第二章晶体的结合

第2章晶体的结合

习 题 1. 有一晶体,平衡时体积为 V0， 原子间相互作用势为U0.如果相距为 r的两原子互作

用势为

u?r???证明

mn. 9V0(2)求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.

[解答]设晶体共含有 N个原子,则总能量为

1U(r)=??'u?rij?.

2ij由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为

N U=?'u?rij?. 2j设最近邻原子间的距离为R则有rij?ajR

a?? mnrr(1)体积弹性模量为 K=U01N??Am?An?'1?A得到 U=,?,?m?n?. ?nmn??2?R0ajajR0?jj平衡时R=R0,则由已知条件U(R0) = U0 得 再令 Am??' 由平衡条件 得

N2??Am?An????Rm?Rn???U0

00??dU(R)dR?0

R0N?m?Amn?An???n?1??0. m?1??2?R0R0?由(1),(2)两式可解得

2U0?Am?nR0m,N(m?n)

2U0?An?nR0n.N(m?n)利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]

2??2U?R01N?m(m?1)?Amn(n?1)?An??? K=得K= ????2??mn9V0??R?R9V02?R0R0?0

mn1N?m(m?1)2U0nR0mn(n?1)2U0mR0n?= = ?U. ??0??mn9V09V02?N(m?n)R0R0N(m?n)?

1

mn. 9V0(1)由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为

AB u(r)??6?12.若令

rr由于U0?0, 因此U0??U0, 于是 K= U06A2?B? ??,????,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为

4B?A?6????12???? U(r)?2N??A12???A6???.

?R?????R??1dU(R)由平衡条件

dRR0?2A12???可得 R?00?A?62?N?A6??.进一步得 U0?U(R0)??2A. ?1261?A6?33?4N3mn??AR0得 K=代入K=U0. .并取 m=6，n=12，V0?12??3A9V02?33?12?70.1?. 对体心立方晶体有 A6?12.25,A12?9.11.于是K??32. 一维原子链,正负离子间距为a,试证:马德隆常数为??21n2. [解答] 相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成

52q2b u(rij)???n.

4?rijrij设最近邻原子间的距离为R 则有 rij?ajR, 则总的离子间的互作用势能

N U=2?j'??1Nq'??1?u?rij???[?a??Rn24??0Rj??j??j'b. anj基中 ???'?j1 aj为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有

x2x3x4?1111?'(?1)????, ????2???????.利用正面的展开式 1n(1+x)x?234aj?1234?j1111并令 x?1 得?????=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为??21n2

12343. 计算面心立方面简单格子的A6和A12

(1)只计最近邻; (2)计算到次近邻; (3)计算到次近邻.

[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别

2

为:aj?1,aj?2,aj?3. 由

?'?1 A6???aj?j???,A12??'?1??aj??j6??. ??12

图2.6 面心立方晶胞

得

?1??1?(1)只计最近邻时A6(1)?12*???12， A\\12(1)?12*???12.

?1??1?(2)计算到次近邻时

?1??1?A6(2)?12*???6*???12.750,?1??2?121266612

?1??1?A12(2)?12*???6*???12.094.?1??2?(3)计算到次次近邻时

?1??1??1?A6(3)?12*???6*???12.750?0.899?13.639,??24*????1??2??3?121212666 由以上可

?1??1??1?A12(3)?12*???6*???12.094?0.033?12.127.??24*????1??2??3?以看出,由于A12 中的幂指数较大,A12收敛得很快,而A6 中的幂指数较小,因此 A6 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 A6和 A12 的数值分别是14.45与12.13. 4. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数.

1[解答]马德隆常数的定义式为 ???'?,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和

ajj相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7示出了

一个埃夫琴晶胞.设参考离子O为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为

图2.7二维正方离子晶格

14*2. 1顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为

3

1114*4*4.因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为 ??2?4?1.293.再选?122取22?4个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围

44内,它们对库仑能的贡献为 ?,而边棱上的离子对库仑能的贡献为

12114*8*2?2, ?2514*4,这时算出的马德隆常数为 顶角上的离子对为库仑能的贡献为 ?84*

图 2.8 4个埃夫琴晶胞

同理对32?9个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为

1111??4*8*8*4*??4???44??482?2?2?4??1.611 ??????????????2??258??3101318??1????对 42?16个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为

4??4884??44??48??????????????????2??3?12??58??101318??11111? ? 8*8*8*4*??4*2?2?2?2?4??1.614???4?10172532?????当选取 n2个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1 晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为 ??4?An?1?Bn??8?Cn?1?Dn?,n?1.

