高一物理竞赛讲义六 - 静力学平衡多种方法

高一物理竞赛讲义

静力学问题解答技巧

一、巧用矢量图解

1、如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果DO、

OE、OF三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( ) B D (A) OA (B) OB O F (C) OC (D) DO

C E A

2、如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上．有一劲度系数为k，自然长度为L(L＜2R)的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？

cos??kRL??cos?1kL 2R?kR?G?2?kR?G?

3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ

sin???cos?sin?? cos???sin??F??cos?cos???sin?

4、将合力F分解为F1和F2两个分力，若已知F的大小及F1和F2的夹角?，且?为钝角，则当F1、F2大小相等时，它们的大小为_______；当F1有最大值时，F2大小为_______。

分析与解 将一个力分解成两个力，在没有附加条件时，可以有无数种解，在有题给限制条件时，也有解集，根据力合成的平行四边形定则,被分解的力与两分力之间关系是“对角线”与夹对角线的两“邻边”的关系,基于平行四边形对边平行且相等的性质，合力与它的两分力之间的关系还可以用更简单的矢量图形——三角形来表示，如图，满足合力F的两分力F1和F2夹角? 且?为钝角的矢量三角形是一解集，它们有公共外接圆，表示合力F的有向线段是该圆的一条弦，该弦所对的圆周角均为?－?，如图，由图可知当F1、F2大小相等时，对应的力矢量关系图为等腰三角形，表示F1和F2的线段为腰，底角为?

2 ，故F1和F2的大小相等F1＝F2＝

F

， 2cos ?

2

由图还容易得知，当表示F1(F2)的线段处于直径位置时，即表示相应的力有最大值，且三力关系矢量三角形呈直角三角形，这时F2(F1)大小为F·cot(?－?)＝-Fcot?。 运用矢量图，我们了解了符合题目要求的力分解的全貌，并从中分检出两特殊解，解答过程非常简单清晰，

5、如图所示,放存水平面上的质量为m的物体，在水平恒力F1作用下，刚好做匀速直线运动.若再给物体加一个恒力F2，且使F1=F2(指大小)，要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F此时地F1 2应沿什么方向?面对物体的作用力大小如何?

分析与解 首先分析未加力F2时物体受力情况：物体在重力mg、水平恒力F1以及地面作甩力(支持力与滑动摩擦力的合力)F作用下处于平衡状态，故三力矢量依次首尾相接构成闭合三角形，如图所示，在

1

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这个闭合三角形中，表示重力和水平恒力的有向线段大小方向都是确定的，表示地面作

用力的有向线段方向总是与竖直(地面支持力作用线)成tan-1?，但这个力的大小是可改变的，以此为基础，若要再加一个力而使物体仍处于平衡，这个力的作用线应沿F力，方向可与F力一致，如图所示；也可与力F相反，如图所示，这样物体所受各力矢量

仍能构成闭合三角形，返还实体，即Ftan-12力可以是与竖直成?斜向后上拉，也可以是

与竖直成tan-1?斜向前下推，相应地，地面对物体的作用力将减少或增加F2 .

由于以矢量图描述出物体平衡时的受力关系，我们理顺了如何加力的思路。

6、如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB和AC两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角60°，试求两环质量比M/m．

Msin306?2 m?sin15?2

7、如图所示，用细绳拴住两个质量为m1、m2（m1＜m2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m1处细绳与水平夹角α是多少？

??tan?1m2

m1

8/如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m1和m2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m1和m2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα=

?1?2，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒

B 与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ． m2

cos???1??2mθ 1

22?1??2 A ?

