PM2.5成因、传播及控制

题 目 PM2.5成因、传播及控制

摘 要

本文对PM2.5成因、传播及控制进行研究，找出形成因素，并通过建立高斯模型分析扩散情况，结合实际问题得出最佳控制方案。

问题一要求对PM2.5的形成因素进行定量描述。查找资料了解PM2.5的主要形成因素有SO2、PM10、CO、NO2，利用SPSS软件结合相关性分析法对这几个因素进行分析，得出各自之间的相关密切程度，由相关性公式：

(x?x)(y?y) r?22(x?x)(y?y)可得出结论：PM2.5与PM10和CO两变量之间是中度相关，其中与CO相关度更高，相关值达到0.821，而与NO2和SO2这两变量是呈弱相关。

问题二要求在仅考虑大气运动影响下，建立PM2.5扩散传播的数学模型。采用大气污染的经典高斯扩散模型通过查阅相关资料，发现连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，可知污染物浓度在y、z轴上的分布符合正态分布。取烟云轴线为x方向（平均风向），得出无界情况下空间某一点的浓度函数：C(x,y,z,H)。

问题三要求在问题一和问题二的基础上，综合最低成本和最佳效果两因素，提出最佳控制方案。考虑到这几个因素之间会存在某些联系，选择对几个因素建立多目标系统动力学模型，利用Matlab软件进行求解，求得减少量和投入费用，并通过比对得知将综合治理与专项治理相结合能有效地解决实际问题。

关键词 PM2.5 相关性分析 高斯扩散模型 多目标系统动力学模型

一、问题背景与重述

1.1问题背景

PM2.5（细颗粒物）这个大家原本很陌生的专有名词，因为2011年10月以来我国多地灰霾天气造成严重大气污染，而迅速成为社会热词。之后，PM2.5被纳入新的环境空气质量标准，并在一些地方开始监测。2012年全国“两会”上，PM2.5首次写入政府工作报告。全社会对PM2.5的关注和重视，折射出当前我国环境污染的严峻性。环境是人的生存之本、发展之基。让百姓喝上干净的水，呼吸清洁的空气，在良好的环境中生产生活，是关乎社会发展和人民福祉的大事。现阶段，环境问题不仅是经济问题、发展问题，而且是政治问题、民生问题等。

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。它的直径还不到人的头发丝粗细的1/20。虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。与较粗的大气颗粒物相比，PM2.5粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大。2012年2月，国务院同意发布新修订的《环境空气质量标准》增加了PM2.5监测指标。

1.2问题重述

为更加有效的治理PM2.5，试建立数学模型，分析我国的PM2.5环境问题的现状： 1、通过查阅资料，分析出PM2.5的形成因素，并建立数学模型进行定量描述； 2、在仅考虑大气运动影响下，建立PM2.5扩散传播的数学模型；

3、通过PM2.5的形因模型及传播模型，综合防治成本和治理效果两方面因素，提出最优的控制方案。

2.1问题一的分析

要对PM2.5的形成因素建立数学模型进行定量描述，通过查阅网上资料，了解到PM2.5的形成因素主要有SO2、PM10、CO、NO2。考虑到要分析我国现状，数据太大，所以可以以徐州为例。

采用Pearson简单相关关系方法对选取的数据进行分析，分析PM2.5与这几个因素之间的相关程度。可以利用SPSS对各变量进行相关性分析和显著性检验，得出相关性矩阵，从而得出PM2.5与其形成因素之间的相关密切程度。然而考虑到简单相关系数法可能不能真实反映出两变量之间的相关性，通常可能受到不止一个变量的影响，选择再对其进行偏相关性分析，有效地分析出PM2.5、SO2、PM10、CO、NO2几个变量间净相关的强弱程度。 2.2问题二的分析

要在仅考虑大气运动条件下，分析PM2.5扩散的情况。为此选取发电厂作为研究点，引入风速变量对PM2.5浓度的影响，选取高斯扩散模型进行分析。在不考虑垂直风速，假设空间PM2.5浓度服从高斯分布的前提下，运用高斯模型合理的计算出发电厂周边地区的污染物浓度。

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二、问题分析

2.3问题三的分析

PM2.5出现和形成与国民经济的发展和国家工业化进程有着密不可分的关系，基于问题一和问题二的研究，要提出最优控制方案。考虑到要成本最低，即对PM2.5治理费用最低，可以建立多目标优化模型，再利用软件求出结果。除此之外还需考虑治理效果最优，则可以对PM2.5分别进行综合治理和专项治理。