1An?1??(?1)t?1,tt?1其中

1Bn?(?1)n?1,2nn?1 4

????111???????Cn?1?????22?2222?22?1??21?1??22?211???????? 2222(n?1)?(n?2)?2(n?1)?(n?1)????,1??(?1)n?1?22??(n?1)?1??111Dn??????(?1)n.

2222228n?n2n?(n?1)2n?15. 用埃夫琴方法计算CsCl 型离子晶体的马德隆常数

(1)只计最近邻 (2)取八个晶胞 [解答]

(1)图2.29是CsCl晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29?a?是将

Cs?双在体心位置的结构,图2.9(a)是将 Cl?取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1.

图2.29 （a）Cs 取为体心的CsC1晶胞,(b) C1取为体心的CsC1晶胞

(2)图2.10是由8个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8

1埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是,它们

2?6*?12R2与参考离子的距离为它们对马德隆常数的贡献为-

32/3

图 2.10 8个CsCl晶胞构成的一个埃夫琴晶胞

埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是与参考离子的距离为

1它们422R331顶上的 8个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是它们与参考离子

8

5

它们对马德隆常数的贡献为-

12*?1/4?22埃

8*?18?,由8个CsCl晶胞构成的埃夫26*(1/2)12*(1/4)8*(1/8)琴晶胞计算的马德隆常数??8????3.064806. 为了

22/3223的距离为2R它们对马德隆常数的贡献为 -

进一步找到马德常数的规律,我们以计算了由27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的

马德隆常数,结果发现,由27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665.马德隆常数的不收敛,说明CsCl晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.

为了便于计算,通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs? 作参考离子,由于埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为2pa(p是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞是由(2p)3个CsCl晶胞所构成,埃夫琴晶胞最外层的离子与参考离子同号,而边长为(2p+1)的埃夫琴晶胞是由(2p+1)3 个 CsCl晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以C1? 作参考离子也有同样的规律,设参考离子处于坐标原点O ,沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z图2.11示出了z轴)看去,与参考郭同号的离子都分布在距O点ia的层面上,其中i 是大于等于 1的整数,与 O点离子异号的离子都分布在距O 点(i-0.5)a的层面上,图 2.11(a) 示出了同号离子层,图2.11(b)示出了异号离子层.

图2.11 离子层示意图

(a)表示同号离子层, O离子所在层与 O'离子所在层相距ia

(b)表示异号离子层, O离子所在层和O' 离子所在层相距(i-0.5)a

当 CsCl埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不能忽略.对于由(2p)3个CsCl晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有6*(2p)2个与参考离子同号的离子,它们与参考离子的距离为(1/2)pa~(32)pa,它们与参考离子的库仑能为pe24??0a量级,这是一个相对大的正值.对于由(2p+1)3个CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有6*(2p+1)2个与参考离子异号的离子,它们与参考离子的库仑能为?pe24??0a量级,这是一个绝对值相对大的负值,因此,由(2p)3 个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能,与由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能都不能代表CsCl晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl晶胞、8个CsCl 晶胞和27个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知, CsCl埃夫琴晶胞体积不大时,这种现象已经存在.

为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性,可采取以下方法,令由 (2p)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为U1，由(2p+1)3个CsCl晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为U1，则CsCl晶体离子间相互作用的库仑能可近似取作

1 U?(U1?U2) (1)

2

6

因子1/2 的引入是考虑除了(2p+1)3 个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外,其他离子间的库仑能都累计了两偏,计算U1 和U2 时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃

夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小的数,相应的马德隆常数应为

1??(?1??2) (2)

2?1?3??其中：?1??'?是由(2p)个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值; ?a?j?i??1??j'?1?3???由 (2p+1) 个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值. ?a??i? 为简化计算,特选取晶胞边长a为计算单位,由于2R?3a,所以 ???1?3'?'??, ?'??'??? a2ii??(3)

其中ai' 是某一离子到参点的距离与a的比值.

