?f(x)?0，定积分?f(x)dx的几何意义为：由连续曲线y?f(x)及直线

a bx?a ，x?b ，y?0所围成的曲边梯形的面积（如图5-2（a）所示）．

（2）当y?f(x)?0时，定积分?f(x)dx的几何意义为：由连续曲线y?f(x)及直线

a bx?a ，x?b ，y?0所围成的曲边梯形面积的负值（如图5-2（b）所示）．

（3）当f(x)取值有正有负时，定积分?f(x)dx的几何意义为：介于x轴、函数f(x)的

a b图形及直线x?a ，x?b之间的各部分面积的代数和（如图5-2（c）所示）．

?s??bf(x)dx

a s??abf(x)dx

（a） （b） （c）

图5-2

由定积分的定义可以看出：定积分?f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]

a b有关，而与积分变量是什么无关，即

? b af(x)dx??f(m)dm．

a b如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间[a,b]上可积；否则就说

116 高等数学

不可积．

什么样的函数才可积呢？通过深入的讨论可以得到结论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积．由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间包含的任何闭区间上可积．同时也可以得到结论：具有有限个间断点的有界函数也是可积的．显然，无界函数是不可积的．

5.1.4 定积分的性质

显然可以得出：若函数f(x)在[a,b]上可积，k为常数，则kf(x)在[a,b]上也可积，且

?? b b akf(x)dx?k?f(x)dx．

a b即常数因子可提到积分号前．

若函数f(x)、g(x)在[a,b]上可积，则f(x)?g(x)在[a,b]上也可积，且有

a[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．

a a b b性质5.1（可加性） 函数f(x)在[a,b]上可积，对任意的c?(a,b)，f(x)在[a,c]与[c,b]上都可积，有

? a a b af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．

a c b a a b c bdx???(f)dxx．一般地，当a?b时，?f(x)dx?0；而?f(x)于是性质5.1无论c内

分还是外分区间[a,b]都成立．

性质5.2 设函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)?0，x?[a,b]，则?f(x)dx?0．

a b推论（保序性） 若x?[a,b]函数f(x)、g(x)在[a,b]上可积，且f(x)?g(x)，则

? b af(x)dx??g(x)dx．

a b性质5.3 若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)也在[a,b]上可积，且

? b af(x)dx?? b b af(x)dx．

性质5.4（估值不等式） 设M及m分别是f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(b?a)??f(x) dx?M(b?a)．

a性质5.5（积分中值定理） 若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得

? b af(x)dx?f(?)(b?a)．

积分中值定理的几何意义 若f(x)在[a,b]上非负连续，则y?f(x)在[a,b]上的曲边

b1梯形的面积等于以f(?)?f(x)dx为高，[a,b]为底的矩形的面积．请读者自己作出?ab?a

第5章 定积分及其应用 117

草图．

一般地，称

b1f(x)dx为f(x)在[a,b]上的平均值． ?ab?a 思 考 题

定积分的值与什么有关？与什么无关？

习 题 5.1

1．用定积分的几何意义计算： （1）?2xdx；

ba

（2）? a ?a?a2?x2dx；

（3）?(1?x)dx；

21（4）?sinxdx．

??2．比较下列各组定积分值的大小： （1）?xdx，?x2dx；

1 10 0

（2）?ln xdx，?ln tdt；

e e1 1?1?（3）?3dx，???dx；

?230??3．估计定积分的值：

1x ?1x （4）?lnxdx，?(lnx)2dx．

2 21 1（1）?exdx；

40

（2）? 3 1xdx． x2?15.2 微积分基本公式

5.2.1 积分上限函数

定义5.2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续， 且x为[a,b]上的任一点，我们把函数f(x)在[a,x]上的定积分?f(x)dx称为积分上限函数．记为

ax?(x)??f(x)dx．

a x

118 高等数学

为避免混淆，把积分变量改为t，于是上式写成

?(x)??f(t)dt．

a x定理5.1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数?(x)?导数，并且它的导数为

? x af(t)dt在[a,b]上具有

??(x)?dx． (5.2) f(t)dt?f(x) （a?x?b）

dx?a x a定理5.2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数?(x)??f(x)dx是f(x)在[a,b]上的一个原函数．

dxdx例１ 求（1）?esintdt； （2）?tanetdt．

dx0dx?1dx解 （1）?esintdt?esinx；

dx0d?xdx2dx?tt?tanex2x?2xtanex． （2）?tanedt?2??tanedt?dx?-1?dxdx?1 2 2222 例2 求limx?0? 1 cosxe?tdt2x2．

解 这是一个

0型未定式，由洛必达法则，得 0 1 cosx?limx?0e?tdtx22?limx?0?? cosx 1e?tdt2x2sinxe?cos?limx?02x2x?1． 2e例3 设f(x)在[0,??)内连续且f(x)?0，证明函数F(x)??? x 0 xtf(t)dtf(t)dt在[0,??)内为单

0调增加函数．

证 由积分上限函数的导数公式，得

dxdx， tf(t)dt?xf(x)f(t)dt?f(x)．

dx?0dx?0所以

F?(x)?xf(x)?f(t)dt?f(x)?tf(t)dt 0 0 x x(?f(t)dt) 0 x2?f(x)?(x?t)f(t)dt 0 x(?f(t)dt) 0 x．