对于综合治理与专项治理既可以分别研究，也可以结合两者进行研究，比较两者方式的治理时间与收益。最优控制方案则可以结合综合治理和专项治理，专项治理加速治理，综合治理巩固治理结果。

三、模型假设

结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性与合理性，我们排除一些干扰因素，提出以下几点假设：

1、假设所使用的数据能客观地反映现实情况，且数据准确真实； 2、假设污染物在输送扩散中质量守恒，且污染源的源强均匀，连续； 3、假设环境为无边界空间，污染物在扩散过程中无遮挡物； 4、假设风的平均流场稳定，风速均匀，风向平直；

5、假设污染物的浓度在y、z轴上的变化分布符合正态分布；

6、假设污染物扩散服从扩散定律，即单位距离通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比；

7、在探究PM2.5的形因过程中忽略工地扬尘的作用；

8、扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。

四、符号说明

为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明： H ?i u i grad ? r Q q div Cpm 离地面的有效排放高度 扩散参数 平均风速 坐标轴 梯度 空间域 相关系数 PM2.5的量 单位时间排放物 散度记号 PM2.5浓度 空间任意一点的污染物浓度 污染源排放的污染物总量 C?x,y,z? Q0

2

五、模型的建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解 5.1.1模型建立

工业作业、工地扬尘和燃煤发电等活动产生大量的污染物，致使PM2.5成为徐州污染物的重要成员之一，灰霾现象频繁发生，时刻危害着人体健康。通过上网查阅资料，得知主要因素有：SO2、PM10、CO、NO2 。考虑到要分析我国情况，数据太大，那么现在就徐州为例，选取2015年1月至3月的数据进行分析，由于各变量之间没有顺序之分，那么就可以采用二元变量相关分析法中的Pearson简单相关系数方法，分析其与这几个因素之间的相关密度程度。

Pearson相关系数的计算公式如下：

r???x?x??y?y? ??x?x???y?y?225.1.2模型求解

利用SPSS对各变量进行相关性分析和显著性检验，得到如下表：

表1 简单相关分析表 Pearson相关性 显著性（双侧） Pearson相关性 显著性（双侧） Pearson相关性 显著性（双侧） Pearson相关性 显著性（双侧） Pearson相关性 显著性（双侧） PM2.5 SO2 0.51 0.00 1.00 0.00 0.56 0.00 0.64 0.00 0.63 0.00 PM10 CO NO2 0.71 0.00 0.63 0.00 0.74 0.00 0.80 0.00 1..00 0.00 PM2.5 SO2 PM10 CO NO2 1.00 0.00 0.51 0.00 0.86 0.00 0.87 0.00 0.71 0.00 0.86 0.00 0.56 0.00 1.00 0.00 0.82 0.00 0.74 0.00 0.87 0.00 0.64 0.00 0.82 0.00 1.00 0.00 0.80 0.00 由上表得到各指标的相关性矩阵和PM2.5与各因素之间的相关性矩阵，分别如下所示：

0.5140.8620.8730.718??1?0.514?10.5650.6430.632??r??0.8620.565rPM2.5=?0.514,0.862,0.873,0.718? 10.8210.740???0.8730.6430.82110.804???1??0.7180.6320.7400.804?根据两矩阵中数据显示，这几个指标两两之间相关密度程度都较高，且相关值都为

正数，由此可知各指标之间都是成正相关关系。通过分析PM2.5与各因素之间的相关性矩阵，可以发现它与PM10和CO高度相关，与SO2和NO2成中度相关。

然而简单相关系数法可能不能真实反映出两变量之间的相关性，通常可能受到不止一个变量的影响，那么现在就需要利用相关性分析的另一方法即偏相关系数分析法，有

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效地分析出PM2.5、SO2、PM10、CO、NO2几个变量间净相关的强弱程度。

利用样本数据进行偏相关性分析，在分析变量x1和变量x2之间的净相关时，当控制了变量x3的线性作用后，x1和x2之间的一阶偏相关系数为：

r12?r13r23 r12?3??221?r131?r23同样利用SPSS软件对这几变量进行偏相关性分析，得到下表：

表2 偏相关分析表 偏相关性值 部分相关性值 置信区间 SO2 0.533 0.256 (0.210,0.432) PM10 CO NO2 -0.189 -0.079 (-0.469,0.028) 0.562 0.277 (42.024,81.424) -0.031 -0.013 (-0.624,0.466) （0.5,0.8）通过分析上表，PM10和CO偏相关性值在区间之间，且CO的置信区间最

