最新勾股定理练习题整理及答案解析

勾股定理

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础 2.简单的计算

3.几何图形中的计算 4.勾股定理的几何证明

二、 勾股定理的逆定理 三、 勾股定理的应用

一、 勾股定理及证明

1.勾股定理基础

1. 【易】（初二数学下期末复习）在Rt△ABC中，?C?90?，a、b、c分别表示?A、

?B、?C的对边，则下列各式中，不正确的是（ ）

A．a2?b2?c2

B．c2?a2?b2

C．a?c2?b2

D．a2?b2?c2

【答案】D

2. 【易】（2010实验初二上期中）下列说法正确的是（ ）

A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2?b2?c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2?b2?c2

C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，?C?90?，则a2?b2?c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，?A?90?，则a2?b2?c2 【答案】C

3. 【易】（沈阳）在下列说法中正确的是（ ）

A．在Rt△ABC中，AB2?BC2?AC2

B．在Rt△ABC中，若a?3，b?4，则c?5

C．在Rt△ABC中，两直角边长都为15，则斜边长为152 D．在直角三角形中，若斜边长为10，则可求出两直角边的长 【答案】C

4. 【易】(2010年北京西城外期中)将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的

三角形是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B

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5. 【易】（深圳中学初二上期中）把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4倍，则其斜

边扩大到原来的（ ）倍，所得的三角形仍为直角三角形 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B

6. 【易】直角三角形的两直角边同时扩大为原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ）

A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【答案】A

7. 【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）某校办工厂要制作一些等腰

三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底长、腰长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ） A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5 【答案】A

8. 【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)在Rt△ABC中，?C?90?，周长

为60，斜边与一条直角边之比为13:5，则这个三角形三边长分别是（ ） A．5、4、3 B．13、12、5 C．10、8、6 D．26、24、10 【答案】D

9. 【易】（2013年理工分校第二学期初二数学期中练习）小明想知道学校旗杆的高，他发

现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A．8m B．10m C．12m D．14m 【答案】C

【解析】解：由题意得，AB为旗杆的高，AC?AB?1，BC?5米．

已知AB?BC，根据勾股定理得AB?AC2?BC2?解得AB?12米

?AB?1?2?25

10. 【易】美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是

2

正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm．问：最大的正方形的边长是_______．

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【答案】14cm

980÷5=196cm2 图中所有正方形的面积之和等于5倍的最大的正方形的面积，

11. 【易】（2013年第二学期五十七中初二年级数学学科期中试卷）

已知x?2?y?3??2?0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直

角三角形的斜边长为（ ） A．5

B．5

C．7

D．15 【答案】C

12. 【易】(2013年理工分校第二学期初二数学期中练习)如图，在四边形ABCD中，

AB?BC?2，CD?3，AD?1，且?ABC?90?，试求?A的度数．

DA

BC【答案】连结AC，

DA

BC在Rt△ABC中，?B?90?，AB?BC?2， ∴?BAC?45?，AC2?AB2?BC2?8， ∴AC2?AD2?CD2，∴?CAD?90?， ∴?BAD??BAC??CAD?135?

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13. 【易】（2013年第二学期八年级数学学科期中统练试卷）如图所示的一块地，已知

AD?4m，CD?3m，AD⊥DC，AB?13m，BC?12m，求这块地的面积．

CAD

B【答案】24

【解析】连接AC

CAD

B在△ACD中，?D?90?，AD?4m，CD?3m， ∴AC?5，AB2?AC2?BC2， ∴?ACB?90?，

11∴S?S△ABC?S△ACD??5?12??3?4?24

22

14. 【易】看下列两组勾股数

⑴ a b c ⑵ a b c

3 4 5 4 3 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 35 37 ? ? ? ? ? ? 从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？

11b，c）b?c?1，b?(a2?1)，c?(a2?1)； 【答案】所给的勾股数（a，，当a为奇数时，

2211b?(a2?4)，c?(a2?4) 当a为偶数时，b?c?2，44

15. 【中】(江苏省竞赛题)对如下的3个命题:

命题1：边长为连续整数的直角三角形是存在的． 命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的． 命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的．

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正确命题的个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D

3，4，5；4，5，6；2，3，4的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形．

16. 【中】(3,4,5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题

⑴ 三边长为连续整数的直角三角形有多少个？

⑵ 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ ⑶ 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？

【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数

的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个.

b?3，那么第三边的变化范围是（ ）17. 【中】在锐角三角形中，已知某两边a?1，．

A．2?c?4

B．2＜c≤3

C．2＜c＜10

D．8＜c＜10 ?12?x2?32?x?3?1?且?22 【答案】D 设第三边长为x,则?21?3?x，1?3?x.???

18. 【中】(绵阳市中考题)若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，

b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以给出下列结论：①以a2，c?h，h的长为边的a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a?b，111三条线段能组成直角三角形；④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.其

abh中所有正确结论的序号为______.