二、巧取研究对象

选取研究对象一般遵循的原则是：尽量取“整体”，“化内为外”时或方程数不足时取“部分”，整分结合，方便解题。

1、有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，BO竖直放置，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m,两环间有一个根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）

(A) N不变，T变大 (B) N不变，T变小 (C) N变大，T变大 (D) N变大，T变小

2、三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）

解析： 因为环2的半径为环3的2倍，环2的周长为环3的2倍，三环又是用同种金属丝制成的，所以环2的质量为环3的2倍。设m为环3的质量，那么三根绳承

2

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担的力为3mg，于是，环1与环3之间每根绳的张力FT1=mg。没有摩擦，绳的重量不计，故每根绳子沿其整个长度上的张力是相同的（如图所示）FT1= FT2=mg。

对环3，平衡时有：3FT1-mg-3 FT2cosα=0，

由此cos??23

F1T1环2中心与环3中心之距离：x?r?3cos0cot??r0T21?cos2?，

xF?2即x?2

r05r02r0

3、一个底面粗糙质量为M的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30o夹角，用一端同定的轻绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为30o，如图所示，当劈静止时，绳中拉力的大小为 ；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，k值不能小于 。

分析与解 这个问题中，要我们确定轻绳的拉力和地面的作用力，所以我们首先将小球及劈与轻绳、地面隔离，将小球及劈视为一体取作研究对象，对这个整体分析受力如图所示，图中F是地面对研究对象的作用力，在k取最小值而整个系统静止的FT F 情况下，该力作用线与竖直成?＝tan-1k的夹角；图中Ftan-1k T是轻绳对研究对象的拉力.由于系统平衡，它们与重力(M+m)g的合力为零，即三力矢量构成图中闭合三角形关系，根据正弦定理，力矢(M+m)g

量满足如下方程：

（M＋m）gF sin (300+?) ＝T sin? 在上列方程中包含有两个未知量，所以我们需另取研究对象，以得到新的物理关系方程。我们可取小球为隔离体，分析它的受力如图，由于小球平衡而得知其所受重力mg、斜面支持力FN与轻绳拉力FT构成图中矢量三角形关系，注意到题给条件，该三角形是底角30o的

等腰三角形，由此又有方程：FmgT＝ 2cos30o

解这个方程可得轻绳上拉力FT＝

3 3 mg，将此结果代入上一方程，可得 （M＋m）g sin (300+?) ＝m 3 sin? ,由于?＝tan-1k,于是可得k=3m 6M+3m

4、如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑,顶角为?的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少? nM?

FT?2??ngcot2?Mg2?cot?2

5、如图所示，一台轧钢机的两个滚子，直径各为d=50cm,以相反方向旋转，滚子间距离为

a=0.5cm，如果滚子和热钢间的动摩擦因数为b a

0.1，试求进入滚子前钢板的最大厚度。

解析：热钢板靠滚子的摩擦力进入滚子之间，根据摩擦力和压力的关系，便可推知钢板的厚度

以钢板和滚子接触的部分为研究对象，其受力情况如图所示，钢板能进入滚子之间，则在水平方向有:fcos??Nsin? (式中f??N)，所以由两式可得：μ≥tanθ

设滚子的半径为R，再由图中的几何关系可得

R2?(R?b?a2R A tan??2)，将此式代入得dN θ f R?b?ab≤(d+a)-

a1??23

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代入数据得b≤0.75cm

即钢板在滚子间匀速移动时，钢板进入滚子前厚度的最大值为0.75cm.

三、巧解汇交力系平衡

1、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是（ ） (A) 1∶2 (B)

3∶1

(C) 1∶3 (D) 3∶2

2、如图所示，BC两个小球均重G，用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直。

A 求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大？ 30? D ⑵细线BC与竖直方向的夹角是多大？ B

? 60?

C FAB?2Gsin60?3G FCD?2Gcos60?G细线BC与竖直成60°角

3、如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切,

一根均匀直棒AB与水平成60O角靠墙静止，求棒长.

L?13?1313a

4、如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于A 天花板上的A点，另一段悬于竖直墙上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC＝2CB，且绳B点附近的切线与竖直成?B 角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各为多大？ ? C

FmgTC?3tan?