考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上,体积不同的正六面六个面上的离子分别计算. 由(2p)3个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时,由分析整理可得

p?3?p?1??1?A?B?C, (4) ??iip???2?i?1i?1?由(2p+1)3个 CsC1 晶胸构成埃夫琴晶胞时,

p?3?p?1??2?A?B?D??iip??, (5) 2?i?1?i?1?其中：Ai????x'y'iikx'y'x?y?i2'2'2(1?i?p),(6)

Ai表示与 O点距离为ia的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献,因为这些离子与参考离子同号,故到负号.x'、y' 是离子在平面 o'x'y' 上的坐标, kx'y'代表 6个面上等价离子的个数,其取值规则为:

(1)在角上(如E点),即x'=i 且 y'= i. 时, kx'y'=8；

(2)在棱与坐标轴的交点(如 F点)，x'=i 且y'= 0或 x'=0且y'= 0时, kx'y'=6 (3)在棱上的其他点(如H、I点)即不满足上述条件,且x'=i或y'= i.时, kx'y'=12 (4)在O'点,即x'=0且y'= 0时, kx'y'=6

(5)在除O' 点外的面上的点(如J点),即不满足上述条件时，kx'y'=24.

i?0.5i?0.5'kx''y'2'22 Bi?x?y?(i?0.5)Bi代表距O点距离为(i-0.5)a的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,因为这种些离

x?0.5y?0.5''??(1?i?p),(7)

'子与参考离子异号,故取正号. x',y'是离子在平面o'x'y'上的坐标, kx''代表这6个y面上等价离子的个数,其取值规则为:

7

'(1)在角上(如K点),即x'=i 且 y'= i.时, kx''=8; y'(2)在棱下(如L、M 点),即不满足不述条件,且x'=i或y'= i时，kx''=12； y'(3)在面上(如N点)好不满足上述条件时, kx''=24. y Ci????iik\''2xy'x'?0y'?0x?y?i2'2(i?p),

Ci表示在边长为2pa 的晶胞最外层,即与参考离子相距pa的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,应取负号,与Ai的不同在于k\''的取值:

xy(1)在角上, k\''=kx'y'/8;

xy(2)在棱上, k\''=kx'y'/4;

xy(3)在面上, k\''=kx'y'/2.

xyi?0.5i?0.5Di?x'?0.5y'?0.5??'''kx''yx?y?(i?0.5)2'2'2(i?p),

Di表示在边长为2(p?1)a的晶胞最外层,即与参考离子相距(p+0.5)a的离子层对马德隆常

'''数的贡献,应取正号,与Bi的不同在于kx''的取值: y''''(1)在角上, kx''=k''/8; yxy''''(2)在棱上, kx''=k''/4; yxy''''(3)在面上, kx''=k''/2. yxy表2.1给出了计算结果,给出的?是由分别对应2p和2p+1的?1和?2求得的,实际上, ?1和?2只需对应边长相近的埃夫琴晶胞即可,如取对应2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一样的收敛结果,由以上数据可见,马德隆常数?随晶胞边长的增大而迅速收敛. 该方法适用于NaC1结构以外离子晶体马德隆常数的计算.

表2.21 CsC1晶体结构马德隆常数

? 2p ?1 2p+1 ?2 2 3.064806 3 0.439665 1.7522355 4 3.102401 5 0.415594 1.7589975 10 3.119695 11 0.405077 1.7623860 50 3.122891 51 0.402453 1.7626720 100 3.122991 101 0.402358 1.7626745 200 3.123016 201 0.402334 1.7626750 300 3.123021 301 0.402329 1.7626750 400 3.123022 401 0.402327 1.7626745 500 3.123023 501 0.402327 1.7526750 600 3.123023 601 0.402326 1.7626745 700 3.123024 701 0.402326 1.7626750 800 3.123024 801 0.402326 1.7626750 6. 只计及最近邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为

8

??R?e2?e?,(1)??Ru(r)??(1)最近邻(2)最近邻以外 2e??,(2)?r?式中?,?是常数,R是最近邻距离,求晶体平衡时,原子间总的互作用势. [解 答]

设离子数目为2N,以rij?ajR表示第j个离子到参考离子i的距离,忽略表面效应,则总的相

?'?e2???R?????e互作用能可表示为U=N?????? (?表示最近邻) ?????ajR??j???e2??Z?e?R??, =N???R??1?其中??????

