计数原理知识点、题型小结doc

第一章、计数原理知识点小结

一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，完成这件工作共有 种??第n类方案中有mn种方法那么，不同的方法.

2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有m1种不同的方法，完成第2步有m2种不同的方法，，??第n步中有mn种方法那么，完成这件工作共有 种不同方法。

3.两种方法的区别与联系： 4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。

5.常用的方法有：填空法，使用时注意： 6.常见的题型：

（1）有关数字排列问题

例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）

变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

小结：

（2）形如m和n的问题。

例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？

变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）

小结：

nm（3）涂色问题

例3:用五种不同的颜料给4块（ABCD）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？

变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？

小结：

二、排列

1.排列的定义：一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？

3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （m?n）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.

4.排列数公式：从n个不同元素中取出m（m?n）个元素的排列数Anm? 5.全排列：从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为Ann?

6.n的阶乘定义： 用 表示。Ann? 规定：0！=

注：1！= 2！= 3！= 4！= 5！= 6！=

42例1计算：⑴A10; ⑵ A18; ⑵ A66

7.解决排列问题的基本方法 类型一：直接法和间接法

例1:用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（多种方法）

小结：排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作 ．当问题的正面的分类较多或计算较复杂，而反面分类较少，计算简单时，可通过求差采用 求解；

间接法的步骤： 类型二：排列问题(无限制条件的和有限制条件的) 例2：有4名男生，3名女生排成一排 （1） 有多少种排列方法？

（2） 若7和人排成两排，前排3人，后排4人有多少种排法？ （3） 若甲男生不站排头也不战排尾有多少种不同的排法？ （4） 若甲只能在中间或者两端？ （5） 甲乙必须在两端呢？

（6） 甲不站排头，乙不站排尾呢？

（7） 若3名女生必须排在一起

（8） 若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ （9）男生必须排在一起，女生必须排在一起，且男生甲与女生乙不能相邻，有多少种不同的站法？？ （10）若甲乙相邻，丙丁不相邻呢？ （11）若甲乙间恰有两人？

小结：1：解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即优先考虑 ，然后在考虑 ；位置分析法——即优先考虑 ，再考虑 小结2：排列中有些元素“相邻”问题，可以把相邻元素看成一个整体，当成一个元素和其他元素进行排列，此法称为“ ”；而对于元素不相邻的排列问题，可先将允许相邻的元素进行排列，然后在它们的空档处插入不能相邻的元素，对于这种“分离”问题我们用“ ”等. 练习：用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数. （1）没有重复数字的四位偶数？

（2）比1325大的没有重复数字四位数

三、组合

1组合的定义：一般地，从 个 元素中取出 ?m?n?个元素 一组，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一个组合.

2.排列和组合的区别和联系？相同点： 不同点： 3. 组合数的概念：从n个 元素中取出m?m?n?个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号 表示 ．．．

4.Cnm与Anm的关系为：Anm= Cnm=

5：组合数公式：Cnm＝ ＝ 这里的m、n满足的条件是 6：用阶乘表示Cnm= 我们规定：Cn0? 7.组合数的性质一： 8.常见的题型： 类型一：计算

1212332;C3 C4 ；C4 ； C4；C5 ；C5 例1：计算：C3

3n?64n?2例2：解方程：已知C18=C18，求n=? 例3： 解不等式：Cn4>Cn6

类型二：没有限制条件的组合问题

例3：（1）. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．

（2）从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m：n= .

（3）一位教练的足球队共有17名初级学员，他们呢中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人， 问：（1）这位教练从这17位学员中可以形成多少种学员上场的方案？ （2）如果在选出的11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？

类型三：有限制条件的组合问题

例4：在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1） 任意选5人

（2） 甲乙丙三人必须参加 （3） 甲乙丙三人不能参加

（4） 甲乙丙三人只能有1人参加 （5） 甲乙丙三人至少有1人参加

（6） 甲乙丙三人至多有1人参加

小结：有限制条件的组合应用题:解决“含与不含”，问题时，将限制条件视为 ，优先满足。 解决至少与至多问题时，常用的方法有 ，注意不重不漏。 类型四.：与平面几何有关的问题

在?MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少个三角形？

四、二项式定理

1：(a?b)n? （n?N?） 上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a?b)n的展开式，其中Cnr（r＝0，1，2，?，n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.即

注意：（1）(a?b)n展开，共有 项？每一项的次数 ；（

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？字母a，b的指数和怎样？（3）各项的系数是什么？

（4）Cnran?rbr是(a?b)n的展开式的第几项？

（5）(a?b)n的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？若不同，有什么区别？

2.常见的题型

题型一：求二项式展开式的特定项

例1 ⑴ 求(1?2x)6展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数； （2）求(x3?23x9) 展开式中的常数项和中间项.

（3）.在(x?1x4)的展开式中，常数项为15，求n??

x)的展开式中x的系数？32n（4）：求（1-x）(1?

3：二项式系数的性质

⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是 . 试试：

① 在(a＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项

n② 若?a?b?的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ . ⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 . 所以(a?b)的各二项式系数的最大值是

当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值； 当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值. ?试试：???2?x???的各二项式系数的最大值是 x?10n⑶ 各二项式系数的和：

1rn在(a?b)n展开式中，若a?b?1，则可得到 Cn0?Cn?????Cn?????Cn?

12rn即 Cn?Cn?????Cn?????Cn?

若a=1,b=-1又可以得到什么呢？

01r11026试试：C11?C11?????C11?????C11? C11?C11?????C11 ? ???C??1 1104.常见的题型

类型一：求二项式系数和、系数的和

122nn例1.求和：Cn0?2Cn?2Cn?????2Cn= 例2.若?1?2x??a0?a1x?a2x2?????a7x7，则a1?a2?????a7? ，a1?a3?a5?a7?

7a0?a2?a4?a6? . |a1|?|a2|?????|a7|?

小结：特殊值法: 类型二：求系数最大（小）的项

例3：求?1?2x?的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

10

求二项式展开式中系数最大（小）的步骤为： 类型三、求有理项：二项式的有理项的定义为

例4：已知在（3x-33x）的展开式中，第6项为常数项n

（1）求n的值.（2）求展开式中所有的有理项。

类型四、多项式中的指定项

例5在（x-1）(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x项的系数是多少？

例6. ?1?x???1?x???1?x???????1?x?展开式中x的系数

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类型五、整除问题求余数问题 例7. 求8

100除以7的余数是 。例8证明：99100-1能被1000整除

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