2018届高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入教师用书

。 。 。 第四节 数系的扩充与复数的引入

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 命题角度 2016，全国卷Ⅰ，2,5分(复数的四则1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义； 4.会进行复数代数形式的四则运算； 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 运算) 2016，全国卷Ⅱ，1,5分(复数的几何意义) 2016，全国卷Ⅲ，2,5分(复数的四则运算) 2015，全国卷Ⅰ，1,5分(复数的乘除，模) 2015，全国卷Ⅱ，2,5分(复数的乘法，相等) 每年平均有一个小题，难度较低，重点考查复数的代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识。 微知识 小题练

自|主|排|查

1．复数的有关概念 (1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0，且b≠0，则a＋bi为纯虚数。

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。 (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴除去原点叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

→

(5)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即

- 1 -

|z|＝|a＋bi|＝a＋b。

2．复数的几何意义

一一对应

(1)复数z＝a＋bi ――――――→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)。 一一对应→(2)复数z＝a＋bi ――――――→平面向量OZ(a，b∈R)。 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)则：

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝22z1a＋biac＋bd＋bc－ad＝z2c＋dic2＋d2

(c＋di≠0)。

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。

微点提醒

1．i的乘方具有周期性 1，n＝4k，??i，n＝4k＋1，i＝?－1，n＝4k＋2，

??－i，n＝4k＋3。

n

(k∈Z)。

2．复数的模与共轭复数的关系： －－2

2

z·z＝|z|＝|z|。 3．两个注意点：

(1)两个虚数不能比较大小。

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(选修2－2P106A组T2改编)若复数(a－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )

A．1

2

B．2

- 2 -

C．1或2

??a－3a＋2＝0，

【解析】 依题意，有?

??a－1≠0，

2

D．－1

解得a＝2。故选B。

【答案】 B

2．(选修2－2P112A组T5(3)改编)复数?A．2－i C．3－4i 【解析】 ?故选C。

【答案】 C 二、双基查验

1．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )

A．(－3,1) C．(1，＋∞)

B．(－1,3) D．(－∞，－3)

?5?2的共轭复数是( )

??2－i?

B．2＋i D．3＋4i

?5?2＝?

???2－i??

＋－

＋

?2＝(2＋i)2＝3＋4i所以其共轭复数是3－4i。??

【解析】 由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以

??m＋3>0，?

?m－1<0，?

解得－3

【答案】 A

2．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值等于( ) A．－6 C．2

B．－2 D．6

??a＋2＝0，

【解析】 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数，得?

??1－2a≠0，

由此解得

a＝－2。故选B。

【答案】 B

3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝－1

B．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－1

【解析】 由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1。故选D。

【答案】 D

- 3 -

4．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于第______象限。

1＋i

【解析】 z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内。 【答案】 二

3＋i

5．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________。

i

3＋i

【解析】 因为z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝17。

i【答案】

17

微考点 大课堂

考点一 复数的有关概念 2z【典例1】 (1)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5(2)若a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝( )

1＋2iA．－2 C．1

B．－1 D．2

(3)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝( ) A.10 C.2

??x－1＝0，

【解析】 (1)由纯虚数的定义知：?

?x＋1≠0，?

2

B．2 D．1

?x＝1，故选C。 (2)a＋bi＝故选A。

(3)依题意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝－

2

5

＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2。 1＋2i

＋1＝10。故选A。

2

【答案】 (1)C (2)A (3)A

反思归纳 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足

- 4 -

的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。

2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部。 10

【变式训练】 (1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )

3－iA．－3 C．1

B．－1 D．3

2

2

(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z＋z的虚部为( ) A．0 C．1

【解析】 (1)∵a－

10

＝a－3－i

＋－

＋

B．－1 D．－2

＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即

a＝3。故选D。

(2)∵z＋z＝(1＋i)＋(1－i)＝0，∴z＋z的虚部为0。故选A。 【答案】 (1)D (2)A

考点二 【典例2】 (1)(2016·太原模拟)复数z＝对应的点在( )

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

复数的几何意义 i－2－

22

2

2

2

2

2

(i为虚数单位)，z在复平面内所

(2)(2015·陕西高考)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( ) 31

A.＋ 42π11C.－ 2π

【解析】 (1)因为z＝

i－2－

ii＝＝＝2

4＋4i－13＋4i

11B.＋ 2π11D.－ 42π－25

＝43

＋i，所以z2525

?43?在复平面内所对应的点?，?在第一象限。故选A。 ?2525?