?a?ij?? 为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子;Z为任一离子的最近邻数目,设平

??e2Z??R??dU?N?2?e衡时R=R0 ,由平衡条件??0,得 dRR0??R0?' ??e2R20?Z?e?R0?.

平衡时的总相互作用为

??e2?N?e2???R0???? U(R0)?N???Z?e??1. ???R0?R0?R0??7. 设离子晶体中,离子间的互作用势为

?e2b??,最近邻??RRm u(r)?? 2e??,最近邻以外??r(1)求晶体平衡时,离子间总的相互作用势能U(R0)

??(2)证明: U(R0)???Z?m????1m?1

其中?是马德隆常数，Z是晶体配位数 [解答]

(1)设离子数目为2N, 以rij?ajR表示第j个离子到参考离子i的距离,忽略表面效应,则总

?'?e2?b?????m?(?表示最近邻) 的相互作用能可表示U=N??????R???ajR??j???e2b??Zm?, =N??R??R其中???i'?1????,为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子.Z 为任一离?a?j??9

子的最近邻数目,设平衡时R=R0由平衡条件

dUdrR0??e2Zmb?Zmb?N?2?m?1??0,得m?1=?e2

R0?R0?R0?Zmb即R0????e2?????1m?1.

于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能

?Zmbb?NZbU0=N??m?Zm???m(m?1).

R0?R0?R0(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为

U0=?(m?1)NbZm?1m?1mm?1??(m?1)Nb(?e)Z1m?1m2m1m?1mm?1.

?Zmb????e2????(mb)???由上式可知 U0???Z??.

??8.一维离子链,其上等间距载有正负2N个离子,设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间,且为b/Rn,b,n 是常R是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q ,

2Nq21n2?1?(1)试证明平衡间距下 U(R0)=??1??;

4??0R0?n?(2)令晶体被压缩,使R0?R0(1??), 试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力

(n?1)q21n2作功的主项为c?2其中c=;

R0(3)求原子链被压缩了2NR0?e(?e??1)时的外力 [解答]

(1)因为离子间是等间距的,且都等于R,所以认定离子与第j个离子的距离rj 总

可表示成为rj?ajR

m1m?1aj是一整数,于是离子间总的互作用势能

?q22N?'q2b?1?2b?'?????, U(R)?????N??????n??4??02?4??0rjrj??Ri?ai?Rn???j??其中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用.一维离子晶格的马德隆常数(参见本章

?1?习题2)为?'???a???21n2.

ii??利用平衡条件

dU(R)dR?0

R0n-1q21n2R0 得到b=, 4??0n2Nq21n2?1R0n?1???. U(R)=??n??4??0?RnR?

10

在平衡间距下

2Nq21n2?1? U(R0)??1??.

4??0R0?n?(2) 将互作用势能在平衡间距附近展成级数

1?d2U??dU?2?U(R)?U(R0)??(R?R)?? ?(R?R0)??02??2?dR?R?dR?R00由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为

1?d2U?2?(R?R)W=U(R)?U(R0)??, 02??2?dR?R0其中利用平衡条件，将R=R0(1??) ，代入上式，得到

1?(n?1)q21n2? W=??(2NR0?)?. 22??4??0R0??晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项

1?(n?1)q21n2?W =??? 22NR0?2??4??0R0??(n?1)q21n2令c= (CGS) 24??0R0得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为

c? .

2（3）设???e时外力为Fe,由于在弹性范围内，外力与晶格的形变成正比，所以 F= ?(2NR0?), Fe= ?(2NR0?e),

其中?为比例系数离子链被压缩2NR0?e过程中外力作的功 We=?2NR0?e0Fdx??[?(2NR0?e)]2NR0d?

0?e = ?(2NR0)2由于 We=

121?e?2NR0?eFe. 22c?e(2NR0?e), 2所以离子链被压缩了2NR0?e时的外力为

q21n2(n?1)?e Fe=c?e?. 2R09．设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及结合能的影响。 [解答]

NaC1离子间的互作用势为

q2b u?rij????.

4??0rijrij如果晶体共含有N个原子，令rij=ajR,R是最近邻离子间的距离，则总的互作用势能

NN??q2B?'U=?u?rij????, ?n???2j2?4??0RR?

11

?1?b式中 ??????,B??'n.

