数学建模作业

数学建模作业

问题：

对于技术革新的推广模型建立，有以下几种情况。

(1)推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

(2)总人数有限，因而推广速度随着尚未采用新技术人数的减少而降低。 (3)在(2)的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。

模型假设： 假设：问题一在理想状态下技术的推广只与新技术的有直接关系，忽略人数限制等其他因素的影响。 假设：问题二分析在总人数一定的情况下，当采用新技术的人数达到一定数量后，推广速度会减小。 假设：模型三中广告等媒介在早期的作它用比较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上进行利用。

符号说明：

r（t）——推广的速度 t——时间

X0——当t=0时，采用新技术的人数 x(t)——时刻t采用新技术的人员数量 r(x)——增长率的函数 Xm——总人数值 r---固有推广速度 S--无意义参数

建立模型：

模型一（指数增长模型）： 模型建立：

x0x(t)，分别为零时刻和t时刻采用新技术的人数，由于人员数量量大，x(t)可

x(t??t)?x(t)?rx(t)?tt??t视为连续、可微函数。t到时间段内人口的增量为

?dx??rx?dt?x(0)?x0x(t)于是满足微分方程 ? （1）

求解：

从图表可以看出，指数模型当t趋于无穷时，错误！未找到引用源。趋于无穷大，即采用新技术人数无穷增长，增长的速度也在不断升高。

模型二（阻滞增长模型）： 模型建立

当x?xm时，增长率应为0，即r(xm)?0，于是s?r，带入r(x)?r?sx，得xmr(x)?r(1?x （3） ）xm将（3）式带入（1）得

x?dx?r(1?)x?dtx 方程组：? （4） m?x(0)?x0?求解：

解方程（4），得x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0 （5）

其中t为时间，x为人数

模型三： 模型建立：

分析图像变化率可知在有广告等媒介的传播帮助下，指数型增长速率更大，更早到达xm峰值。

结论：

根据实际情况可知当没有人数限制时，由于使用新技术的人越来越多，推广速度就越来越快，但实际上使用新技术的人数不可能无限扩张，因此当使用新技术的人数增长到一定程度时，推广速度会逐渐下降，直到所有人都使用该技术，推广速度减为零。如果考虑广告因素，推广速度的基本增长模式不变，但会提前达到峰值，即所有人都使用新技术的状况会更早出现。模型的建立与实际情况相符。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nk85.html