2由题设知，0?t?x，f(t)?0，(x?t)f(t)?0，所以

第5章 定积分及其应用 119

x x? 0(x?t)f(t)dt?0且?f(t)dx?0，

0从而F?(x)?0(x?0)，这就证明了F(x)在[0,??)内为单调增加函数．

5.2.2 牛顿-莱布尼兹公式

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿－莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分紧密地联系起来．

定理5.3 若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

?? b a b af(x)dx?F(b)?F(a)． (5.3)

b a此公式叫做牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式．记作

f(x)dx?F(x)xa?F(b)?F(a)．

证 由定理5.2知，?(x)??f(x)dx是函数f(x)的一个原函数，所以

F(x)??(x)?C（C为常数），

即

F(x)??f(t)dt?C，

a x令x?a，代入上式，得F(a)?C，于是

?再令x?b，代入上式，得

x af(t)dt?F(x)?F(a)， f(t)dt?F(b)?F(a)．

?? 2 b a例4 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：

1??（1）??x??dx； （2）?4tan2xdx；

10x??311（3）?； （4）dx?0|x?1|dx． 01?x2 2 解 （1）? 2 12?x31?1?15?2x?dx； ?(x??2)dx???2x?4????2?1x?x3x6???1 22（2）?tanxdx??(secx?1) dx?(tanx?x)|?1?02 0 ?4?42?40?； 4（3）? 1 1?1； dx?arctanx|?001?x24120 高等数学

31211213． (1?x)dx?(x?1)dx?(x?x)|?(x?x)|?201?0?10222绝对值函数求定积分时，应先去绝对值号，插入改变符号的分点．

3（4）?|x?1|dx? 1 思 考 题

设f(x)在[a,b]上连续，那么它有无穷多个原函数，在用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分时，会不会因取不同的原函数，而得到不同的结果？

习 题 5.2

1．计算下列各式的导数: （1）y?(? x2 01?t2dt)；

（2）y?(? cosx 0etdt)；

2（3）y??sin(3t?t2)dt；

0 x（4）y??tan(1?t3)dt；

x0（5）y??ln(1?t)dt；

x30

（6）y?? cos x sinxetdt.

22．求下列各极限:

?（1）limx?0 x2 0sint2dtx6； （2）limx?0(?etdt)2 x2?? 0x 0tedt2t2；

1dt?01?t（3）limx；

x?0?sintdt x2 （4）limx?0? 0 xt2dtx．

0 0t(t?sint)dt3．求函数F(x)??te?tdt的极值．

x204．求下列定积分： （1）?|sinx|dx；

2?0

（2）?|x?2|dx．

0-41?2x?1,?1?x?0,5．设f(x)???x求?f(x)dx．

?10?x?1.?e,6．求下列定积分：

第5章 定积分及其应用 121

（1）? 2x3dx；

（2）1 0? 2 1x3dx； （3）? 1xdx；

（4）? 91 0 xdx；

1（5）? -11-2xdx； （6） 2 ?exdx；

1（7）? ?0sin2x2 dx；

（8）? 31 01?x2dx． 5.3 定积分的换元法和分部积分法

5.3.1 定积分的换元法

定理5.4 设函数f(x)在[a,b]上连续，函数x??(t)满足条件： （1）?(?)?a ，?(?)?b；

（2）?(t)在[?,?]（或[?,?]）上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]? 则有

? bx? ? af(x)d?f[?(t)]??(t)dt． ?这个公式称为定积分的换元公式．

例1 计算下列定积分的值：

（1）? a?x2dx 0a2(a?0)； （2）? 4x?2x；

02x?1d（3）? ln2ex?1dx；

（4） 0 ? 2x2?1 1xdx. 解 （1）令x?asint，（??2?t??2）则dx?acostdt， a2?x2?a2?a2sin2t?acost，当x?0时t?0；当x?a时t??2． ? aa2?x2dx ? ?2dt?a22tdt?a2cos2t)dt

0?acost?acost 0? ?2 0cos2? ?2 0(1??a2?2(t?12sin2t)|210?4?a2； （2）令t?2x?1，则x?t2?12，dx?tdt，当x?0时t?1；当x?4时t?3．(5.4)

122 高等数学

t2?1?24x?231322 dx ? ?tdt?(t?3)dt ?02x?1?1t2?1111271223； ?(t3?3t)|1?[(?9)?(?3)]?2323332t2t（3）令ex?1?t，则ex?1?t2，exdx?2tdt，dx?xdt?2dt．当x?0时，t?0；

et?1当x?ln2时，t?1．

2ln212t12?x1e?1dx； ? dt?(2?)dt?(2t?2arctant)|?2?0?0?0t2?1?01?t22??tndtt，（4）令x?s当x?1时，t?0；当x?2时，t?，在区间[0,]ect，则dx?secta33上sect是单值的，