?2mg?2?mgtan??2 F?mg4A???3?????3??3?tan2?如图1—17所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水

平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点,B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力FT。

解：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链

不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况．

在铁链上任取长为ΔL的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示．由于该微元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：

4

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FT???FT???Gco?s?FT? ?FT???Gco?s???Lgco?s

由于每一段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大?FT?，所以整个铁链对

A

端的拉力是各段上?FT?的和，即

FT???FT?????Lgco??s?g??L?c o观察?Lcos?的意义，由于??很小，所以CD?OC，?DCE??，?Lcos?表示ΔL在竖直方向上的投影ΔR，所以??Lcos??R 所以FT??g??Lcos???gR。

A 5、如图所示，有一轻杆AO竖直放在粗糙的水平地面上，A端用细

绳系住，细绳另一端固定于地面上B点，已知θ=30o，若在AO杆中点施一大小为F的水平力，使杆处于静止，这时地面O端的作

? F 用力大小为_________，方向_________。 B O

6、一均匀光滑的棒，长L，重G，静止在半径为R的半球形光滑碗内，如图所示，R

7、如右图所示，一吊桥由六对竖直钢杆悬吊着，六对钢杆在水平桥面上分列两排，其

上端分别挂在两根钢缆上。已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠近桥面中心的钢杆长度为2m（即AA＇＝DD＇＝2m），BB＇＝EE＇，CC＇＝PP＇。若钢缆两端与水平方向成45°角且钢杆自重不计，为使每根钢杆能承受相同负荷，试求：每根钢杆长度应各为多少米？

F F 45° C＇ 45° B＇ A＇ D＇ E＇ P＇ C B A D E P

本题为静力学综合题，又是一个与现实生活中桥梁实例相似的应用类问题，巧妙选取受力分析的研究对象，是较简便地求解本题的关系。

设桥重为2G

先取整个桥为受力分析的研究对象，则：2TCF45°=G ①

即TCF=TGP=G ②

又由题意可知 ：TCC′=TBB′=TAA′=TDD′=TEE′=TPP′= ③

再取C点为共点力平衡的研究对象

5

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TCFsin45°=TCC′+TBCcos∠BCC′ ④ TCFcos45°=TBC∠BCC′ ⑤

由②③④⑤联列方程得：tan∠BCC′=

最后取B点为受力平衡的研究对象 则：TBC∠BCC′=TAB∠ABB′ ⑥ TBCcos∠BCC′=TB′B+TABcos∠ABB′ ⑦ 由⑥⑦得，tan∠ABB′=3 又因为

=2m

所以BB′=EE′=5m CC′=PP′=11m

[说明] 已知部分线段和角度，求其他线段长度原为几何问题。但从各有关

点受力平衡可知有关角度，从而求出未知线段，这就是本题的题思路。巧妙地选取受力分析的点和物体可简化解题过程。

8、如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离a＝4R3π ，其中R为圆柱体半径，

如果半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ。

sin??3??9、如图所示，对均匀细杆的一端施力3???4F，力的方向F 垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，

α 试求杆与地面间的最小摩擦因数．

解析：人将杆缓慢抬起的过程中，地板对杆作用的弹力和摩擦力会不断地发生变化，因此，抬起至某一位置时可能要发生滑动，解题时需判断何处最易滑动（这O F 是第一个难点），当杆与水平面的角度成α时受力如图3所示，取重力和人作用于杆的力F作用线的交点O为轴，设杆长为2L，根据力矩的平衡条件得：

N NLcosα=fL(1/sinα+sinα)=fL1?sin2?α mg sin?

f 因此， f?Ncos?sin?1?sin2??Ncos?sin?2sin2??cos2??N12tg??ctg? 要使杆不滑动，须满足条件：f??N，

??1即

2tg??ctg?，

因为2tgαctgα=2为正值，所以当2tgα=ctgα时，有极值， 即：tg??222时， ?min?4

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