大，而和偏相关性值为负值，得到下面结论：PM2.5与PM10和CO两变量之间是中度相关，其中与CO相关度更高，相关值达到0.821，而与NO2和SO2这两变量是呈弱相关。 5.2问题二的模型建立与求解 5.2.1模型建立

实际生活中汽车尾气、工业废气、燃煤发电和秸秆燃烧等过程中都会燃烧排放大量PM2.5，再由气象、地形等原因对外扩散，导致出现令人惊愕的城市灰霾天气现象，对于它的扩散问题展开研究。由于排放源不一，故现在就以工厂为例，以发电厂烟囱正下

（0,0,0）方的地面为坐标原点，平均风向为x轴，指向下风向，铅直方向为z轴，y轴则

2.排放点O距有效地面的高度为H，水平垂直于风向轴，建立空间坐标系如图1，则PM5则排放点位置坐标为O?0,0,H?。

图1 空间系示意图

记时刻为t时，空间任意一点PM2.5的浓度为C?x,y,z,t?，根据假设可知单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度呈正比，则有：

q???i?gradC

??i?x,y,z?是扩散系数，grad表示梯度，负数表示由浓度高向浓度低的地方扩散。考察空间域?,其体积为V，包围的曲面为s1，s2为一规则的球面，则在?t,t??t?内通过

i?的流量为：

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Q1??t??tt??q?nd?dt

s1空间域?内PM2.5的增量为：

Q2??????C?x,y,z,t??t??C?x,y,z,t???dV

V从污染源释放PM2.5的总量为：

Q0??5.2.2模型求解

t??tt???pdVdt

?0根据“质量守恒定律”和“气体泄漏连续性原理”，单位时间内通过所选曲面s的向

外扩散的PM2.5与s曲面内PM2.5质量的增量之和，等于排放源在单位时间内向外排放的颗粒物。有：

Q0?Q1+Q2

即：

????t?t??tpdVdt??????C?x,y,z,t??t??C?x,y,z,t???dV??0Vt??tt??q?nd?ds

s1又根据曲面积分的Gauss公式：

??q?nd?????divqdV

sV则有：

kdiv?gradC?dtC?x,y,z,t??t??C?x,y,z??C?t?lim?lim ?t?0?t?0?t?t?t由上式得：

??C?dV????divqdV????P0dV ??????t?V?VV由以上公式并利用积分中值定理得：

?C?2C?2C?2C??idiv?gardC???x2??y2??z2,t?0,???x,y,z??? ?t?x?y?z上式是无界区域的抛物线型偏微分方程，根据假设，初始条件为作用在坐标原点的点源函数，记作：

C?x,y,z,0??Q??x,y,z?

t??t考虑到在做题时忽略了地面的作用，然而在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面污染物的阻挡，因此现在考虑地面对扩散的影响，假定污染物在扩散过程中，质量保持不变，到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射。这可认为地面就像镜子一样，对放射性气体起全放射作用，可用“像源法”处理，如下图建立三个坐标系，一是以泄漏源（实源）为坐标原点，二是以泄漏源在地面的投影点为原点，p点是空间的任意一点，坐标为?x,y,z?，三是以泄漏源。关于地面的像对称源（像源）为原点。把点放射性气体浓度看成两部分（实源和像源）作用之和，由此可推导出：

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图2 空间坐标系

其中，实源的贡献率为：

C?x,y,z,H??Q2?k?y

????2?y?exp??exp???22?z??y??????2?y?exp??exp??2?2?z??y????z?H???

22?2z???虚源的贡献率为：

C?x,y,z,H??Q2?k?y?z?H?2?2z2???? ??2由此可推导出：

C?x,y,z,H??Q2?k?y????y2????exp??exp???22??z???y?????z?H?2?2z2?????exp?????????z?H???? 2?2z??????式中?y是污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，?z是污染物在z方向分布的标准偏差，是距离z的函数，单位为m。

已知高斯扩散模型的特定条件是平均风速一定，那么在现实生活中不可能做到这样的情况，那么现在讨论风速的问题。 （1）无风点源的解

此时u?0，根据前面的分析结果可知：

?C?2C?2C?2C??idiv?gardC???x2??y2??z2,t?0,???x,y,z??? ?t?x?y?z对于瞬时点源，应满足如下初始条件和边界条件： 初始条件：

H?0时，x?0处，C??x?0处，C?0边界条件：H??时，C?0 得到解为：

?1?x2y2z2??qC?x,y,z，H??exp????2?2??

