高一下学期数学期中考四校联考试卷

2012?2013学年第二学期期中四校联考

高一数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用

2B铅笔把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑． 1．化简sin2400的值是 A．?12 B．1332 C．?2 D．2 2．设扇形的弧长为4cm，面积为8cm2，则扇形的圆心角的弧度数是

A．

12 B．1 C．2 D．4 3．为了得到函数y?2cos(2x?π2)的图象，只需将函数y?2cos2x的图象

A．向左平行移动π4个单位长度 B．向右平行移动π4个单位长度

C．向左平行移动π2个单位长度 D．向右平行移动π2个单位长度

4．已知tana?3，则sina?cosasina?cosa?

A．12 B．2 C．13 D．3

5．已知角?满足0???2?，且?的终边上一点的坐标为(3,?1)，则角?的值是

A.

5?2?5?6 B.3 C.3 D.11?6 cos(???)6．化简 2cos(???)sin(???)tan(??) 结果为

A．?1sina B．1sina

C．?11cosa D．cosa 7．已知圆C:x2?y2?4x?0，直线l过点(3,0)，且与圆C交于P、Q两点，则PQ的最小值为 A．3 B．2 C．23 D．4 8．已知函数y?Asin(?x??)(A?0,??0,0????)在一个周期上的图象 如右图所示，则该函数表达式为

A．y?3sin???2x?4π?5?? B．y?3sin???2x?π?5?? C．y?3sin??π??2π??x?10?? D．y?3sin??x?5??

9．圆C1：x2?y2?2x?8y?8?0与圆C2：x2?y2?4x?4y?2?0的公共弦长为 A．22 B．25 C．27 D．42 10．已知实数a，b满足a2?b2?6a?8?0，函数f(x)?asinx?bcosx的最大值记为?(a,b)，则?(a,b)的最小值．．．

为 A．1 B．2 C．3 D.2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．

11．cos215??sin215?的值为 .

12．已知tana?12，tan(b?a)?13，则tanb? . 13．已知点P在圆(x?2)2?(y?1)2?1上，点A(?2,0)是线段PQ中点，则点Q的轨迹方程是 . 14．设函数f(x)?sin(2x??6)，有下列结论：

①函数f(x)的图象关于点(??12,0)对称； ②函数f(x)的图象关于直线x?2?3对称；

③函数f(x)在区间[0，?2]上单调递减；

④将函数f(x)的图象向右平移?112个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得到函数y?sinx.

其中所有正确结论的序号是 .

1

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答

题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15．（本小题满分12分）

已知?是第二象限角，且sin??45.

（1）求cos?和cos(??45?)； （2）求tan2?.

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?2sinxcosx?23cos2x?3，x?R. （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； （2）若x?[0,?2]，求函数f(x)的值域.

17．（本小题满分14分）

已知圆C：x2?y2?8y?12?0，直线l：ax?y?2a?0. （1）当a为何值时，直线l与圆C相切； （2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且

AB最大时，求直线l的方程；

（3）当直线l与圆C相交于P、Q两点，且PQ?22时，求直线l的方程.

18．（本小题满分14分）

函数f(x)?1?Acos?x（A?0,??0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为?2. （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若f(?)=182513，cos(???)?5(0??????2)，求sin(???)的值．

19．（本小题满分14分）

已知圆C经过点A??1,0?和B?3,4?，半径为210，且圆心C在第二象限. （1）求圆C的方程；

（2）设点Q在圆C上，试问使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论； （3）是否存在圆C上的动点E，使得以AE为直径的圆过原点？若存在，求出E点坐标，

若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?12cos2x?asinx?a2?2a?112（x?R，a?R）. （1）若a?2，求函数f(x)的最大值及此时x的取值； （2）若函数f(x)的最小值为2，求a的值；

（3）把函数f(x)的最大值记为g(a)，求g(a)的值域.

2

2012?2013学年第二学期期中四校联考

高一数学（参考答案）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D A C A B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 11.

3 12. 1 13.(x?6)2?(y?1)22?1 14. ①②（多选、漏选、错选均不得分） 三、解答题

15．（本小题满分12分） 解：（1）因为sina?45，且?是第二象限角， 所以cosa??1?sin2a …………………………………………………………1分 ??1?(425)??35. …………………………………………………………3分

cos(??45?)?cos?cos45??sin?sin45? ……………………………………………………4分

??3?22?45?22?2510. ……………………………………………………6分 （2）tan??sin?cos? …………………………………………………………7分 4 ?5??4?33. …………………………………………………………9分

5 tan2a?2tana1?tan2a ………………………………………………………10分

2?(?4 ?3)?241?(?4)27. ………………………………………………………12分 3 另解：

sin2??2sin?cos??2?45?(?35)??2425， ………………………………………8分

cos2??1?2sin2??1?2?(42?75)?25， …………………………………………10分

?24 tan2a?sin2?24cos2??25?7?7. ………………………………………………12分 2516.（本小题满分12分）

解：（1）f(x)?sin2x?3(2cos2x?1) ………………………………………………1分 ?sin2x?3cos2x ………………………………………………2分

?2sin(2x??3)， ………………………………………………3分

故f(x)的最小正周期为T?2?2??． ………………………………………………4分 又由2kp?p2?2x?p3?2kp?p2， ………………………………………………5分

得kp?5p12?x?kp?p12， ………………………………………………6分 所以，函数f(x)的单调递增区间为[kp?5p12,kp?p12](k?Z)． ………………………7分 （2）当0?x??2时，p3?2x?p3?4p3， ………………………………………………8分

