高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)

圆与直线

知识点

222

(x a) (y b) r圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r）

22

x y Dx Ey F 0（D2 E2 4F 0） （2）圆的一般方程：

DE1

D2 E2 4F

圆心（-2，-2）半径2

点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d与r在大小关系判断 直线与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r为相交，d<r为相离。适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。

（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。 4．圆与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： 1）当l r1 r2时，圆C1与圆C2相离；2）当l r1 r2时，圆C1与圆C2外切；

3）当|r1 r2| l r1 r2时，圆C1与圆C2相交；4）当l |r1 r2|时，圆C1与圆C2内切； 5）当l |r1 r2|时，圆C1与圆C2内含；

（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。 5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系

选择题

1．圆(x 1)2 (y )2 1的切线方程中有一个是

A．x－y＝0

B．x＋y＝0 C．x＝0

D．y＝0

（ ） （ ）

2．若直线ax 2y 1 0与直线x y 2 0互相垂直，那么a的值等于

12

C． D． 2 33

22

3．设直线过点(0,a),其斜率为1，且与圆x y 2相切，则a的值为

A．1

B．

（ ）

Ａ． 4

Ｂ． Ｃ． 2

Ｄ．4．平面 的斜线AB交 于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交 于点C，则动点C的轨迹

是

A．一条直线

（ ）

B．一个圆 C．一个椭圆

D．双曲线的一支

（ ）

x 2

5．参数方程 （ 为参数）所表示的曲线是

y tan cot

A．圆

B．直线

C．两条射线 D．线段

6．如果直线l1,l2的斜率分别为二次方程x2 4x 1 0的两个根，那么l1与l2的夹角为（ ）

A．

B． C． D． 3468

7

．已知M {(x,y)|y y 0}，N

{(x,y)|y x b}，若M N ，则b

（ ）

B

．( D

．[

A

．[ C

．(

8．一束光线从点A( 1,1)出发，经x轴反射到圆C:(x 2)2 (y 3)2 1上的最短路径是

A．4

B．5

（ ）

C

．1 D

．9．若直线ax 2by 2 0(a,b 0)始终平分圆x2 y2 4x 2y 8 0的周长，则 的最小值为

A．1

B．5

12

ab

（ ）

C

． D

．3 10．已知平面区域D由以A 1,3 、B 5,2 、C 3,1 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无

穷多个点 x,y 可使目标函数z x my取得最小值，则m （ ） A． 2 B． 1 C．1

D．4

102000 9102001 9102000 1102001 1

,Q 200211、设M 2001，P 2001，则M与N、P与Q的大小关,N 2002

10 10010 10010 110 1

系为 ( )

A.M N,P Q B.M N,P Q C.M N,P Q D.M N,P Q

12、已知两圆相交于点A(1,3)和点B(m, 1)，两圆圆心都在直线l:x y c 0上，则m c的值等于 A．-1 B．2 C．3 D．0

13、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( )

A.15 B.30 C.36 D.以上都不对

14、设m

0x y) m 1 0与圆x2 y2 m的位置关系为 （ ）

A.相切 B.相交 15、已知向量

C.相切或相离 D.相交或相切

与n的夹角为60 ，则直线

m (2cos ,2sin ),n (3cos ,3sin ),若m

l:xcos ysin

11

0与圆C:(x cos )2 (y sin )2 的位置关系是（ ） A．相22

5

,则满2

交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离

16、已知圆O:(x 3)2 (y 5)2 36和点A(2,2),B( 1, 2),若点C在圆上且 ABC的面积为

足条件的点C的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4

17、若圆C1:(x a)2 (y b)2 b2 1始终平分圆C2:(x 1)2 (y 1)2 4的周长,则实数a,b应满足的关系是 ( )

22

A．a 2a 2b 3 0 B．a 2a 2b 5 0

2222

C．a 2b 2a 2b 1 0 D．3a 2b 2a 2b 1 0

18、在平面内,与点A(1,2)距离为1, 与点B(3,1)距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

填空题

1、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是 2、设不等式2x 1 m(x 1)对一切满足m 2的值均成立，则x的范围为 3、已知直线l:x y 4 0与圆C: x 1 y 1 2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为 。

2

2

2

1 x 2 t 2(t为参数)

4、直线 被圆x2 y2 4截得的弦长为______________。

y 1 1t 2

5、已知圆M:(x cos )2 (y sin )2 1，直线l:y kx，以下命题成立的有___________。 ①对任意实数k②对任意实数k③对任意实数 ④对任意实数k