??2?u?y?z??2??x?y?z???为了简化模型，令?y、?z与x的关系为：

?y??1x??z??2x式中?1，?2，?1，?2分别为常系数。 （2）有风瞬时点源的解

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1?2

假定有一定常的平均风速，在坐标原点时释放污染物，该污染物会随风飘动，并因扩散而不断胀大。这个污染物的中心相对于固定坐标系的位置为uxt,o,o，如再取一个移动坐标系，原点设在移动污染物的中心，则利用坐标移动得到有风瞬时的扩散公式：

?1??x?uxt?y2z2??qn! C?x,y,z，H??exp???+2?2????2?u?y?z?y?z????2??z?r!?n?r?! (3)有风连续点源的解

由于污染源的持续作用，乐意认定扩散过程为定常态，即，浓度仅是空间坐标的函数。而且在风速大于高斯扩散模型所假定的均速时认为方向上风的平流输送作用引起的物质质量大于扩散作用，这时忽略?i??2c?x2。

根据题意和假设可知q源强，即单位时间内排放的污染物，?g/s，由此可得：

???1?y2z2??qC?x,y,z??exp???2?2??

??2?u?y?z??2??y?z???5.3问题三的模型建立与求解 5.3.1PM2.5的综合治理

PM2.5治理问题是一个全方位的、多元化的问题，涉及到很多方面，它的出现和形

成与国民经济的发展和国家工业化进程有着密不可分的关系。工业燃煤、工地扬尘、火力发电等作业都会造成PM2.5量和浓度的增加。在问题一和二的基础上，可以了解到它的几个影响因素，然而这几个因素之间还存在着紧密联系，因此这里可以建立多目标模型探究合理的治理方案。

建立多目标模型：

?i?1?0??Cpm??p?15%M?minCpm? s.. t?Q?M?ijmin?gdp???Pij?60%M?2Q?0.008?Cpm????ij其中，M表示投入治理资金，单位为百万元，Qij表示第i个项目经过j年后总投资数，?Cpm表示i年后PM2.5浓度的降低值。

利用Matlab软件计算得到五年治理投资的费用如下表所示：

表3 五年治理投资费用 年份 投入费用 综合治理 PM2.5减少量 投入费用 专项治理 PM2.5减少量 2010 87 2011 75 2012 70 2013 56 2014 48 11 38 32 8 33 27 36 24 25 24 18 17 19 16 14 根据求解结果和过程，PM2.5综合治理主要集中在环境保护和基础设施建设上。绿化环境是环境改建的重要部分，通过对外绿化以增加对扬尘的吸收，同时对绿化带进行定期清理，以做到最大化吸收，这部分占投资费用的30%。除此之外还需扩大交通网络，发展公共交通，推行清洁能源的使用，这部分所占的比例是45%。对于基础设施建设这

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方面就必须从技术上入手，增加科研投入与创新，改进技术，推广煤炭清洁化利用技术，优化能源结构，减少化工燃料的使用。同时本着优胜劣汰的原则，淘汰一些在城市上风向且对大气污染较重的企业，努力控制源头这部分约占25%。 5.3.2PM2.5的专项治理

在治理单位费用已知的情况下，对徐州市PM2.5进行专项治理。通常在专项治理过程中要求成本最低，效果最显著，所以在各个变量之间的相互关系的前提下，同样地找出约束条件，建立多目标系统动力学模型，找出最核心的影响因素，当地的实际情况来给管理部门相应的规划安排。

建立多目标系统动力学模型

?i?1?0??Cpm??minCpm?p?15%M?? s.. t?Q?M?min?ij?maxa???Pij?60%M?2Q?0.008?Cpm????ij在专项治理下，徐州市治理费用和PM2.5浓度减少量如下表：

表4 专项治理各年投入产出表 年份 投入费用(百万) PM2.5减少浓度 2010 68 48 2011 63 35 2012 60 28 2013 55 34 2014 59 18 由表4中数据分析可知专项治理投入费用一定的情况下，PM2.5减少量逐渐减少，这就导致了对该问题有监管，有管理，却不尽人意的局面，因此徐州市在进行专项治理的同时也要配合着进行综合治理。