所以?32?sin(2x??3)?1， ………………………………………………10分 即?3?2sin(2x??3)?2， ………………………………………………11分

故函数f(x)的值域为[?3,2]. ………………………………………………12分

17.（本小题满分14分）

解：（1）由圆C：x2?y2?8y?12?0，得其标准方程为x2?(y?4)2?4，

即圆心为（0 , 4），半径为2， ………………………………………………1分

所以圆C到直线l的距离为d?|4?2a|a2………………………………………………2分

?1. 因为直线l与圆C相切，所以有|4?2a|a2?1?2， ………………………………………………3分

解得a??34. ………………………………………………5分 （2）由直线l与圆C相交于A、B两点，且AB最大，可知直线l过圆心C， ……………………6分 故0?4?2a?0，即a??2， ………………………………………………7分 所以直线l的方程为2x?y?4?0. ………………………………………………8分

3

（3）过C作CD?PQ,垂足为D，由圆的性质得

CD?CP2?PD2?4?2?2. ① ………………………………………………9分

又由点到直线的距离，得CD?4?2a， ② ………………………………………………10分

a2?1所以4?2aa2?1?2，即a2?8a?7?0， ………………………………………………11分

解得a??7或a??1， ………………………………………………12分 ∴直线l的方程是7x?y?14?0和x?y?2?0. ………………………………………………14分

18.（本小题满分14分）

解：（1）由函数f(x)?1?Acos?x（A?0,??0）的最大值为2，可得1?A?2，即A?1.……1分

又因为函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为?2，

所以函数f(x)的最小正周期T??， …………………………3分

即??2?T?2???2， …………………………4分 故函数f(x)的解析式为f(x)?1?cos2x. ……………………………5分 （2）由f(?)?1?cos2??1813，得cos2??513. ………………………………………………6分

因为0??????2，所以0?2???， ……………………………………………………7分

所以sin2??1?(521213)?13. ……………………………………………………8分

又因为cos(???)?255， 所以sin(???)??1?cos2(???)??1?(25255)??5， ……………………………9分 又由0??????，可得0?????? 22，所以sin(???)?55. …………………10分 所以

sin(???)?sin[2??(???)] ……………………………11分

?sin2?cos(???)?cos2?sin(???) ……………………………12分

?1225552913?55?13?5?65. ……………………………14分 19.（本小题满分14分）

解：（1）由题意，直线AB的斜率k?1，AB中点坐标为?1,2?，

∴直线AB的垂直平分线的方程为y?2??(x?1)，即x?y?3?0. ……………………1分

设圆心C(a,b)，可得a?b?3?0. ① ……………………2分 又半径为210,所以CA?210,?(a?1)2?b2?40. ② ……………………3分

由①②解得??a??3或??a?5，∴圆心C(?3,6)或C(5,?2)（舍）， ……………………4分

?b?6?b??2 ∴圆C的方程为(x?3)2?(y?6)2?40. ……………………5分 （2）因为AB?42?42?42，

∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为22. ……………………6分

又圆心C到直线AB的距离为42，圆C的半径r?210，

且210?42?22?210?42， ……………………8分

∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8. ………………………9分 （3）假设存在满足条件的点E，使得以AE为直径的圆过原点，则?AOE??2.

因为圆C与y轴有两个不同的交点，故由图形可知，这样的点E有2个. …………………10分

又因为圆C的方程为(x?3)2?(y?6)2?40，令x?0，可得(y?6)2?31， ……………12分

即y?6?31，故点E的坐标为(0,6?31)或(0,6?31). …………………14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）函数f(x)?1111?2sin222cos2x?asinx?a?2a?2?x2?asinx?a2?2a?112 ??sin2x?asinx?a2?2a?6. ………………………………1分

当a?2时，f(x)??sin2x?2sinx?6??(sinx?1)2?7，

所以fmax(x)?7， ………………………………2分

4

此时sinx?1，即x?2k???2(k?Z). ………………………………3分

（2）令sinx?t??[1,，1则函数f(x)?12cosx2?asxi?na2?a?2112的最值问题转化为函数

h(t)??t2?at?a2?2a?6??(t?a223a2)?4?2a?6(t?[?1,1] 的最值问题). …………4分 ① 当

a2?0时，a?0，此时fmin(x)?h(1)??12?a?a2?2a?6??a2?3a?5?2， 解得a?3?212（舍）或a?3?212. ………………………………………5分 ② 当

a?0时，a?0，此时f22min(x)?h(?1)??(?1)2?a?a?2a?6??a2?a?5?2 解得a?1?132（舍）或a?1?132. ………………………………………6分 3?21 综合①、②，可得a?2或a?1?132. ……………………………………7分

（3）当

a??1时，即a??2，g(a)?h(?1)??a22?a?5； 当?1?aa3a22?1时，即?2?a?2，g(a)?h(2)??4?2a?6； 当

a2?1时，即a?2，g(a)?h(1)??a2?3a?5， ???a2?a?5,a??2,所以g(a)=???3a2 ?2a?6,?2?a?2, ……………………………………10分

?4???a2?3a?5,a?2. 当a??2时，g(a)?(??,?1]； ……………………………………11分 当?2?a?2时，g(a)?(?1,223]； ……………………………………12分 当a?2时，g(a)?(??,7]. ……………………………………13分

所以g(a)的值域为(??,223]. ……………………………………14分

5

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