【答案】②③④ (a?2b)?a?b?2即a?b?c ab?，c

2.简单的计算

19. 【易】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________

【答案】6，8，10

20. 【易】（2012昆山一模）一个直角三角形的两边长分别为4与5，则第三边长为（ ）

A．3

B．41

C．41或3

D．不确定

【答案】C

21. 【易】在Rt△ABC中，?C?90?，若a?11，c?61，则b?（ ）

A．63 B．60 C．48 D．58

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【答案】B

22. 【易】若直角三角形中，有两边长是12和5，则第三边长的平方为（ ）

A．168 B．169或119 C．13或15 D．15 【答案】B

23. 【易】（2013年黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）

A．5

B．7

C．5

D．5或7 【答案】D

24. 【易】（2010年北京月坛期中）在△ABC中，?C?90?，若AC?3，BC?5，则AB?（ ）

A．34 【答案】A

8，10，则这个三角形最长边上的高是（ ） 25. 【易】已知，三角形的三边长为6，A．10 B．8 C．2.4 D．4.8 【答案】D

AB?15，AC?20，BC边上的高AD?12，26. 【易】（2010年北京文汇期中）在△ABC中，

则BC的长为（ ） A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定 【答案】C

则△ABC的面积是27. 【易】在△ABC中，AB?12cm，BC?16cm，AC?20cm，（ ）

2

A．96cmB．120cm2 C．160cm2 D．200cm2 【答案】A

28. 【易】（2013年乐亭县一模）已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程x2?5x?6?0的两根，则此直角三角形的斜边长为（ ）

A．3

B．4

C．20 D．都不对

B．3

C．13

D．5

【答案】C

BC?6，点M为BC的中29. 【易】（安徽省中考题）如图，在△ABC中，AB?AC?5，点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）．

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6 5【答案】C

A．

9B．

5 C．

12 5 D．

16 5

30. 【易】（北京市西城区2013学年度第二学期期末试卷八年级数学）如图，每个小正方形

的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，那么三边a，b，c的大小关系是（ ）

CbAcaB

A．a?c?b B．a?b?c C．c?b?a D．c?a?b 【答案】D

31. 【易】（2013山东滨州中考）在△ABC中，∠C?90?，AB?7，BC?5，则边AC的

长为______________．

【答案】26

32. 【易】（2010年北京四中期中）如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的

高为____________． 【答案】8或10

33. 【易】（北京西城外国语学校2011初二数学期中）三角形三条边长分别为8，15，17，

那么最短边上的高是_______________． 【答案】15

34. 【易】（初二数学下期末复习）若正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为______cm。

【答案】6

35. 【易】（2011深圳中学初二上期末）直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则斜边

上的高为__________．

【答案】

60 13

36. 【易】如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD?9cm，BD?4cm，那么CD等于______cm．

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C

ADB【答案】6

37. 【易】在Rt△ABC中，?C?90°，a?5，b?12，则c?______．

【答案】13

38. 【易】（初二上期中模拟）在Rt△ABC中，?C?90?，其中a?6，b?8，则c?______．

【答案】10

39. 【易】（2010年北京七中期中）已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则第

三边长为______

【答案】34cm

40. 【易】求图中直角三角形中未知的长度：b?______．

b915

【答案】12

41. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若直角三角形两直角

边长分别为a、b，且满足a2?6a?9?b?4?0，则该直角三角形的斜边长为______________

【答案】5

42. 【中】（初二数学下期末复习）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边

长大2，则斜边的长为（ ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】C

243. 【中】（初二下期末综合练习（三））已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm，

则斜边长为（ ） A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm 【答案】B

44. 【中】（初二上期中模拟）已知直角三角形ABC中，?C?90?，AC?6，BC?8，现

将△ABC绕点B旋转90?，得△DBE，其中A的对应点为E，则AE的长为（ ）

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A．20 【答案】B

B．102

C．202 D．10

45. 【中】一直角三角形的两边长是3和5，则第三边边长的平方是______．

【答案】34或16

46. 【中】（2010年北京文汇期中）三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角

三角形，则第三条边长是______．

【答案】34或4

47. 【中】（北京市第三十五中学2011学年度第二学期期中初二）若直角三角形的两边长分

别为6cm和8cm，则第三边长为____________．

【答案】10或27

48. 【中】（2010年北京五中期中）有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角

三角形，则第三边等于______．

【答案】3或41

49. 【中】（2010年北京鲁迅期中）若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形

的第三边长为______．

【答案】13或119

50. 【中】（初二下期末综合复习）已知直角三角形的两边长x、y满足

x2?4?y2?5y?6?0，则第三边长为______

【答案】22或13或5

51. 【中】在△ABC中，AB?15，AC?13，高AD?12，则三角形的周长是______．

【答案】32或42

52. 【中】已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为______．

【答案】28或100

53. 【中】（2013年清华附中初二第二学期期中试卷数学）

如图，在△ABC中，CE平分?ACB，CF平分?ACD，且EF∥BC交AC于M，若

CM?5，则CE2?CF2?______________．

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AEBMCFD

【答案】100

54. 【中】（初二周测）在Rt△ABC中，?C?90?，AB?BC?AC?24cm，AB?10cm，

则S?ABC为（ ） A．12cm2

【答案】D

B．16cm2

C．20cm2

D．24cm2

55. 【中】（2010年北京七中期中）在Rt△ABC，?C?90?