(2)由|z|≤1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，右图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y≥x的区域，11π－4211111

该区域的面积为π－×1×1＝π－，故满足y≥x的概率为2＝－

4242π×141

。故选D。 2π

- 5 -

【答案】 (1)A (2)D

→

反思归纳 1.复数z、复平面上的点Z及向量OZ一一对应，即z＝a＋bi，(a，b∈R)?Z(a，

b)?OZ。

2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。

→4

【变式训练】 (1)如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋表示的复数为

→

z( )

A．1＋3i C．3－i

B．－3－i D．3＋i

(2)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝3，则的取值范围为________。

44

【解析】 (1)由图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝

z1－i1－i＋

＋－

＋

4＋4i

＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选D。

2

yx(2)因为|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝3， 所以(x－2)＋y＝3。

22

?＋y＝3，?x－y设＝k，则y＝kx。联立?x??y＝kx，

2

2

化简为(1＋k)x－4x＋1＝0。

因为直线y＝kx与圆有公共点，所以Δ＝16－4(1＋k)≥0，解得－3≤k≤3，所以的取值范围为[－3，3]。

【答案】 (1)D (2)[－3，3]

考点三 复数的运算 2

22

yx【典例3】 (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则A．1 43C.＋i 55

z＝( ) |z|

B．－1 43D.－i 55

- 6 -

－(2)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则

4i

＝( ) －zz－1

B．－1 D．－i

A．1 C．i

(3)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( ) A．1 C.3

B. 2 D．2

－

z4－3i43

【解析】 (1)＝22＝－i。故选D。

|z|4＋355

(2)4i

＝－zz－1

4i

＋

－

－1

＝i。

(3)因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝1＋1＝2，故选B。 【答案】 (1)D (2)C (3)B

反思归纳 (1)复数的乘法。复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可。

(2)复数的除法。除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式。

(3)利用复数相等求参数。a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)。 【变式训练】 (1)A．1＋i C．1－i

(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( ) A．2＋3i C．3＋2i 【解析】 (1)(2)z＝

5

＋2i＝2－i

＋－－

322

2

＋－

32

＝( )

B．－1＋i D．－1－i

B．2－3i D．3－2i

1－i＋3i－3－2＋2i＝＝＝－1－i，故选D。

－2i－2i＋

＋

＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。

故选A。

【答案】 (1)D (2)A

- 7 -

微考场 新提升

－2

1．(2016·山东高考)若复数z＝，其中i为虚数单位，则z＝( )

1－iA．1＋i C．－1＋i

－

解析 易知z＝1＋i，所以z＝1－i。故选B。 答案 B

－

2．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝( ) A．－1＋2i C．3＋2i

解析 易知z＝3－2i，所以z＝3＋2i。故选C。 答案 C

3．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2

－－

解析 对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z1＝4，z2＝－2＋23i，是假命题。故选D。

答案 D

4．(2017·浙江模拟)已知i是虚数单位，若解析 由2

2

2

2

B．1－i D．－1－i

B．1－2i D．3－2i

－

a＋3i

i

2＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________。

a＋3i

i

＝b＋i，得

a＋3i－

i

＝a＋

－i

＝3－ai＝b＋i，所以b＝3，a＝－1，则

ab＝－3。

答案 －3

1＋ai

5．已知a∈R，若为实数，则a＝________。

2－i

- 8 -

解析 ∵

1＋ai

＝2－i＋a－＋＋

＝2＋i＋2ai－a2－a1＋2a＝＋i，

555

1＋ai1＋2a1

为实数，∴＝0，∴a＝－。 2－i52

1答案 －

2

- 9 -

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