与 ，直线l和圆M相切； 与 ，直线l和圆M有公共点；

，必存在实数k，使得直线l和圆M相切 ，必存在实数 ，使得直线l和圆M相切

2

2

6、点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆C:x y 4x 4y 7 0相切，则光线l所在直线方程为____ __。 7、直线y

m

x与圆x2 y2 mx ny 4 0交于M、N两点，且M、N关于直线x y 0对称，2

2

则弦MN的长为 。

8、过圆x y 4内一点A(1,1)作一弦交圆于B、C两点,过点B、C分别作圆的切线PB、PC，两

切线交于点P，则点P的轨迹方程为 。

2

解答题

1、设数列 an 的前n项和Sn na n(n 1)b，(n 1,2, )，a、b是常数且b 0。

（1）证明： an 是等差数列； （2）证明：以 an,

Sn

1 为坐标的点Pn，(n 1,2, )落在同一直线上，并求直线方程。 n 1

（3）设a 1,b ，C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r 0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C

2

外时，r的取值范围。

2、求与圆x2 y2 5外切于点P( 1,2)，且半径为2的圆的方程

3、如图，已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线

y x均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆M、

x轴及直线y 3x均相切，切点分别为C、D。 （1）求圆M和圆N的方程；

（2）过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N

截得的弦的长度；

4、如果实数x、y满足(x 2) y 3，求

2

2

y

的最大值、2y x的最小值。 x

22

5、已知圆C:(x 1) (y 2) 25，直线l:(2m 1)x (m 1)y 7m 4 0，(m R)。 （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

6、已知O为原点，定点Q(4,0)，点P是圆x2 y2 4上一动点。

（1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设 POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程。

7、如图所示，过圆O:x2 y2 4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆

的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。

8、已知圆M:x2 (y 2)2 1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，

求动弦AB的中点P的轨迹方程。

1．C．圆心为（1

，，半径为1，故此圆必与y轴（x=0）相切，选C. 2．D．由A1A2 B1B2 0可解得．

3．C．直线和圆相切的条件应用， x y a 0, a, a 2,选C;

4．A．过点A且垂直于直线AB的平面与平面 的交线就是点C的轨迹，故是一条直线.

x 2

5．C．原方程

|y| 2

6．A．由夹角公式和韦达定理求得．

7．C

．数形结合法，注意y y 0等价于x2 y2 9(y 0)．

8．A．先作出已知圆C关于x轴对称的圆C'，问题转化为求点A到圆C'上的点的最短路径，即

|AC'| 1 4．

9．D．已知直线过已知圆的圆心（2，1），即a b 1．

所以

10．C．由A 1,3 、B 5,2 、C 3,1 的坐标位置知， ABC所在的区域在第一象限，故x 0,y 0.由

1212b2a

( )(a b) 3 3 ababab

z x my得y

1z1

x ，它表示斜率为 . mmm

z

最小，此时需 1 kAC 1 3，即m 1； mm3 1z

（2）若m 0，则要使z x my取得最小值，必须使最小，此时需 1 kBC 1 2，即m 2，

mm3 5

与m 0矛盾.综上可知，m 1.

（1）若m 0，则要使z x my取得最小值，必须使

11解：设点A( 1, 1)、点B(102001,102000)、点C(102002,102001)，则M、N分别表示直线AB、AC 的斜率，BC的方程为y

1

x，点A在直线的下方，∴KAB KAC，即M＞N； 10

同理，得P Q。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处

41

1 m 5； m 1kl

线段AB的中点(3,1)在直线x y c 0上， c 2 m c 3，答案选C。

12解：由题设得：点A,B关于直线x y c 0对称,kAB 13解：设三角形的另外两边长为x,y,则

0 x 11

0 y 11 ；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。 x y 11

点(x,y)应在如右图所示区域内：

当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当

x=4时，y=8,9,10,11；当x=5时，y=7,8,9,10,11。以上共有15个，x,y对调又有15个。 再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C。 14解：圆心(0,0)到直线的距离为d

∵d r

1 m

，圆半径r

2

1 m1

1)2 0， 22

∴直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。

m n6(cos cos sin sin )1

15解： cos( ) cos600 ，

2 32|m| |n|

圆心C(cos , sin )到直线l的距离d |cos( )