? 2 1|tant|x2?1secttantdt??3tan2tdt dx??30sect0x ???．

03用换元法计算定积分，变量替换的目的往往是去掉被积函数中的根号，在进行变量替换时，需注意积分限做相应的改变．

??(sect?1)dt?(tant?t)|?3? ?32?30例2 若f(x)在[?a,a]上连续且为偶函数，则? a ?af(x)dx?2?f(x)dx．

0 a证 由f(x)为偶函数，有f(?x)?f(x)，令x??t，则dx??dt．

?所以

0 ?af(x)dx??? a 0 af(?t)dt?? 0 a 0f(?t)dt??f(?x)dx??f(x)dx；

0 aa0? ?af(x)dx?? ?a af(x)dx??f(x)dx??f(?x)dx??f(x)dx

0 0 0 a 0 a a a a??[f(x)?f(x)]dx?2?f(x)dx．

0讨论 若f(x)在[?a,a]上连续且为奇函数，问? ?af(x)dx?？

提示 若f(x)为奇函数，则f(?x)?f(x)?0，从而

? a ?af(x)dx??[f(?x)?f(x)]dx?0．

0 a例2给出了奇（偶）函数在对称区间上积分的重要结论．遇到这类积分，使用这一结论可以简化这类积分的计算．例如：

1xdx??14?x2＝０．

第5章 定积分及其应用 123

5.3.2 定积分的分部积分法

定积分分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u?(x)、v?(x)，则

? b a?uv?dx?uv|ba??uvdx 或

a b? b audv?uv|ba?? vdu (5.5)

a b例3 计算?arcsinxdx．

012解

?1 2 0arcsinxdx?xarcsinx|?? 120 12 011?xdx xdarcsinx????220261?x ?111????2d(1?x2)??1?x212201?x212 120??3??1． 122例4 计算?xcosxdx．

0 ?2解

? ?2 0xcosdx??0xd(sinx)?xsinx|??0 ?2?20 ?2???2sinxdx?(?0)?cosx|0??1．

22例5 计算?exdx．

0 1解 令x?t，则x?t2，从而dx?2tdt．当x?0时，t?0；当x?1时，t?1．

? 1 0exdx?2?ettdt?2?tdet?2tet| 0 ?2?etdt?2e?2et| 0 ?2．

0 0 0 1 11 11思 考 题

1．定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何异同？ 2．定积分的换元法与不定积分的换元法有何异同？

习 题 5.3

1．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （1）?sinxedx；

?x2??

（2）?4x3cos4xdx；

?2? ?2 124 高等数学

1（3）?21 (arcsinx)21?x22．计算下列定积分：

-2 dx；

（4）? x3sin2xdx．

?5x4?2x2?15（1）?2 02?x2dx；

（2）? 3dxx21?x2 1?4；

dx（3）? ；

11?x 4

（4）?tan3xdx；

0 ex（5）?dx ；

-11?exe2?lnxdx； （7）?1x 1 sin(lnx)dx；

1xe2 1（8）?dx．

1x1?lnx（6）?e 3．求下列定积分的值： （1）?xedx；

?x 10

1

（2）? 32 0 arccosxdx；

（3）?(lnx)2dx；

e1 （4）?xcos2xdx；

?0（5）?4 1lnxdx； x（6）?xlnxdx．

e04．已知xex为f(x)的一个原函数，求?xf?(x)dx．

05．证明?sinxdx??cosnxdx（n为非负整数）．

n ?2 ?20 05.4 广 义 积 分

前面所讨论的定积分是以有限积分区间与有界被积函数为前提的，这样的定积分称为常义积分．但是在实际问题中，有时还需要研究无穷区间上的定积分或无界被积函数的定积分，这两类被推广了的定积分统称为广义积分．

5.4.1 无穷区间上的广义积分

定义5.3 设函数f(x)在区间[a,??)上连续，取b?a，记

? ?? af(x)dx?limb???? b af(x)dx， (5.6)

b???上式称为函数f(x)在区间[a,??)上的广义积分．如果极限lim? b af(x)dx存在，那么称广义

第5章 定积分及其应用 125

?? ??积分? af(x)dx收敛，如果上述极限不存在，则称广义积分? ?? b af(x)dx发散．即

x???? af(x)dx?lim?f(x)dx?limF(x)|ba?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)，

b??? ab???b???可简记为：

? ?? af(x)dx?F(x)|?? (5.7) a?limF(x)?F(a)．

x???a???类似地，设函数f(x)在区间(??,b]上连续，如果极限lim称此极限为函数f(x)在区间(??,b]上的广义积分，记作? b ??? b af(x)dx(a?b)存在，那么

f(x)dx，即

?么称广义积分? b ??f(x)dx?lima???? b af(x)dx?F(x)|b． (5.8) ???F(b)?limF(x)x??? 0 ??设函数f(x)在区间(?????)内连续，如果广义积分? ?? ??f(x)dx和? ?? 0f(x)dx都收敛，那

f(x)dx收敛，即

0 ??? ?? ??f(x)dx??f(x)dx?? ?? 0f(x)dx?limx???a???? 0 af(x)dx?limb???? b 0f(x)dx

． (5.9) ?F(x)|?????limF(x)?limF(x)x???如果上式右端有一个广义积分发散，那么广义积分? ?? ??f(x)dx发散．

例1 计算下列广义积分：

????1dx； e?xdx； （1）? （2）2?0??1?x????11（3）?； （4）dxdx． 2?e1xlnxx??1dx?arctanx|???limarctanx?limarctanx 解 （1）?????1?x2x???x??? ? ???(?)??； 22 （2）? ?? 0e?xdx??? ?? 0??e?xd(?x)??e?x|0??(0?1)?1；

??111??dx?d(lnx)??|e??(0?1)?1； ?eln2xexln2xlnx??1??1??（4）????，所以广义积分?dx?ln|x||1dx发散．

11xx??1dx(a?0)的敛散性． 例2 讨论广义积分?axp（3）? ?? 126 高等数学

??解 当p?1时，?当p?1时，? ?? a a1dx???1dx?lnx| ?????；

a?axxp 1dx?1x1?p| ?????；

a1?pxp当p?1时，? ?? a1dx?1x1?p| ???a1?p．

a1?pp?1xp1?pa因此，当p?1时，广义积分收敛，其值为；当p?1时，广义积分发散． p?15.4.2 无界函数的广义积分

定义5.4 设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且极限limf(x)=?，如果极限

x?a?

b??0?

lim

? a??f(x)dx（0???b?a）存在，那么称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分或

b a（瑕积分），仍然记作?f(x)dx，即

?可简记为

b af(x)dx?lim??0?? b a??f(x)dx?limF(x)??0?ba???F(b)?limF(a??)．

??0?

