竞赛问题中的数学归纳法

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第 8朝

高中数学教与学

竞赛问题巾硇数学归纳法5平(江苏省南菁中学， 2 1 4 4 0 0 )

一

些较为复杂的与正整数有关的竞赛

“、 b有两种情况，即 a、 b全不等于 P,或 n, b

命题，我们可考虑用数学归纳法来证明，证明的关键在于我们要注意充分利用和灵活运用“归纳假设” .下面两个典型的例子可给我们一些启示.

中仅有一个为 .若 a, b全不等于 P,不妨设 a: P十a , b: P+a i,贝 0l n— b l: l ai~ a j 1 .

a+ b: 2 al a 2…a^+ ( a i+a j ),

由①,②易得，l a— b l l ( a+b ) . 若 a, b仅有一个为 P,不妨设 a= P, b:P+a i,则I a— b l:,

例1 求证：对任意的 n∈ N,≥ 2,都存在个互不相等的正整数组成的集合 M, 使得对任意的 n∈ M, b∈ M, I a—b l都可以整除 a+ b .

a+b= 2" al a2… a k+ a j

证明 ( 1 )当 n=2时，存在 M={ 1, 2} .

:a j ( 2 al a 2…a j~ 1 a j+ l…a^+ 1 )

由a, 6∈ M,易知，I a—b} I ( a+6 ) . 当： 3时，存在 M:{ 4, 5, 6} .设 c}, b ∈M,则{ n, b}:{ 4, 5}或{ 5, 6}或{ 4, 6},易证，l a—b l l ( a+ b ) .

即

l a— b l 1 ( a+ b ) .

所以， =志+ 1时，原命题也成立 . 由( 1 )、 ( 2 )可知，原命题成立 .充分认识“归纳假设”,才能充分活用“归

这说明为 2或 3时，原命题成立 . ( 2 )假设=是 (忌≥ 2 )时原命题成立，即

纳假设”,拓宽思维空间，本文的证明中充分

存在忌个互不相等的正整数组成的集合 M={ a l,。 2, a 3,…, a^} ( a ∈ N )对任意的Ⅱ ,a j ( 1≤ i≤ k, 1≤ J≤ k ),总有 I a— n’ .’

认识了 M的性质 (任二元的差的绝对值整除它们的和 ),从而在构造 Mk+ 1时，也

注意其类似的结构，而不是在 M的基础上简单构造M+ 1 (添元 a + ),对应的元素不是绝对相同 .

( a。十 ( 2 J ) .

①

上面的证明也告诉我们，运用数学归纳法证明时，要突破“归纳假设”的形式，充分认识“归纳假设”的结构、意义与性质，这样才能使我们合理地找到“”: k+1时的命题”的证明思路 .

a+ a j: ( a— a j )+2 a,:一

( a— a j )+ 2Ⅱ ,

’ . .

I a i—a j I I 2 a j,I“,一a j}} 2 . a i, ②

I a—a j I I ( 2 a l a 2… ) . 当： k+1时，令’ . .

例2 已知。 0, a l, a 2,…, a∈ R且任意给定， ∈ N,求证

^

P= al a2 a3… a k

n .

a 1

a,

易知 P也为正整数，取 Mk+ 1={ P, P+a l, P+a 2,…, P+a^},贝 4 M+ 1中的 k+1个

( n 0+ n1 ) m ’( n 0+ nl十a 2 ) m 。+

数互不相等 .对任意的 a∈ M+ l, b∈

+ 1,

( 0+ l++…+ )<、去 n孑a a a2 a m+l-

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高中文学教与学分析这是一道很著名的竞赛问题，难度较大，单搏教授给出了一种证明方法，本文用数学归纳法给出证明 .ak

2 0 o 3年

( nI 1+n 2+ n+…+ n量 )

+

易知 .”= l时，左边“

( a I l+ a2+ a3+…+n量十 a量+ 1 )埘/\

上 Ⅲ a【 l

③

( 6 1 n+ 。1 )a 1

在③中用a 2

a l替换 a o,立得+

( a l l+ al+ a2 )<

“

+(" I+ I )口 nla I

a 3

Ⅱ【 a【 1+

I ) a 1] < 1.

( a 0+ aI+ a 2+ a 3 )口女+1

即 n= l时原不等式成立 . 现假设， I= k ( k≥ 1 )时原不等式成立，即“ I ( n 0+ a 川+ n’ +… ( n 0+ al+“ 2 )川¨

…

+a + 1 ) m+ l

④

④式两边同加上a 1

a 1,

( a 0+ a1 )a2

得—

+

<

+ n● 一l<一^,十 口 n _ O ,①

口1 )Ⅲ + ( n 0+ ( a 0+。l+a 2 )+ak+1

l -

于是只要证明= k+1时下面的式子成2 a I 一卅

(口 0+ al+ a2+…+ a量+ 1 )Ⅲ <十 (口 0+ a1 )’

a1 )

+

口 2

—

l一

⑤

( n 0+al + a2

这样，我们由归纳假设①推得不等式⑤ .‘( a 0+ a Ⅲ 1)a I

+———————

而可!量 _+ L——————一

+——

+

( a 0+ al+ n 2+…+ a士+ 1 )< .

<

口 +c I, J+ l口 口 l + 口+ C I m 0 - a l

②

如果忽视“归纳假设”①的结构与意义， 那么由①证明不等式②是难以奏效的 .事实上，仅从不等式①的形式上看，不等式②比不等式①更强 .能否证明不等式②成立？注n

口 1

[ a 0+( m+1 ) a I]a o

意到①中的 a 0, aI, a 2,…, a女可以用任意正实数替换 . 将①中分子分母中 a l, a 2,…, a女分别用 a 2, a 3,…, a女 . a + I替换 .便得=

+

口：『 ( a 0+ ma1 )+

<

口’

( a n+ a 2 )a4

+

a 3

ao a o

川( +

( al l+a 2+ a 3 )

+

m a 1

)、口≤ .

⑥

故由⑤及⑥便得不等式②成立 .

以上的证明，思路新颖，充分体现了活用归纳假设的思想 .

( a0+ a2+ a3+ a 4 )

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nj81.html