12

| 1 r， 22

直线与圆相离，答案选D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式

5

， 点C到直线AB的距离d 1, 2

l:4x 3y 3 0

直线AB的方程为4x 3y 2 0,与直线AB平行且距离为1的直线为 1

l2:4x 3y 7 0

16解:由题设得：AB 5， S ABC

得：圆心O(3,5)到直线l1的的距离d1 6 r,到直线l2的距离为d2 4 r, 圆O与直线l1相切；与直线l2相交, 满足条件的点C的个数是3，答案选C

22222

(x 1) (y 1)-4-(x a) (y b)-b-1 17解：公共弦所在的直线l方程为： =0，

即：2(1 a)x 2(1 b)y a2 1 0，

圆C1始终平分圆C2的周长， 圆C2的圆心 1, 1 在直线l上,

2(1 a) 2(1 b) a2 1 0，即a2 2a 2b 5 0，答案选B。

18解：直线l与点A(1,2)距离为1，所以直线l是以A为圆心1为半径的圆的切线，

同理直线l也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，

AB 3， 两圆相交，公切线有2条，答案选B。

想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？ 填空题1解：A关于l的对称点A′，A′B与直线l的

交点即为所求的P点。得P(5，6）。

想一想，为什么，A′B与直线l的交点即为所求的P

点？ 如果A、B两点在直线的同一边，情况又如何？ 2解：原不等式变换为(x 1)m (1 2x) 0，

2

B

A

B

A

设：f(m) (x2 1)m (1 2x)，( 2 m 2) 0,f(2) 0。

2 2x 2x 3 0

即： 2。 x

2x 2x 1 0

3解： 圆心C 1,1 到直线的距离 r 直线与圆相离，

C上各点到l的距离的最大值与最小值之差=2r=22 。

4解：直线方程消去参数t得：x y 1 0，圆心到直线的距离d

，弦长的一半为 2

5解：圆心坐标为M cos ,sin

d

sin( ) 1 r，所以命题②④成立。

仔细体会命题③④的区别。

''

6解：光线l所在的直线与圆C关于x轴对称的圆C相切。圆心C坐标为 2, 2 ，半径r 1，

直线过点A(－3，3)，设l的方程为：y 3 k(x 3)，即：kx y 3k 3 0

'

圆心C到直线l的距离d 1， 12k2 25K 12 0

43

解得：k 或k ，得直线l的方程：4x 3y 3 0或3x 4y 3 0。

34m

x与直线x y 0垂直 m 2，由圆心在直线x y 0上 n 2， 7解：由直线y 2

圆方程为(x 1) (y 1) 6，圆心为

1,1 ，圆心到直线的距离d

2

2

弦MN的长

= 4

8解：设P(x0,y0),根据题设条件，线段BC为点P对应圆上的切点弦，

直线BC的方程为x0x y0y 4, A点在BC上， x0 y0 4,

即P的轨迹方程为：x y 4。 注意掌握切点弦的证明方法。

1、设数列 an 的前n项和Sn na n(n 1)b，(n 1,2, )，a、b是常数且b 0。

（1）证明： an 是等差数列； （2）证明：以 an,

Sn

1 为坐标的点Pn，(n 1,2, )落在同一直线上，并求直线方程。 n 1

（3）设a 1,b ，C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r 0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C

2

外时，r的取值范围。

1解：（1）证明：由题设得a1 S1 a；当n≥2时，

an Sn Sn 1 na n(n 1)b (n 1)a (n 1)(n 2)b a 2(n 1)b， an an 1 a 2(n 1)b a 2(n 2)b 2b。

所以 an 是以a为首项，2b为公差的等差数列。证毕；

（2）证明：∵b 0，对于n≥2，

Sn S1 na n(n 1)b

a 1 1 (n 1)b1n1 kPnP1

an a1a 2(n 1)b a2(n 1)b2

Sn 1

，斜率为的同一直线上， (a,a 1) 1 为坐标的点Pn，(n 1,2, )落在过点P1

2n

1

此直线方程为：y (a 1) (x a)，即x 2y a 2 0。

21 1

（3）解：当a 1,b 时，得P1,0、P 12 2, 、P3 3,1 ，都落在圆C外的条件是

2 2

∴以 an,

(r 1)2 r2 r2 (r 12) 0 12 1722

(r 1) (r ) r r2 5r 0

24 2222 (r 3) (r 1) r r 8r 10 0

由不等式①，得r≠1 由不等式②，得r＜

① ② ③

55

－2或r＞+2 22

由不等式③，得r＜4－6或r＞4+

55

再注意到r＞0， 1＜－2＜4－=+2＜4+6

22

使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－2)∪(4+,+∞)。

2、求与圆x y 5外切于点P( 1,2)，且半径为2的圆的方程

2

2

5

2

(a 1)2 (b 2)2 2

a 3

2解一：设所求圆的圆心为C

(a,b)，则 b ， 2

（1） b 6

a 1

所求圆的方程为(x 3)2 (y 6)2 20。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式

1 1

解二：设所求圆的圆心为C(a,b)，由条件知OP OC ( 1,2) (a,b)