因此接着分别考虑专项治理、综合治理以及综合治理与专项治理相结合情况下PM2.5治理时间与收益的对比图，如下图所示：

图3 不同治理模式收益对比图

由上图所示，仅做到综合治理不易于较危机的情况，仅做到专项治理，容易出现“有监管有治理”的局面，然而同时进行综合治理和专项治理，更有效地减少污染物的排放，两者相互约束，大大提高了工作效率，获得预期的效果。

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六、模型检验

问题一采用的是简单相关和偏相关分析法，利用SPSS软件对结果进行显著性检验。假设总体相关系数为?，则有：

H0:??0 ，H1:??1

对简单相关系数的统计检验是t统计量：

r t?21-rn?2如果t?tn,则拒绝H0。显著差异；否则接受H0，无显著差异。所以得到各变量的显著性检验值均为0，此时为极显著相关。

同样对偏相关分析法进行显著性检验，一般假设显著性水平为0.005，通过带值可以知道p值小于0.005，显著性较好。

七、模型的评价与改进

7.1模型的评价 7.1.1模型的优点

1、相关性分析较为准确地分析出几个因素之间的相关密切程度，比较简明直接； 2、利用相关性分析，既减少了需要处理的数据量，又保证了PM2.5监测点的代表性与科学性，从而大大简化了问题；

3、利用高斯扩散模型将实际问题转化为抛物线偏微分方程的问题，较为理性地分析出

PM2.5扩散时的情况；

4、分析过程中排出了一些不必要的麻烦，使得研究更加简单； 5、利用多目标优化模型，有条理地约束分析。 7.1.2模型的缺点

1、题目要求分析全国情况，而本文只选取徐州为观察点，对1至3月的数据进行分析，只能说明一部分情况，不能准确说明实际情况；

2、在研究扩散问题时没有考虑工地扬尘的作用和下垫面、地形、湿度等因素的影响，不能做到准确分析；

3、对于距离较远的扩散检测不到，容易被其他污染源干扰。 7.2模型的改进

1、相关性分析法较为准确地分析出各自之间的相关密切程度，然而在这里结果存在模糊性，可以利用主成分分析找出最主要因素。

2、题目要求分析我国PM2.5的情况，然而本文是以徐州为例，也只选择了1至3月的数据，存在一定的局限性，所以在继续探究时应选取更多的数据，更多的城市，更贴切地解决问题。

3、问题二中选用的高斯扩散模型是在风速一定的基础上进行探究，忽略了热对流、热传递和热辐射等情况的影响，所以为了进一步探究扩散情况，需要把这些因素考虑在内。

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八、模型推广

相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。相关性不等于因果性，也不是简单的个性化，相关性所涵盖的范围和领域几乎覆盖了我们所见到的方方面面，在经济学、统计学、数学、大气科学、生态学、遗传学等领域都有应用。其中在金融活动中具有十分广泛的应用，如投资组合分析、资产定价及风险分析等问题都用到相关性分析。

高斯模型是最早开发的数学模型，是模拟泄露到大气中的污染物沿下风向扩散浓度分布最广泛的模型之一。高斯扩散模型用于均一的大气条件，以及地面开阔平坦的地区，点源的扩散模式。排放大量污染物的烟囱、放散管、通风口等，虽然其大小不一，但是只要不是讨论烟囱底部很近距离的污染问题，均可视其为点源。

本文给出了确定污染源位置的具体方案。模型的假设是根据实际生活而定，比较合理,结果有较高的可信度；充分考虑了传播过程中的随机因素，保证了模型的准确性和通用性。另外此模型课以在相关数据支持的前提下，可用于对某一地区表层土壤中重金属污染的分析，并通过数据预测出污染源位置。因此，本方案有利于污染的彻底治理，且省去了大量的人力、物力，节约了大量的社会成本。

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九、参考文献

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[4]石东伟 陈东娜，高斯扩散模型在确定污染源位置中的应用，河南科技学院学报，

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[5]朱增银 李冰 赵秋月 夏思佳 李荔，对国内外PM2.5研究及控制对策的回顾与展望，环境科技，2013；

[6]赖红松 董品杰 祝国瑞，求解多目标规划问题的Pareto多目标遗传算法[J],系统工程，24-28，2003。

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附录

SO2、PM10、CO、NO2 与PM2.5之间的正态分布曲线图：

图1 SO2、PM10、CO、NO2 与PM2.5之间的正态分布曲线图

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/njtx.html