近世代数复习

近世代数复习

一、单项选择题(20分)

1、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C.G为有理数集合，*为加法 D. G为有理数集合，*为乘法 2、设A={所有实数}，A的代数运算a?b=a+2b（ ） A.适合结合律但不适合交换律；B.不适合结合律但适合交换律； C.既适合结合律又适合交换律；D.既不适合结合律又不适合交换律 3、在整数加群Z中，不包含15Z的子群是（ ）。 (A) 3Z (B) 5Z (C) 3Z或5Z （D）13Z 4. 设a,b,c和x都是群G中的元素且xa?bxc,acx?xac，那么

2?1x?（ ）

A. bc?1a?1； B.c?1a?1； C.a?1bc?1； D.b?1ca。

5、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（ ）构成群。 (A) aob=a+b-2 (B) aob=a? b 数的乘法）

6、设H

(B) ab1∈H (C) a1b∈H

－

－

(C) aob=2? a+3? b （“?”为

7、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群。

A. G为整数集合，*为加法 B. G为偶数集合，*为加法 C. G为有理数集合，*为乘法

8、1、每一个有限群都与一个置换群（ ） A、同态 B、相等 C、同构 二、填空题(20分)

1. 模6的剩余类加群Z6是由 生成的循环群 。

2. 如果G是一个交换群，那么G的任一个子群H都是G的 子群。

1

3如果f是A与A间的一个双射，a是A的一个元，则f?1 ?f?a??? 。

4. 若H是群G的由a生成的循环子群，那么H中的元素可以表达为 。

5. n次对称群Sn的阶是 。

6.在5次对称群S5中，(251)(4513)-1=_______.

7.设循环群G＝(a),如果a的阶无限，则G同构于 ___ __群. 8、若a是群G中的一个8阶元,则a6的阶为________ 。 三、计算、证明题

1. S3??1?,?12?,?13?,?23?,?123?，?132?。 证明N?{(1),(123),(132)}是

??S3的不变子群。

?C是所有的复数对。在C2中2. 设C???,????a?ib,??c?id　　2??定义加法：??1,?1????2,?2???1??2,?1??2.证明：C对所给运算构

2??成交换群.

3. 设R为实数集，?a,b?R,a?0，令

f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，

将R的所有这样的变换构成一个集合G?f(a,b)?a,b?R,a?0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 4、证明：循环群的同态像也是循环群。 5、证明：整数加群与偶数加群同构。

6. 设G是群。证明：如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换

2??群。

7、设G与G是两个群，f：G?G群满同态，K = Kerf，H?G，令H

= {x |x∈G ，f(x) ∈H}，证明：H?G且HK?H。

8 证明：集合A的任何一个等价关系都确定了A的一个分类。

2

9. 设R为实数集，?a,b?R,a?0，令

f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，

将R的所有这样的变换构成一个集合G?f(a,b)?a,b?R,a?0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。

10、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，

??b的阶b?n，并且(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn

3

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