?a?ajjjj??若平衡时R=R0,由平衡条件

'dU(R)dRR0N?2??q2nB??n?1??0, ?24??RR0?00?14??0nBn?1得R0?(). 2?q利用体积弹性模量公式

R02??2U??2? K=? 9V0??R??R0?q2N?q2?1?得K=(n?1).平衡时的结合能为 U0??1??. 48??0R0?n?72??0R0由于晶格常数 a与R0成线形关系,于是,当电荷加倍时,晶格常数,体积弹性模量以及结合能

与原来值的比值为

1a(2q)?41?n,a(q)K(2q) ?4n?1,

K(q)U0(2q)?4n?1.U0(q)10．两原子间互作用势为 u(r)??nn?1?r2??r8?

当两原子构成一稳定分子时，核间距为3A,解离能为4eV,求?和?.

[解答]当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有

du(r)2?8??3?9?0.

drr?r0r0r0?4??由此是平衡时两原子间的距离为r0???, (1)

?????3?而平衡时的势能为 u?r0???2?8??2. (2)

r0r04r016根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需用的能量，其值等于u(r0)已知解离能为4eV因此得

3? =4eV. (3) 24r0再将r0=3A,1eV=1.602*10?12erg代入(1)(3)两式,得 ??7.69*10?27erg?cm2

?=1.40*10?72erg?cm8.

11．NaC1晶体的体积弹性模量为2.4*1010帕，在2万个大气城压作用下，原子相互作用势能增加多少？晶格常数将缩小百分之几？（1帕=10?5个大气压）

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?[解答]假定在外力作用下,晶体的形变为弹性形变，此时可将K 视为常量，由《固体物理教程》（2.6）式

K=?V???p???V??,

T得 P?PVKV0???VVdV??K1nV.

00式中 P0=1个大气压,P=2*104个大气压, V0为晶体在压强为P0时的体积,

P0?P V=VK?P?0?P由此得0e及 ?V=V-V0?V0?eK?1?? ???在弹性形变情况下,体积的相对变化率 ?VV??1.因此,由《固体物理教程》(2.10)式 P=?K?V, 0V0可知体积弹性械量K甚大于压强P ,于是

?V?V0(P0?P)K再根据 P?V???U,

得相互作用势能增加量为?U??P?V =?PV0(P0?P)K

单位体积热能增加量为 ?u??P(P0?P)=2*109(2*109?105)38.4*10Jm=1.67*10Jm3K210. 设晶格常数为a, 则有V??a3, ?是一常数,于是 ?V?aV?3. 0a0得晶格常数缩小的百分比为

?a1?V1P?P0a?? 03V03K =2*109 ?1053*2.4*1010 =2.8%.

12.雷纳德一琼斯为u(r)?4????????12??????6???r??r????,

?证明:r=1.12?时势能最小,且 u(r)???;当r=?时, u(r)?0说明? 和? 的物理意义. [解答]当r?r0时u(r)取最小值u(r0),由极值条件

??du??dr???0得 4????12?12?6?13?67??0 r?r?0?r0r0??于是有 r60?21??1.12? 再代入u的表示式得

u(r????12???6?0)?4??

????r?0?????r???0?????, ?4???1?4?1?2?????当 r=?时则有

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????12???6? u(?)?4?????????0,

??????????由于u(r0) 是两分子间的结合能,所以?即是两分子处于平衡时的结合能,?具有长度的量

纲,它的物理意义是, ?是互作用势能为0时两分子间的间距.\\ 13.如果离子晶体中离子总的相互作用势能为

??q2? U(r)??N??Z?e?r??,

?4??0r?求晶体的压缩系数,其中?,?为常数,Z为配位数.

1[解答]压缩系数k等于体积弹性模量K的倒数,即k?.

K22??q2??2U?R0NR0Z??R0??????e又 K? ??. 2?32?9V0??R?R9V0?2??0R0??0式中R0为平衡时相邻原子间的距离,由平衡条件

??q2Z??R0????U? ?,得 N?e?0????0, 32??R?R0?2??0R0????q2?R0?即e. ?2??0Z?R0由以诸式得

9V018??0V0 k=?. ?2??q1?Z??R0??2?1??N?q?NR02??e?32???2?R0??2??0R0??14.取一?x?y?z立方体积元,以相对两面中点连线为转轴,列出转动方程,证明应力矩阵是一个对称矩阵. [解答]

