向量与坐标知识点总结

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，

向量的加法 结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。） 坐标系解向量加减法：

在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,

A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2） 简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。类似于物理的正交分解。

向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 OA-OB=BA.即“共同起点，指向被

向量的减法 减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 交换律：a+(-b)=a-b 1.3向量的数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

1.4 向量的线性关系与向量的分解

如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多个向量v1, v2, ..., vn称为线性相关的.

反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。

定比分点公式

定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三向量共面的充要条件是他们线性相关 空间任何四个向量总是线性相关 空间四个以上向量总是线性相关

1.5标架与坐标

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

空间向量的八个卦限的符号 x y z Ⅰ + + + Ⅱ - + + Ⅲ - - + Ⅳ + - + Ⅴ + + - Ⅵ - + - Ⅶ - - - Ⅷ + - -

空间的一个定点O，连同三个不共面的有序向量e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O；e1，e2，e3}。如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；e1，e2，e3}就叫做笛卡儿标架。两两互相垂直的标架叫做笛卡儿直角标架。在一般情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架。

标架一般是完全决定空间坐标系来用的，所以空间坐标系也可以用标架{O；e1，e2，e3}来表示，这时候点O就可以叫做坐标原点，而向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。

当空间取定标架{O；e1，e2，e3}后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系就叫做空间向量或点的一个坐标系。此时，向量或点关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由这标架所确定的坐标系的坐标。标架是空间坐标系的向量化。

笛卡尔坐标系(Cartesian)- 系统用 X、Y 和 Z 表示坐标值。 柱坐标系(Cylindrical)- 系统用半径、theta (q) 和 Z 表示坐标值。 球坐标系(Spherical)- 系统用半径、theta (q) 和 phi (f) 表示坐标值。

1.6向量在轴上的射影

设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为A’和B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记做射影向量lAB

射影lAB=|AB|COSθ，θ=∠（l，AB） 1.7两向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。 向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) （a+b)·c=a·c+b·c（分配律） 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)2≠a2·b2。 2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。 3．|a·b|与|a|·|b|不等价

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。 1.8两向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示 （外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量 A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B= a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=－b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb） a×（b+c）=a×b+a×c. （a+b）×c=a×c+b×c.

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！ 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 1.9三向量的混合积

定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，

向量的混合积 所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：

1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

例题 正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？ 设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK 1.10三向量的双重向量积 由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程： 二重向量叉乘化简公式及证明 向量积和数量积的关系式

给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：

证明：

由混合积的性质可知

（即把c×d看成一个新的向量e，利用性质(a×b)·e=a·(b×e)） 再根据二重向量积的性质可知

该公式可用于证明三维的柯西不等式

证明：令公式中a=c、b=d，则：

设

，那么：

即

等号成立的条件是

，即a、b共线（

或b=0）

第二章 轨迹与方程

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