33

a 3 ，所求圆的方程为(x 3)2 (y 6)2 20。

b 6

仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，

值得借鉴。

3、如图，已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线

y x均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆M、

截得的弦的长度；

3解：（1）由于圆M与 BOA的两边相切，故M到OA及OB BOA的角平分线上，同理，N也在 BOA的角平分线上， 即O、M、N三点共线，且OMN为 BOA的角平分线，

x轴及直线y 3x均相切，切点分别为C、D。 （1）求圆M和圆N的方程；

（2）过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N

M的坐标为M(3,1)， M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1， 圆M的方程为(x )2 (y 1)2 1；

设圆N的半径为r，由Rt OAM~Rt OCN，得：OM:ON MA:NC,

21

r 3，OC 3， 圆N的方程为：(x 33)2 (y 3)2 9； 即

3 rr

（2）由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长，

3

(x 3)，即x y 3 0， 3

3 3 3 322

圆心N到该直线的距离d ，则弦长=2r d 2 3

33

lN注：也可求得B点坐标 2,2 ，得过B点MN的平行线的方程x y 3 0，再根据圆心到

此弦所在直线方程为y

3

，求得答案33；还可以直接求A点或B点到直线的距离，进而求得弦长 2

y22

4、如果实数x、y满足(x 2) y 3，求的最大值、2y x的最小值。

x

y22

4解：（1）问题可转化为求圆(x 2) y 3上点到原点的连线的斜率k 的最大值。

x

设过原点的直线方程为y kx，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。

x k ，

y max

x 2 22

（2） x,y满足(x 2) y 3，

y

2x y 4 4 )

直线l的距离等于

2x y min 4

注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角 的一元函数，从而方便求解的技巧。

5、已知圆C:(x 1)2 (y 2)2 25，直线l:(2m 1)x (m 1)y 7m 4 0，(m R)。 （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. 5解：（1）解法1：l的方程(x y 4) m(2x y 7) 0，(m R)

2x y 7 0, x 3,

即l恒过定点A(3,1)

x y 4 0, y 1,

圆心坐标为C(1,2)，半径r

5，AC r， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点。

(4m 3)22

0 解法2：圆心到直线l

的距离d ，d 5 25m 6m 2 d 5 5 r，所以直线l恒与圆C相交于两点。

1 212m 13

， kl 2， 2 m （2）弦长最小时，l AC， kAC

3 12m 14

代入(2m 1)x (m 1)y 7m 4 0，得l的方程为2x y 5 0。

注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点 直线经过的定

点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。 6、已知O为原点，定点Q(4,0)，点P是圆x y 4上一动点。

（1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设 POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程。

6解：（1）设PQ中点M(x,y)，则P(2x

4,2y)

2

2

PROP2（2）设R(x,y)，其中y 0，P(m,n)，由 RQOQ43x 4 m 222

，代入圆方程x y 4并化简得：

n 3y 2

4 16 2

(y 0)。当y=0时，即P在x轴上时，x y

3 9

POQ的平分线无意义。

（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知

动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：

①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等。

7、如图所示，过圆O:x y 4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。 7解：设Q(x1,y1)，AM边上的高为QB，MQ边上的高为AC，连接OQ，MQ OQ，

当kOQ 0时，kMQ

2

2

2

xy1

1，A(0,2)，kAC 1, kOQy1x1

y1

l:y 2 x x1 x AC

x 1

y1 y 2 l:x x

1 QB

Q(x,y 2)在x2 y2 4上， x2 (y 2)2 4,

当kOQ 0时，垂心为点B，也满足方程，而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形。

MAQ的垂心的轨迹方程为：x2 (y 2)2 4(x 0)。

8、已知圆M:x2 (y 2)2 1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，

求动弦AB的中点P的轨迹方程。

8解：连接MB，MQ，设P(x,y)，Q(a,0)，

点M，P，Q在一直线上，得

2y 2 ① ax

由射影定理得|MB|2 |MP| |MQ|，即：

1 ②

2

7 1

①式代入②式，消去a，得x2 y ③，

4 16

从几何图形可分析出y 2，又由③式得 y

7 13

y 2(y 2)，

4 162

2

2

1 7

动弦AB的中点P的轨迹方程是：x2 y- ，(y 2)。

416

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