2011皖南八校高三摸底联考-数学（理）

皖南八校2011届高三摸底联考数 学 试 题（理）

皖南八校 2011届高三摸底联考

数 学 试 题（理）

考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。 3．请将各卷答案填在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．

在试题卷、草稿纸上答题无效。 ．．．．．．．．．．．．．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则

A．2?i

B．2?i

5i等于 zC．?2?i

D．?2?i

（ ）

2．若全集为实数集R，M??xlogx?2?，则 M等于

??13??（ ）

191 D．[,??)

93．若动点P到定点F（1，－1）的距离与到直线l:x?1?0的距离相等，则动点P的轨迹是

A．(??,0]?(,??)

B．(,??)

（ ） A．椭圆 C．抛物线

B．双曲线 D．直线

191C．(??,0]?[,??)

9

4．设向量a?(1,0,0），b?(,11,0)，则下列结论中正确的是 22B．a?b?D．a∥b

（ ）

A．a?b

2 2

C．a?b与b垂直

5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体 的直观图是 （ ）

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6．对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：

1 2 3 4 检测次数

检测数据ai（次/分钟）

39

40

42

42

5 43

6 45

7 46

8 47

上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图 （其中a是这8个数据的平均数），则输出的的值是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．56

7．设l,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的 是 （ ）

A．若l?m,m?a,则l?a B．若l?a,m?a,则l?m C．若l∥a，l∥m,则m∥a

D．若l∥a，m∥a，则l∥m

8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、610??这样 的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16??这样 的数称为“正方形数”。如图中可以发现，任何一个 大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角 形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为 ①13=3+10； ②25=9+16； ③36=15+21； ⑤64=28+36 A．③⑤ B．②④⑤ C．②③④

（ ）

④49=18+31； D．①②③⑤

x2y29．双曲线2?2?1(a?0,b?0)中，F为右焦点，A为左顶点，点B(0,b)且AB?BF，则此双曲线的

ab离心率为

（ ）

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A．2 B．3

C．

3?1 2D．

5?1 210．如图，圆O过正方体六条棱的中点Ai(i?1,2,3,4,5,6),此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧

AiAi?1︵

在圆O中所对的圆心角为

︵

?i(i?1,2,3,4,5)，弧A6A1所对的圆心角为

（ ）

?6，则

???5???6??sin1cos3?cos2sin4等于

4444

A．

6?2 46?2 4B．

2?6 46?2 4

C．

D．?第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中的横线上。 11．已知随机变量?服从正态分布N(2,?2),p(??3)?0.8413,则P(??1)= 。 12．(x?19)展开式中的常数项为 。（用数字作答） x13．在平面几何中，直线l:Ax?By?C?0（A，B不同时为0）的一个法向量可以写为n?(A,B)，同

时平面内任意一点P(x0,y0)到直线l的距离为d?Ax0?By0?CA?B22；类似的，假设空间中一个平面的

方程写为a:Ax?By?Cz?D?0(A,B,C不同时为0）则它的一个法向量n= ，空间任意一点P(x0,y0,z0)到它的距离d= 。

?y?131?14．已知（x,y）满足?x?y?0，求x?y的最大值是 。

22?x?y?0?15．已知抛物线y?4x的焦点为F，过抛物线在第一象限部分上一点P的切线为l，过P点作平行于x轴

的直线m，过焦点F作平行于l的直线交m于M，若PM?4，则点P的坐标为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 16．（本小题满分12分）

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设函数f(x)?sin(x??6)?2sin2x,x?[0,?] 2 （Ⅰ）求f(x)的值域；

（Ⅱ）记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)?1,b?1,c?3,求a的值。 17．（本小题满分12分）

为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元。活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大。 18．（本小题满分13分）

已

知

圆

C:(x?4)2?(y?m)2?16(m?N?),直线4x?3y?16?0过椭圆

32x2y2E:2?2?1(a?b?0)的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上。

5ab （Ⅰ）求m的值及椭圆E的方程；

（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AC?AQ的取值范围。

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19．（本小题满分13分）

如图，四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB=2，CE=1，G为AC与

BD交点，F为EG中点，

（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—BE—D的大小。 20．（本小题满分12分）

定义：对于函数f(x),x?M?R,若f(x)?f?(x)对定义域内的x恒成立，则称函数f(x)为?函数。

x （Ⅰ）证明：函数f(x)?e1nx为?函数。

（Ⅱ）对于定义域为(0,??)的?函数f(x)，求证：对于定义域内的任意正数x1,x2,?,xn，均在

f(1n(x1?x2???xn))?f(1nx1)?f(1nx2).???f(1nxn)

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21．（本小题满分13分）

已知数列?an?满足

2an1。 an?1(n?N?),且a1?an?21006?1? （Ⅰ）求证：数列??是等差数列，并求通项an；

?an? （Ⅱ）若bn?2?2010an1n，且cn?bn?()(n?N?)，求和Tn?c1?c2???cn；

2an5n的大小，并予以证明。 2n?1 （Ⅲ）比较Tn与

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参考答案

1—5 AADCD 6—10 BBADB 11．0.1587 12．—84 13．n?(A,B,C),d?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222（第一空格2分，第二空格3分）

14．2 15．(3,23) 提示：

1．A 因为由条件知z??1?2i,故5i5i(?1?2i)?5i?10???2?i. z(?1?2i)(?1?2i)51这一元素， 92．A 法一：验证排除：集合M中没有0这一元素，有

故CRM?(??,0]?(,??)；

19法二：直接求解：由log1x?2得log1x?log1(),即0?x?3331321, 9所以CRM?(??,0]?(,??).

