大学物理,课后习题,答案

第十八章 波 动

1、一横波沿绳子传播，其波的表达式为 y?0.05cos(100? t-2? x) (SI) 求: (1) 波的振幅、波速、频率和波长。

(2) 绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。 (3) 在x1?0.2m处和x2?0.7m处二质点振动的位相差。 解：（1）y?0.05cos(100? t?2? x)?0.05cos100?( t? 0.02x) ?A?0.05m,? ?100? ?2? ????100?/2??50(HZ) u?50(m?s), (2) v?a??2Y? t2?Y?t?1? ?u??50?1(m)50

??5??15.7(m?s?1) ??0.05?100?sin(100? t?2? ), vmax?0.05?100 22?)?500??4934.8 (m?s?2) ∴ amax?0.05?(100?(3)

-12、一平面简谐波沿ｘ轴正向传播，波的振幅A?10cm，波的圆频率? ?7? rad?s，当t?1.0 s时，x?10cm处的a质点正通过其平衡位置向ｙ轴负方向运动，而x?20cm处的ｂ质点正通过y?5cm点向ｙ轴正方向运动。设该波波长

?? ?2? x2?x1?2?0.7?0.2??1

??0.05?(100?)2cos(100? t?2? x)? ?10cm，求该平面波的表达式。

x解：设波动方程为：Y?0.1cos(7? t??????2?)

t=1(s)时， Ya?0.1cos(7? ????0.1?2?)?0, Yb?0.1cos(7? ????0.2?2?)?0.05

??va?0 ? .17? ????0??2????2k? ① 2v?0 ， ? .2∵ b7? ????0??2?????2k? ② 3且? ?0.1m，故a,b两质点的位相差?2?

∵

17????3? ①-②得：5λ=1.2， 即 λ=0.24（m） 代入①得：

所以 波动方程为：Y?0.1cos(7? t?25? x?1?) 333、图示一平面简谐波在t?0时刻的波形图，求： （1）该波的波动方程； （2）Ｐ处质点的振动方程。

解：由图知 λ=0.4m,A=0.04m,u=0.08m/s

?1u? ?2? ??2? ??2?00..08?0.4? (s) 4原点的振动方程为：Y??0.04cos(0.4? t?? 2)?波动方程为：Y?0.04cos[0.4?( t?0.x 08)?2] Y?0.04cos(0.4? t?5? x??2)

Y u = 0.08m/s P 0.20 0 -0.04 x p点的振动方程：

Yp?0.04cos(0.4? t?5? ?0.2??2)? ?0.04cos(0.4? t?32 )?0.04cos(0.4? t??2)4、一列平面简谐波在媒质中以波速u?5ms沿ｘ轴正向传播，原点Ｏ处质元的振

1

?1动曲线如图所示。

(1) 画出x?25m处质元的振动曲线； (2) 画出t?3 s时的波形曲线。

?1??24??(s) 2?原点的振动方程为：Yo?0.02cos(? 2 t?2)x?波动方程为：Y?0.02cos[? 2( t?5)?2]解：由图得 T?4(s)?? ?2?T25??5??t?? Y25?0.02cos?2[( t?5)?2]?0.02cos(2 t?2??2)?0.02cos2???x??x Y(x,3)?0.02cos[?? ?10x) ??0.02cos102( 3?5)?2]?0.02cos( y (cm) y (cm) y (cm) 2 2 2 1020 2 2 4 4 o x (m) o o t (s) x =25cm处质点振动曲线 t =3(s)时的波形曲线

5、某质点作简谐振动，周期为2ｓ，振幅为0.06ｍ，开始计时（ｔ＝0），质点恰好处在负向最大位移处，求： （１）该质点的振动方程；

（２）此振动以速度ｕ＝2 ｍ／ｓ沿ｘ轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；

（３）该波的波长。 解：（1）振动方程：

?t?? )?0.06cos(2?t?? )?0.06cos(x?Acos(2? t??) （m） T2t (s) （2）波动方程为：

xxY?0.06cos[? ( t?u)??]?0.06cos[? ( t?2)??] （m）

（3）波长 ??uT?2?2?4（m）

6、频率为100 Ｈｚ的波，其波速为250 ｍ／ｓ。在同一条波线上，相距为0.5 ｍ的两点的位相差为________________。 解：由u?? ? 得

? ?250?2.5（m）

?100?x0.52?? ??2? ??2? ??

