第9章振动学基础习题

第9章 振动学基础

9.1 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos（8πt＋2π/3）（SI）的规律振动，求：

（1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度与加速度的最大值； （2）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能； （3）t＝1、2、5、10s等各时刻的相位；

（4）分别画出振动的x-t图线，v-t图线和a-t图线；

（5）画出这些振动的转动矢量图示，并在图中指明t＝1、2、5、10s时矢量的位置。 9.2 一个弹簧振子m=0.5kg，k=50N／m，振幅A=0.04m，求： （1）振动的圆频率，最大速度和最大加速度；

（2）当振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； （3）以速度具有正的最大值时为计时起点，写出振动的表达式。

9.3 一质点在x=0附近沿x轴作简谐振动。在t=0时位置为x=0.37cm，速度为零，振动频率为0.25Hz。试求：

（1）周期、圆频率、振幅； （2）在时刻t的位置和速度；

（3）最大速度和最大加速度的值； （4）在t=3.0s时的位置和速率。

9.4 作简谐振动的小球，速度最大值为vm=3cm/s，振幅A=2cm，若从速度为正的最大

值时开始计算时间，求：

（1）振动的周期； （2）加速度的最大值； （3）振动表达式。

9.5 如图，两轻弹簧与小球串联在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A、B之间，整

个系统放在水平面上。设弹簧的原长为l1、l2，倔强系数为k1、k1，A、B间距离为L，小球的质量为m。

（1）试确定小球的平衡位置。

（2）使小球沿弹簧长度的方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否是简谐振动？振动的周期为多少？

9.6 一轻弹簧的倔强系数为k，其下悬有一质量为m的盘子。现有一质量为M的物体从离盘h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，盘子开始振动起来。

（1）此时振动周期与空盘振动的周期各为多少？ （2）此时振动的振幅。

（3）取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初相位，并写出物体与盘子的振动方程。

9.7 图中Ｕ形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

9.8 如图所示内燃机或空气压缩机中的曲轴连杆机构，曲柄OA绕O轴以恒定角速度ω转动。试证明：若连杆比曲柄长很多，即l>>r，滑块近似作简谐振动。

9.9 一装置如图所示，轻弹簧S的一端固定，另一端与物体m用细绳连接，细绳跨于桌边定

习 题

滑轮M上，而m悬于细绳下端。已知弹簧的倔强系数为k=50N／m，滑轮的转动惯量J＝0.02kg·ｍ2，半径R=0.2m，物体的质量为m=1.5kg，取g=10m／s2。

（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力。

（2）将物体ｍ用手托起0.15m，再求弹簧的伸长量和绳的张力。

（3）现突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态。设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承处无摩擦，试证明物体m是作简谐振动。

（4）确定物体m的振动周期。

（5）取物体m的平衡位置为坐标原点，ox轴竖直向下，试求振动方程。

9.10 半径为R的薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。求：

（1）摆动的周期；

（2）与其摆动周期相等的单摆的长度； （3）将圆环去掉2/3，刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动的周期之比

9.11 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为J。不计一切阻力，问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求其固有频率。

9.12 在一轻弹簧下端悬挂m0＝100g砝码时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（这时t=0）。选ｘ轴向下，求振动方程。

9.13 两个质量分别为m1和m2的木块A和B用一个质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上，使A紧靠墙壁，如图所示。用力推木块B使弹簧压缩x0，然后释放。已知m1=m，m2=3m，求：

（1）释放后，Ａ、Ｂ两木块速度相等时的瞬时速度的大小；

（2）释放后，弹簧的最大伸长量。

9.14 一个质量为0.20kg的质点作简谐振动，其运动方程为x=0.60sin（5t－π/2）（SI），求：

（1）振动的振幅和周期；

（2）t=0时刻，质点振动的位置和速度； （3）质点在最大位移一半处且向ｘ轴正向运动

的时刻，它所受的力和速度、加速度；

4?st??s（4）在和3两时刻质点的位移、速度、加速度；

（5）振动动能和势能相等时它在哪些位置？

9.15 弹簧下面悬挂质量为50g的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为x=2sin10t，平衡位置为势能零点（时间单位：s，长度单位：cm）。