? b a b af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?limF(x)．

x?a? b a这时也称广义积分?f(x)dx收敛．如果上述极限不存在，那么称广义积分?f(x)dx发散．

类似地，设函数f(x)在区间[a,b)上连续，且极限limf(x)=?，如果极限

x?b?t?0?lim? b?t af(x)dx（0?t?b?a）存在，那么称此极限为函数f(x)在[a,b)上的广义积分，仍

b a然记作?f(x)dx，即

? c b a c b af(x)dx?F(x)|ba?limF(x)?F(a)；

x?b?设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a?c?b)外连续，且极限limf(x)=?．如果两个广

x?c义积分?f(x)dx与?f(x)dx都收敛，那么称广义积分

? b af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?[limF(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]

a c c bx?c?x?c?收敛；否则就称广义积分?f(x)dx发散．

a b如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点，也称为无

界．

第5章 定积分及其应用 127

a例3 计算广义积分?解 因为lim? 01dx． 22a?x1???，所以点a为被积函数的瑕点． 22x?aa?xax a1arcsinx?0??． ?0a2?x2dx?arcsina| 0?xlim?aa21例4 讨论广义积分?12dx的敛散性．

?1x解 函数12在区间[?1,1]除x?0外连续，且lim12??．

x?0xx11dx?01dx?11dx， ??1x2??1x2?0x20 01)?1???，所以01dx发散，那么 11dx也发散． 因为?12dx??1|??lim(???1x2??1x2?1xx1x?0xbdx的敛散性． 例５ 讨论广义积分?a(x?a)q解 x?a是函数的瑕点，

bdx?bdx?limln(x?a)| b???； （1）当q?1时，? a?ax?ax?aa(x?a)qbdx?lim1(x?a)1?q| b???； （2）当q?1时，? aa(x?a)qx?a1?q ? ? ? ?dx?lim1(x?a)1?q| b?1(b?a)1?q．

aa(x?a)qx?a1?q1?q因此，当q?1时，此广义积分收敛，其值为1(b?a)1?q；当q?1时，此广义积分发

1?q散．

计算（判断）广义积分的值（收敛与发散）的步骤是：

（3）当q?1时，? b ?（1）计算定积分?f(x)dx；（2）考察lim a bb???? b af(x)dx或lima???? b af(x)dx．

思 考 题

1．广义积分与常义积分有何不同？ 2．广义积分? ?? 0sinxdx收敛吗？

128 高等数学

习 题 5.4

1．判断下列广义积分的敛散性，若收敛，计算其值．

??dx) （1）? (a?0；

ax2??dx（3）?；

2x2?x?2??dx（5）?； 21x(x?1) （2）? xdx；

??1?x2?? （4）?epxdx (p?0)；

0?? （6）?（8）? ?? e dx；

x(lnx)2（7）?（9）? ?? 0 e?xcosxdx； xe?xdx；

??2 01dx； 1x??arctanxdx． （10）?11?x2?? 2．讨论广义积分? ?? edx的敛散性．

x(lnx)k

（2）?lnxdx．

3．讨论下列广义积分的敛散性：

11（1）? dx；

01?x 105.5 定积分的应用

前面我们讨论了定积分的概念及计算方法，在此基础上进一步来研究它的应用．定积分在实际生活中有着广泛的应用，本节主要介绍它在几何、物理及经济方面的应用，即利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、变力所作的功、已知边际函数求总量等．

5.5.1 微元法

我们知道，用定积分求曲边梯形面积问题时的思路是：

将区间[a,b]分成n个子区间，所求之曲边梯形的面积A为每个子区间上小曲边梯形的面积?Ai之和，即

A???Ai；

i?1n第i个子区间上取?Ai的近似值

?Ai?f(?i)?xi；

第5章 定积分及其应用 129

得总和

A??f(?i)?xi；

i?1n取极限得

A?lim?f(?i)?xi???0i?1n? b af(x)dx．

综上所述在解决具体问题时，用定积分计算所求量F的步骤是： （1）选取一个积分变量x，并确定积分区间[a,b]；

,]b上任取一个区间[x,x?dx]，（2）在[a求出相应于这个小区间的部分量?F的近似值，

即元素dF?f(x)dx；

（3）将元素dF在[a,b]上积分，即得

F?? b af(x)dx．

用上述步骤解决问题的方法叫做定积分的微元法.

5.5.2 几何应用

1．平面图形的面积

用微元法不难得出： （1）设平面图形由曲线y?f(x)与y?g(x)及直线x?a与x?b所围成（如图5-3所示），取x为积分变量，面积元素dA?[f(x)?g(x)]dx，则平面图形的面积为

S??[f(x)?g(x)] dx；

a b

图5-3 图5-4

（2）设平面图形由曲线x??(y)与x??(y)及直线y?d与y?c所围成（如图5-4所

130 高等数学

示），取y为积分变量，面积元素dA?[?(y)??(y)]dy，则平面图形的面积为

S??[?(y)??(y)]dy．

c d例1 计算抛物线y?x与y?x所围成的图形的面积.