如图2.21所示,在弹性体内取一立方体积元,体积元边长分别为?x,?y,?z,C点的坐标是x,y,z .对于以前后两面中心AB为转轴的转动,上下表面上的应力Tyx形成了力偶,左右两表面上的应力 Txy也形成了力偶,体积元绕 AB轴转动的转动方程为

(Tyz??IAB?Tyz?y2?y)?x?y?Tzy?z?z?z?y?Tyz?x?y?(Tzy??y)?x?z?Tzy?x?z22?y22??AB?t2,

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图2.12 正方体积元六个面上的应力

基中?AB是体积元绕AB轴转动的转动角, IAB是体积元绕 AB 轴转动的转动惯量,其值为

?(?y)2(?z)2? IAB???x?y?z??12?12??.

??由上式可知,当?x,?y,?z趋于0时,转动惯量IAB更快地趋于0,于是转动方程化为

?Tyz??Tzy????? ??Tyz??y?y??Tyz??Tzy??y?y???Tzy?0

????因为应力的梯度不能突变,所以当 趋于 时,由上式可得 Tyz?Tzy 同理可得

Txz?Tzx,Txy?Tyx. 由此可知,应力矩阵

?TxxTxyTxz??Txx??? ?TyxTyyTyz???Txy?TzxTzyTzz??Txz???是一个对称矩阵

1(c11?c22),c33,其他2常数为零,取a轴与x轴重合,取c轴为z轴,弹性波在xy平面内(任意方向)传播,试求 (1) 三个波速;

(2) 对应三种模式的质点的位移方向 [解答]

按照已知条件,六角晶体的弹性劲度常数矩阵为

00??c11c12c130?c?cc000121113???c13c13c33000???,c66?(c11?c12).

00c4400??0?0000c440???00000c??66??TxyTyyTyzTxz??Tyz?. Tzz??15.六角晶体有5个独立的弹性劲度常数c11?c22,c23?c13,c55?c44,c66?弹性波的传播方向单位矢量

I?lxi?lyj,

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且有 l22x?ly?1.

同《固体物理教程》(2.70)式可求得克利斯夫(Christoffel)方程

?c2c211lx?66ly?c(c12?c66)lxly0??Vx? ??(c2??12?c66)lxlyc11l2x?c66ly?c0?0. ????Vy?00c???44?c??Vz??由质点速度Vx,Vy,Vz的系数行列式的值

c2211lx?c66ly?c(c12?c66)lxly0 (c12?c66)lxlyc2211lx?c66ly?c0?0

00c44?c得到

c2?(c11?c66)c?c11c66?0, c44?c?0.

由以上两式得到三个有效弹性常数 c1?c11,c2?c66,c3?c44. 将c1代入克利斯托夫方程得

(c66?c11)lyVx?(c12?c66)lxVy?0, (c12?c66)lyVx?(c66?c11)lxVy?0,

Vz?0.将c166?2(c11?c12)代入前两式,得到

VxlV?x.

yly如图2.13所示,设传播方向与x轴夹角为?,则有cos??lx,sin??ly于是得到VxV?lx?cot?. yly 图 2.13 波的传播方向与质点运动方向平行

即传播方向就是质点运动的方向,也就是说,对应c1是一纵波. 将c2代入克利斯托夫方程,得 (c11?c66)lxVx?(c12?c66)lyVy?0,(c12?c66)lxVx?(c11?c66)lyVy?0, Vz?0.将c166?2(c11?c22)代入前两式,得到

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lyVx ??.

Vylx上式对应的几何图像如图2.14所示,由图2.14可知,传播方向与质点运动的方向垂直,也就是说,对应c2一横波

图2.14波传播方向与质点运动方向垂直

将c3代入克利斯托夫方程,得

2(c11lx2?c66ly?c44)Vx?(c12?c66)lxlyVy?0,22(c12?c66)lxlyVx?(c11ly?c66lx?c44)Vy?0,

(c44?c44)Vz?0.前两式Vx和Vy的系数行列式的值等于,

2 c11c66?c44c66?c11c44?c44?(c11?c44)(c66?c44).

因为c11?c44,c44?c66,所以Vx和Vy的系数行列式的值不为0,即前两式中Vx和Vy的解必须都

为0,因此,对应c3,质点速度只有Vz?0,显然,这也是一个横波,质点运动的方向与传播方向垂直.

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