（1）求弹簧的倔强系数。 （2）求最大动能，总能。

9.16 已知两个同方向简谐振动：x1=0.05cos（10t＋3π/5），x2=0.06cos（10t＋π/5），式中x的单位是m，t的单位是s。

（1）求它们合成振动的振幅和初相。

（2）另有一同方向简谐振动x3=0.07cos（10t＋φ），问φ为何值时，x1+x3的振幅最大？φ为何值时，x2＋x3的振幅最小？

（3）用旋转矢量图示法表示（1）、（2）两题的结果。

9.17 两简谐振动，振动方程分别为：x1＝5cos（10t＋3π/5）cm，x2＝6cos（10t＋π/4）cm，试求其合成振动。

9.18 三个同方向、同频率的简谐振动的方程分别为：x1=0.08cos（314t＋π/6）；x2=0.08cos（314t＋π/2）；x3=0.08cos（314t＋5π/6）（SI）。求：

（1）合成振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式。 （2）合振动由初始位置运动到x?2A/2所需最短时间（A为合振动的振幅）。

9.19 两个同方向且具有相同振幅和周期的简谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的简谐振动。求原来两振动的位相差。

9.20 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：x=0.08cos（πt/3＋π/6），y=0.06cos（πt/3－π/3）（SI）。求：

T（1）在xoy平面内，每隔2（T为振动周期）绘出质点位置，并将合成振动的轨迹画

出；

（2）求运动轨道方程；

（3）质点在任一位置所受的力。

部分习题答案

23，υm＝2.51m/s am=63.2m/s2 9.1 （1）ω＝8π，Ｔ＝0.25s， Ａ＝0.1m,

（2）f=0.63N, E=3.16×10-2J， Ek＝1.58×10-2J， Ep＝1.58×10-2J

???（3）

9.2 （１）ω＝10rad/s，υm＝0.4m/s, am=4m/s2 （２）υ＝-0.35m/s，a=-2m/s2, Ｆ＝１Ｎ

??8??2?2?2?2?16??40??80??3， 3，3 3，

x?0.04cos(10t?)m2 （３）

9.3 （1）T=4.0s,

????2rad/s, A=0.37m

x?0.37cos(t)v??0.58sin(t)22cm/s （2）cm,

（3）vm=0.58cm/s， am=0.94cm/s2

（4）x=0, v=0.58cm/s

?29.4 （1）T=4.19s， （2）am?4.5?10m/s2

??x?0.02cos(1.5t?)2 （3）

k(L?l1?l2)l1?2k1?k29.5 （1）离A点距离为

T?2? （2）

?mk1?k2

9.6 （1）振动周期

T?2?M?mm2?kk ，空盘时为

A?（2）

Mg2kh1?k(M?m)g

??tg?1（3）

2kh32??????x?Acos(t??)(M?m)g在2范围内振动方程为T

49.7 d?m2?g

9.9 （１）0.30m, 15N

（２）0.15m, 7.5N

d2x??2dt（３）由

kxm?JR2可知物体m作简谐振动，

??km?JR2=5rad/s

?=1.26s （４）

（５）A＝0.15m, φ＝－π，振动方程x=-0.15cos5t（SI）

2?9.10 （１）

T?2?2Rg （2）2R （3）1∶1

mghJ 9.11

9.12 x?0.05cos(7t?0.64)(SI)

3Kx043m 9.13 （1）

1xmax?x02 （2）

9.15 （１）5Ｎ／m （２）10-3J （３）10-3J 9.16 （１）8.92×10-2m, 68°13′

（２）0.6π，1.2

v???x?0.16cos(314t?)2(SI) 9.18 （１）314rad/s，0.16m，2 （2）12.5ms

2??9.19 3

x2y2?2?12ab9.20 （１） a=0.08mb=0.06m （2）f=-m?2(xi+yj)

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