3．D 因为定点F（1，—1）在直线l:x?1?0上，所以轨迹为过F（1，—1）与直线l垂直的一条直线。 4．C a?b,所以(a?b)b?0.

5．D 由俯视图可知是B中和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错。 6．B 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数

1939?40?42?43?45?46?47?43,8

1故其方差[(39?43)2?(40?43)2?(42?43)2?(42?43)2?(43?43)3?8a?(45?43)2?(46?43)2?(47?43)2]?7，故输出的s的值为7。

7．B 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面中；D中两条

直线可能平行、相交或异面。

8．A 这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，?，且正方形数是这串数中相邻两数

之和，很容易看到：恰有15+21=36，28+36=64，只有③⑤是对的。 9．D ?AB?BF,?b?ac,即c?a?ac,故e?e?1?0且e?1,所以e?10．B 连接正方体六条棱的中点，得到一个正六边形，所以可知

22225?1. 2a1?a2???a5?a6?60?,

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故sina3?a5???6??cos2sin44444

2?6?sin(?15?)?.4?1cos11．0.1587

?~N(2,?2),所以P(2???3)?P(1???2),P(??2)?P(??2),

. 故P(??1)?P(??3)?1?P(??3)?1?0.8413?0.158712．—84 法一：利用通项公式整理Tr?1?C(x)r99?r1(?)r?C9r(?1)rxx9?3r2,

3令9?3r?0得r?3,故常数项为C9(?1)3??84；

法二：按比例分配：二项式中前后两项次数之比为1：2，所以把9分成三份，前一项两份，后一项一份，易得结果。 13．n?(A,B,C),d?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222

?直线l:Ax?By?C?0的法向量横纵坐标分别为x，y的系数，∴类似的可以联想

?:Ax?By?Cz?D?0的法向量是空间向量横纵竖分别坐标应是x，y，z的系数，故n(A,B,C)（也

可填上与n?(A,B,C)共线的任意向量）。同样距离公式应猜想为d?也可利用空间向量的投影知识推理求解（略）。 14．2 由线性规划知识可知当x?1,y?1时,(x?15．(3,23) 设P(x0,y0),y?2x,y??12|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222。本题

321y)max?2. 21x,k?y?|x?x0?1x0,

l方程为:y?2x0?121x0(x?x0),

(?x0,0), 与x轴交点A的坐标为所以|AF|?|PM|?x0?1,故P(3,23).16．解：（I）f(x)?sin(x??6)?2sin2x31?sinx?cosx?1?cosx 222 ?31?sinx?cosx?1?sinx(?)?1 ??????3分 226第 8 页 共 14 页

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?x?[0,?],?x??6?[??5?6,1] ?f(x)?[,2] ??????6分 62)?0,故B? （II）由f(B)?1,得sin(B??6?6 ??????7分

解法一：由余弦定理b2?a2?c2?2acosB, 得a2?2a?2?0,解得a?1或2 ??????12分

解法二：由正弦定理 当C?bc3?2? ?,得sinC?,C?或sinBsinC233?322???时,A?,又B?,从而a?b?1 ??????11分 当C?366 故a的值为1或2 ??????12分 17．解：随机猜对问题A的概率P1?,A??,从而a?b2?c2?2 ??????9分

11,随机猜对问题B的概率P2?.????2分 45 回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

（1）先回答问题A，再回答问题B。 参与者获奖金额?可取0，m,m?n，则

3141,P(??m)?P1(1?P2)???,4455111 P(??m?n)?P P???.124520311mmE??0??m??(m?n)???.???6分4520420P(??0)?1?P1? （2）先回答问题B，再回答问题A，

参与者获奖金额?可取0，n,m?n,则

4133,P(??n)?P2(1?P1)???,55420111P(??m?n)?P2P1???.5420

431mnE??0??n??(m?n)???.52020205mnmn4m?3nE??E??(?)?(?)?.?????10分42020520P(??0)?1?P2?于是，当当

m3?时,E??E?，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； n4m3?时,E??E?，两种顺序获奖的期望值相等； n4第 9 页 共 14 页

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m3?时,E??E?，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大。??12分 n432, 18．解：（I）因为直线4x?3y?16?0交圆C所得的弦长为5当

所以圆心C(4,m)到直线4x?3y?16?0的距离等于4?( 即

216212)?, 55|4?4?3?m?16|12?

55?m?4,或m??4(舍去)??????3分

又因为直线4x?3y?16?0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F2(4,0).

则左焦点F1的坐标为（-4，0），因为椭圆E过A点， 所以|AF1|?|AF2|?2a|

所以2a?52?2?62,a?32,a2?18,b2?2

x2y2??1.????6分 故椭圆E的方程为：

182???? （Ⅱ）法一：AC?(1,3),设Q(x,y)

????则AQ?(x?3,y?1)

?x2y2?1??设x?3y?n，则由?18 2?x?3y?n?消x得18y?6ny?n?18?0????9分 由于直线x?3y?n与椭圆E有公共点， 所以??(6n)?4?18?(n?18)?0

2222

????????所以?6?n?6，故AC?AQ?x?3y?6的取值范围为[-12，0]??13分 ????法二：AC?(1,3)，设Q(x,y)

????????????则AQ?(x?3,y?1),AC?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3y?6

x2y2?1， ?x?(3y)?2|x|?|3y|，而?18222

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