b的值 ⑴已知a:b?3:4，c?10，求a，c长度 ⑵已知b?6，?A?45?，求a，【答案】⑴∵Rt△ABC，?C?90?

b?4k 设a?3k，∴c?a2?b2?5k?10

∴k?2

b?8 ∴a?6，⑵Rt△ABC，?C?90?，?A?45? ∴?B??A?45? ∴a?b?6，c?62

56. 【中】（2012年全国初中数学联赛题）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求

它的斜边长.

【答案】设直角三角形三边长分别为a、b、c(a≤bc得30?a?b?c?2c，∵c为整数，∴11≤c≤14.

∵a2?b2?c2，把c?30?a?b代入并化简得ab?30(a?b)?450?0.

22∴?30?a??30?b??450?2?3?5.

?30?a?52? ∵a、b均为整数，且a≤b，∴只可能是?230?b?2?3，???a?5解得?从而c=13.

b?12，?

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⑵由⑴结论可知： a2?2a1?2， a3?2a2?a4?2a3???2a1?2， 2a1?22；

32??…

故找到规律 an???2n?1a1???2n?1．

89. 【中】（2012南充市中考题）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB?AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长为_______cm.

【答案】43

延长CB至E，使EB?CD，连接AE，则△ABE≌△ADC，△AEC为等腰直角三角形.

90. 【中】（2010年北京文汇期中）问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道量时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． ⑴请你将△ABC的面积直接填写在横给上． 思维拓展：

⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a、22a、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的17a（a?0）

△ABC．并求出它的面积．

探索创新：

⑶若△ABC三边的长分别为m2?16n2、9m2?4n2、2m2?n2（m?0，n?0，且m?n），试运用构图法求出这三角形的面积．

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ABC

【答案】⑴

7 2⑵面积为3a2

mn⑶面积为5mn

PB?8，PC?10，若91. 【中】(青岛市中考题)如图，P是正△ABC内的一点，且PA?6，将△PAC绕点A旋转后，得到P?AB，则点P与点P?之间的距离为_______，∠APB=_______.

【答案】6;150°

92. 【中】如图,在△ABC中，AB?5，AC?13，边BC上的中线AD?6，则BC的长为

_______．

【答案】261

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延长AD至E，使DE?AD则∠BAE?90° ．

E?AC，连接BE，则B?13AE，?12，又AB?5，93. 【中】(2012年四川省竞赛题)在△ABC中，已知AB?39，BC?6，CA?3，M是边

BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的是_______．

【答案】

3 ∠ACB?90°，AM?23=2AC，∠DMB=∠CMA=30°． 2

94. 【中】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)如图，在△ABC中，AD?BC于点

D，AB?8，?ABD?30?，?CAD?45?，求BC的长．

A

BDC【答案】∵AD⊥BC于点D，

A

BDC∴?ADB??ADC?90?． 在Rt△ABD中，

∵?ABD?30?，AB?8， ∴AD?11AB??8?4 22BD， AB∵cos?ABD?∴BD?8?3?43． 2∵?CAD?45?，?ADC?90?，

∴DC?AD?4．

∴BC?BD?DC?43?4．

4.勾股定理的几何证明

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的95. 【易】“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a?b)2的值为（ ）

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A．13 B．19 C．25 D．169

22??a?b?13,解得ab?6，故(a?b)2?a2?b2?2ab?25. 【答案】C 由题意得?2??(a?b)?1

96. 【易】（人大附中2013年第二学期期中初二年级数学练习）下图中，图1是我国古代著

名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC?6，BC?5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________．

BCA

图1

【答案】76

图2

97. 【易】（2010年南浔区模拟）利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个

十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是___________．

ADaccbC

Bba【答案】勾股定理，a2?b2?c2

98. 【易】（2008年湖州）利用图⑴或图⑵两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学

中一个十分著名的定理，这个定理称为_____________，该定理的结论其数学表达式是_____________

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【答案】勾股定理，a2?b2?c2

99. 【易】（2012年宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》

中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，

?BAC?90?，AB?3，AC?4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）

A．90 【答案】C

B．100 C．110

D．121

【解析】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以，四边形AOLP是正方形， 边长AO?AB?AC?3?4?7，

所以，KL?3?7?10，LM?4?7?11， 因此，矩形KLMJ的面积为10?11?110．

100. 【易】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，从

图中可以看到：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积．因而c2?____+_____．化简后即为c2?_______．

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