解 （1）如图5-5所示．

2??y?x（2）解方程组?2，得交点(0,0)及(1,1)，以x为积分变量，则积分区间为?0,1?；

??y?x（3）确定上下曲线 f(x)=x，g(x)=x2；

（4）计算图形的面积

22S??(x?x2)dx?(2x2?1x3)0?1．

0333例2 计算抛物线y2?2x与直线y??2x?2所围成的图形的面积. 解 （1）如图5-6所示．

?y2?2x1（2）解方程组?，得交点(,1)及(2,?2)，取y为积分变量，则积分区间为

2?y??2x?2??2,1?；

1 13（3）确定左右曲线?(y)?（4）计算图形的面积

1121y，?(y)?1?y； 221y?1y2)dy?(y?1y2?1y3)24621?2S??(1? ?2?9． 4 (1,1)

图5-5 图5-6

第5章 定积分及其应用 131

2．旋转体的体积

由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，即为旋转体，这直线叫做旋转轴．

（1）求由连续曲线y?f(x)、直线x?a、x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（如图5-7所示）．

取x为积分变量，则x?[a,b]，对于区间[a,b]上的任一区间[x,x?dx]，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高的圆柱体体积．即体积元素为

dv???f(x)?dx；

所求的旋转体的体积为

V???[f(x)]2dx．

a b2（2）由曲线x??(y)，直线y?c,y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转（如图5-8所示），所得旋转体体积为

V???[?(y)]2dy．

c d

图5-7 图5-8

例3 一喇叭可视为由曲线y?x2、直线x?1及x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图5-9所示，求此旋转体的体积．

解 在[0,1]上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似地视为以f(x)为半径的圆为底（即以面积为A(x)??[f(x)]2的圆为底）的柱体，从而体积微元为

132 高等数学

dV??(x2)2dx，

所求旋转体的体积V为

11V???x4dx??(x5)|1??． 0552y2x例4 计算椭圆2?2?1分别绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的

ab体积．

解 （1）设椭圆绕x轴旋转所成的旋转体的体积为Vx，这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

y?ba2?x2，

a及x轴所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（如图5-10所示），于是所求旋转椭球体的体积为

22a224??ab2． bbVx???2(a?x)dx??2(a2x?1x3)|a?a??a33aa（2）设椭圆绕y轴旋转所成的旋转体的体积为Vy（如图5-10所示），则

x?ab2?y2，

b于是所求旋转椭球体的体积为

22b224??a2b． aaVy???2(b?y)dy??2(b2y?1y3)|b?b??bb33b y?b2a?x2a x?a2b?y2b

图5-9 图5-10

5.5.3 物理应用

1．变力沿直线所作的功

例５ 把一个带电量为?q的点电荷放在r轴的原点O处，它产生一个电场，这个电场

第5章 定积分及其应用 133

对周围的电荷产生作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原

q点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为F?k2（k为常数）如图5-11所示，

r当单位正电荷在电场中从r?a处沿r轴移动到r?b（a?b）处时，计算电场力F对它所作的功．

解 如图5-11所示，在上述移动过程中，电场对这单位正电荷的作用为是变力．取r为积分变量，它的变化区间为[a,b]．设[r,r?dr]为[a,b]上任一小区间，当单位正电荷从r

q移动到r?dr时，电场力对它所作的功近似于k2dr，即功元素为

rqdW?k2dr，

rW??dW?k? a b b aq?1?dr??kq??r2?r?ba?11??kq???．

?ab?例6 一圆柱形的贮水池高为5 m，底圆半径为3 m，池内充满了水．把池内的水全部吸出要作多少功？

解 如图5-12所示，取深度x为积分变量，它的变化区间为[0,5]，在[0,5]上任取一小区间[x,x?dx]，这一薄层水的高度为dx．水的比重为9.8千牛/米3，因此如果x的单位为m，这薄层水的重力为9.8??32dx,这薄层水吸出池外作的功近似地为dW?88.2?xdx，此为功元素，所求的功为

5125W??88.2?xdx?88.2?(x2)|5?3462（千焦） 0?88.2??022 +q O

a

+1 r r+dr

b

r

图5-11 图5-12

134 高等数学

,

2．水压力

例7 设某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为10 m和6 m，高为20 m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力．

解 如图5-13所示，直线AB的方程为

(20,3)

xy???5．

100,20]选择x为积分变量，它的变化区间为[0,20]，在[图5-13

上任取一小区间[x,x?dx]，由于dx很小，相应于区间

[x,x?dx]等腰梯形被截下一窄条，它可近似看作水平放入水中，且位于点x处，受到的水压力为整个闸门受到的水压力P的元素，即

xdP?rgx?2y?dx?2rgx(??5)dx，

10从而

20x（r?1）． P??2rgx(??5)dx?14374（千牛）

010求变力所作的功的步骤为：

（1）选择适当的坐标系，确定积分变量及积分限，把所求量归结为定积分；

（2）任取一小区间[x,x?dx]，分析这一区间上的数量关系，运用“以匀代变”的思想，写出所求部分量的近似式，即微元法；

（3）对微元积分，即得所求量．

5.5.4 经济应用

例8 设某产品的边际收入为R?(q)?2(2?q)e，其中q为销售量，R?R(q)为总收入，求该产品的总收入函数．

解 总收入函数

?q2R(q)??R?(x)dx??2(2?q)edx?4?edx?2?xedx

0 0 0 0 q q?x2 q?x2 q?x2q??8(e)|0?4(xex?2x?2q?2e)|0?4qex?2q?2．

例9 已知生产某产品x单位(百台)的边际成本和边际收入分别为

1，R?(x)?7?x（万元/百台）， C?(x)?3?x（万元/百台）

3（1）若固定成本C(0)?1万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数；

第5章 定积分及其应用 135

（2）产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？ 解 （1）总成本为固定成本与可变成本之和，即

x11C(x)?C(0)??(3?x)dx?1?3x?x2；

036总收入函数为

x1R(x)?R(0)??(7?x)dx?7x?x2；

02总利润为总收入与总成本之差，故总利润L为

112L(x)?R(x)?C(x)?(7x?x2)?(1?3x?x2)??1?4x?x2；

26344（2）由于L?(x)?4?x，令4?x?0，得惟一驻点x?3．

33根据该题实际意义知，当x?3百台时，L(x)有最大值，即最大利润为

2． L(3)??1?4?3??32?5（万元）

3 思 考 题

利用定积分求平面图形的面积的步骤是什么？

习 题 5.5

1．求下列图形的面积：

（1）由曲线y?2?x2及直线y??x所围成的图形； （2）由曲线xy?1与直线y?x ，y?2所围成的图形； （3）由抛物线y?x2，y?(x?2)2与直线y?0所围成的图形；

?p?（4）由抛物线y2?2px与其点?,p?处的法线所围成的图形；

?2?（5）由抛物线y2?4(x?1)与y2?4(1?x)所围成的图形； （6）由曲线y?sinx与y?sin2x在[0,?]上所围成的图形． 2．求下列旋转体的体积：

（1）求圆(x?5)2?y2?16绕y轴旋转一周生成的旋转体体积；

（2）求y?x2与x?y2所围图形，绕x轴旋转一周而成的旋转体体积；

136 高等数学

x2y2（3）求椭圆??1分别绕x轴和y轴旋转一周生成的旋转体的体积；

49（4）由y?x3，x?2 ，y?0所围图形分别绕x轴和y轴旋转一周生成的两个旋转体的体积． 3．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所作的功．

4．有一弹簧，原长1m，每压缩１cm需力5?9.8?10?3Ｎ，若自80cm压缩至60cm，问外力做功多少？

5．一容器装满水，容器形状为由抛物线x2?4py，y轴和y?p所围图形绕y轴旋转所成旋转体，今把水从容器顶部全部抽出，问至少需做多少功？

本章知识要点

一、基础知识脉络

??定积分的概念定积分的概念与性质???定积分的性质????积分上限函数及导数?微分基本公式???牛顿-莱布尼兹公式???定积分的换元积分法?定积分的计算??定积分的分部积分法??定积分及定积分的应用?无限区间上的广义积分?广义积分???无界函数的广义积分????平面图形的面积几何应用?????旋转体的体积????变力所做的功?定积分的应用?物理应用????液体压力????? ???经济应用?

第5章 定积分及其应用 137

二、公式、方法、技能

1．牛顿-莱布尼兹公式

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

? b af(x)dx?F(b)?F(a)，常记为?f(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)．要注意“连续”．

a bb2．定积分的换元法

已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x??(t)满足条件： （1）?(?)?a ，?(?)?b；

（2）?(t)在[?,?]（或[?,?]）上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]， 则有?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt．

a ? b ?使用定积分的换元法时应注意两点：（1）换元的同时，一定要换限；（2）用t???1(x)引入新变量t时，一定要注意反函数x??(t)的单值、可微等条件．

3．定积分的分部积分法

|v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u?(x)、v?(x)，设函数u(x)、则?uv?dx?uv a bba??ud?vx．

a b4．广义积分

设函数f(x)在区间?a,??)上连续，取b?a，如果极限lim积分?分? a ?? ab???? b af(x)dx存在，则称广义

f(x)dx收敛，记作? ?? af(x)dx?lim ?? ab???? b af(x)dx；如果上述极限不存在，则称广义积

x??? ??f(x)dx发散．且可简记为：?f(x)dx?F(x)|??a?limF(x)?F(a)；

??类似地还有：

? b ??f(x)dx?F(x)|b???F(b)?limF(x)；?x??? ??f(x)dx?F(x)|?????limF(x)?limF(x).

x???x???广义积分计算的解题程序为：

（1）区别类型（无穷区间上的广义积分、无界函数的广义积分）； （2）求出被积函数的原函数； （3）按定义求出各广义积分的值； （4）求出广义积分值的代数和． 5．求平面图形的面积

（1）画出平面区域的图形，找出曲线与水平轴或曲线之间的交点； （2）选择相应的积分变量及积分区间；

138 高等数学

（3）写出面积的积分表达式进行计算． 6．求旋转体的体积

曲线y?f(x)，f(x)?0，x?a，x?b所围成的曲边梯形绕x轴旋转时，利用切片法，即把旋转体看作是由一系列与旋转轴垂直的圆形薄片所组成的，以此薄片体积作为体积元素．

三、重点、难点解析

1．对定积分概念的理解

（1）正确理解定积分的定义

定积分的定义实质上是告诉我们一种解决问题的思想方法——微元法，它主要用于对区间[a,b]上某一量的计算．例如，底为区间[a,b]、高为f(x)的曲边梯形面积的计算；作变速直线运动的物体，在某一时间区间[a,b]上位移的计算等等．定义采用分割、近似代替、作和式、取极限四步，把要算的量归结为和式的极限lim??0 b?f(?)?x，当该极限存在时，

iii?1n就称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx=lim a??0?f(?)?x．

iii?1n应当指出：在定积分的定义中，积分区间的分法和各小区间上点的取法都是任意的，因此定积分?f(x)dx只与被积函数f(x)以及积分区间[a,b]有关，而与区间[a,b]的分法和

a b?i的取法以及积分变量用什么字母表示都无关．

（2）定积分?f(x)dx的几何意义

a b b当y?f(x)?0，?f(x)dx为：由连续曲线y?f(x)及直线x?a ，x?b，y?0所围成

a的曲边梯形的面积；

当y?f(x)?0时，?f(x)dx为：由连续曲线y?f(x)及直线x?a ，x?b，y?0所围

a b成的曲边梯形面积的负值；

当f(x)取值有正有负时，定积分?f(x)dx为：介于x轴、函数f(x)的图形及直线

a bx?a，x?b之间的各部分面积的代数和．

（3）正确理解?f(x)dx、?a bf(x)dx、?f(t)dt三者的联系与区别：

a x设f(x)的一个原函数为F(x)，则

?f(x)dx?F(x)?C是函数族；

? b af(x)dx?F(a)?F(b)是一个确定的实数；?f(t)dt?F(x)?F(a)是函数族中的一个确定

a x的函数，是原函数之一．

第5章 定积分及其应用 139

2．对积分上限函数的理解

积分上限函数：设函数f(x)在[a,b]上连续，且x为[a,b]上的一点，我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分?f(x)dx称为积分上限函数．

a x（1）它是区间[a,b]上的函数，记为?(x)??f(x)dx或?(x)??f(t)dt；

a a x x（2）?f(t)dt?F(x)?F(a)是一个确定的函数，是函数f(x)的一个原函数；

a x（3）??(x)?dx． f(t)dt?f(x)（a?x?b）?adx 复 习 题 ５

1．比较?xdx和01?x 1 ? 1 0ln(1?x) dx的大小．

2．设函数y?y(x)由方程x??3．求下列极限： （1）limx?0x32x?y 1e?tdt?0确定，求曲线y?y(x)在x?0处的切线方程．

2?? 0tdtx；

?（2）limx?0 x 0sint2dtx3．

0t(t?sint)dt4．求下列定积分： （1）?(3x?2x?1)dx；

2 a0

1??（2）??x??dx；

1x?? 22 1（3）?1dx； 21?x3 3

（4）?（5）?x|x? 10 1| dx； 21?x202x（6）?2dx；

?1x?1 121 ?2 12dx；

（7）?3dx；

x 10

（8）?cos2xdx．

??2? 6 5．求下列定积分： （1）? e 1 (1?lnx)4 dx； x

（2）?2cos3xsinxdx；

0 （3）?? 0sinx?sin3x dx；

（4）?2 02?x2dx；

140 高等数学

4（5）?（7）? 12dx；

x(1?x)

（6）?（8）? 3dxx21?x2 14；

1 x2?1 dx； x 0 xdx； 2x?1??sinx（9）?2?(?cos2x)dx；

?1?x22 ?（10）?2?(|x|?sinx)2dx．

26．求下列定积分： （1）?xexdx；

10

（2）?xlnxdx；

e1 （3）?xsinxdx；

3 ?0（4）?exsinxdx；

?20 （5）?arcsinxdx；

1 20（6）?1|lnx|dx．

ee7．求下列定积分：

-11（1）?3dx；

-?x

ex（3）?dx；

-?1?ex 0

1dx； 1x??1dx； （4）?exln3x（2）? ?? （5）? 1 01 dx； 1?x

ex（6）?2 dx．

0x ?11 8．设F(x)?x?f(t)dt??tf(t)dt，求F?(x)．

xx0 09．计算? ?? 01dx．

e?e?xx 10．设f(0)?1，f(2)?3，f?(2)?5，求?xf??(2x)dx．

1011．设函数f(x)在?a,b?上连续，且单调增加，求证：F(x)?12．求曲线y?x3及直线y?2x所围成的图形的面积．

x1f(t)dt在(a,b)上单调增加．

x?a?a 13．求y?ex，y?sinx，x?0与x?1所围图形绕x轴旋转生成的旋转体体积．

14．由y?x3，x?2，y?0所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转，求所生成的两个旋转体体积． 15．一物体按规律x?ct3作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x?0移至x?a时，克服媒质阻力所作的功？

16．有圆柱形水池，深15米，口径20米，盛满水，把水抽尽要作多少功？

17．半径等于1的半球形水池，盛满了水，欲把池中水吸尽，要作多少功？ 18．求函数的极值f(x)??(t?1) etdt．

x019．求函数F(x)??t(t?4)dt在??1,5?上的最大值和最小值．

x020．设f(x)在[a,b]上连续，证明?f(x) dx??f(a?b?x) dx．

b ba a第5章 定积分及其应用 141

自我检测题5

1．选择题（每小题2分，共20分）：

x????（1）设f(x)在区间[0,1]上连续，则F(x)??tf(cost)dt在??,?是（ ）

0?22?（A）奇函数； （B）偶函数； （C）非奇非偶函数； （D）非负函数．

（2）下列定积分结果正确的有（ ） （A）?f?(x)dx?f(x)?C；

ba（B）?f?(x)dx?f(b)?f(a)；

ba （C）?f?(2x)dx? ba1?f(2b)?f(2a)?； 2（D）?f?(2x)dx?f(2b)?f(2a)

basinxcosx4dx?（ ） 21?x（A）?； （B）??； （C）0； （D）2?．

xx2（4）设F(x)?f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)?（ ）

x?ax?a?a（A）a2； （B）a2f(a)； （C）0； （D）不存在． （3）? ?2? ?2（5）函数y??(t?1)etdt有（ ）

x0（A）极小值点x??1； （C）极小值点x?0； （6）设I?? （B）极大值点x??1； （D）极大值点x?0．

1 0x4dx，则I的值 （ ） 1?x1122； （B）≤I≤1； （C）≤I≤； （D）I≥1．

55210 （A）0≤I≤（7）设f(x)是连续函数，则?f(x)dx??f(a?b?x)dx等于（ ）

b ba a（A）0； （B）1； （C）a?b； （D）?f(x)dx．

ba（8）在下列广义积分中，收敛的是（ ） ?dx?dx?dx?（A）?； （B）?2； （C）?． xdx； （D）?1x1x11x

（9）设I1??4xdx，I2?? ? ?40 0xdx，I3??4sin2xdx，则I1、I2与I3间的关系为（ ）

?0（A）I1?I2?I3； （B）I2>I1?I3； （C）I3?I1?I2； （D）I1?I3?I2．

（10）设函数f(x)在[a,b]上连续，则曲线y?f(x)与直线x?a，x?b，y?0所围成的平面图形的面积等于（ ）

142 高等数学

（A）?f(x)dx；

b

a（B）|?f(x)dx|；

ba（C）?|f(x)|dx；

b（D）f?(?)(b?a) (a???b)．

a2．填空题（每小题3分，共30分）： （1）由定积分的几何意义计算下列积分值：?（2）

d21?t2dt? ； ?dxx 2 04?x2dx? ；

（3）比较下列积分的大小：?xdx 21? 2 1xdx；

（4）估计下列积分的值： ≤?(x2?1)dx≤ ；

41（5）函数F(x)??(2? x11)dt(x?0)的单调减少区间的为 ； t（6）??( x2sinx)?dx= ； x （7）设?x(2?3x)dx?2，则a? ；

a0（8）?|x?1|dx? ；

30（9）已知F(x)是f(x)的原函数，则?f(t?a)dt? ；

xa（10）? 1?sinx dx? ．

?11?x213．计算下列定积分（每小题4分，共40分）： 2x?1dx； （1）??1x?21x（3）?dx；

-15?4x2dx（5）?；

22xx?1 1

（2）? ?6 01 dx； cos22x （4）? 1 0 (1?x2)3dx；

（6）?ln(x?x2?1)dx；

20 （7）?xsinxdx；

2 ?20 （8）?sin7xdx；

?20（9）?lnxdx；

10

（10）? ?? ??1dx．

x?2x?224．计算下列各题（第（1）、（2）题每题各3分，第（3）题4分，共10分）： （1）设f(x)?? sinx ?xarctan(1?t2)dt，求f?(0)；

（2）求由抛物线y?x2及直线y?x与y?2x所围成图形的面积； （3）求由y?x2及x?y2所围成图形绕y轴旋转生成的旋转体体积．

142 高等数学

（A）?f(x)dx；

b

a（B）|?f(x)dx|；

ba（C）?|f(x)|dx；

b（D）f?(?)(b?a) (a???b)．

a2．填空题（每小题3分，共30分）： （1）由定积分的几何意义计算下列积分值：?（2）

d21?t2dt? ； ?dxx 2 04?x2dx? ；

（3）比较下列积分的大小：?xdx 21? 2 1xdx；

（4）估计下列积分的值： ≤?(x2?1)dx≤ ；

41（5）函数F(x)??(2? x11)dt(x?0)的单调减少区间的为 ； t（6）??( x2sinx)?dx= ； x （7）设?x(2?3x)dx?2，则a? ；

a0（8）?|x?1|dx? ；

30（9）已知F(x)是f(x)的原函数，则?f(t?a)dt? ；

xa（10）? 1?sinx dx? ．

?11?x213．计算下列定积分（每小题4分，共40分）： 2x?1dx； （1）??1x?21x（3）?dx；

-15?4x2dx（5）?；

22xx?1 1

（2）? ?6 01 dx； cos22x （4）? 1 0 (1?x2)3dx；

（6）?ln(x?x2?1)dx；

20 （7）?xsinxdx；

2 ?20 （8）?sin7xdx；

?20（9）?lnxdx；

10

（10）? ?? ??1dx．

x?2x?224．计算下列各题（第（1）、（2）题每题各3分，第（3）题4分，共10分）： （1）设f(x)?? sinx ?xarctan(1?t2)dt，求f?(0)；

（2）求由抛物线y?x2及直线y?x与y?2x所围成图形的面积； （3）求由y?x2及x?y2所围成图形绕y轴旋转生成的旋转体体积．

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