?2.55?uP

7、图中Ａ、Ｂ是两个相干的点波源，它们的振动位相差为 ?（反相）。Ａ、Ｂ相距30cm ，观察点Ｐ和Ｂ点相距 40ｃｍ，且PB⊥AB。若发自Ａ、Ｂ的两波在Ｐ点处最大限度地互相削弱，求波长的最大可能值。

解：由题意，设?B??A??，两列波传到P点的位相差为：

2

A B ?? ?(?B? 2??rB

?)?(?A?2??rA??B??A????rB?rA?) ?2??当?? ?(2k?1)? 时，干涉相消

.1即 ??0?2??(2k?1)? ? ? ??当 k = 1时， ? ? ? max?0.1（m）

0.22k0.4?0.3? ?2?

8、平面简谐波沿ｘ轴正方向传播，振幅为２ｃｍ，频率为 50 Ｈｚ，波速为 200ｍ／ｓ。在ｔ＝０时，ｘ＝０处的质点正在平衡位置向ｙ轴正方向运动，求ｘ＝４ｍ处媒质质点振动的表达式及该点在ｔ＝２ｓ时的振动速度。 解：依题意，原点的振动方程为 Y??0.02cos(100? t??) 2由初始条件：t?0时，x?0，Y?0，v?知初相位为：?? 2x故波动方程为：Y?0.02cos[ 100? (t?200)??2]4 Y4?0.02cos[ 100? (t?200)??100? t??2]?0.02cos(2)?Y? t?0

Yxv????0.02?100?sin[100? (t?200)??] ? t2-14v(4,2)??2? sin[100? (2?200)??]?2? (m?s) 2

9、一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在ｔ时刻波的能量是10Ｊ，求在t?T（T为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能？ 解：t + T时刻的能量与t时刻的能量相同。即 10J，

而波的动能与势能同步、相等，所以，t + T时刻的动能为5J。

10、在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达式为

2? x?，管中波的平均能量密度是w，求通过截面积S的平均能?y?Acos?? t-????流？

x解：由波动方程Y?Acos[? (t?u )?? ] 可知 u???2?平均能流：P?w su?w s? ? 2?

?1?2211、一平面简谐波，频率为300Hz，波速为340ms，在截面面积为3.00?10m?2的管内空气中传播，若在10ｓ内通过截面的能量为2.7?10J，求： （1）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。

解：（1）通过截面的平均能流为 P?2.7?10?210?2.7?10?3(J?s?1)

3

（2）波的平均能流密度：I?（3）波的平均能量密度：w?Ps?2.7?10?33.0?10?2?2?9?10?2(J?s?1?m?2)

Iu?4?310?9??2.6?10(J?m) 340

12、两列余弦波沿ox轴传播，波动方程分别为：

???y1?0.06cos?1 (SI)2? 0.02x?8.0t 试确定轴上合振幅为0.06ｍ的那些点的位置。

解：原方程可化为：

0.014ox???y2?0.06cos?1 (SI)2? 0.02x?8.0t

y2?0.06cos?4? ?t?x?? (SI)叠加形成驻波，方程为：Y?y1?y2?0.12cos0.01? xcos4? t

依题意有：

0.12cos0.01? x?0.06? cos0.01? x?1 0.01? x?k? ??2 ?301y1?0.06cos?4? ?t?0.4x?? (SI)

x?100k?100k?(0,?1,?2,??) 3

13、在弦线上有一简谐波，其表达式为:

x y1?2.0?10?2cos100 (SI) ?t?20?43?????为了在此弦线上形成驻波，并且在x = 0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，求其表达式？

x解：设另一行波方程为 y2?2.0?10?2cos100??? ??t?20??其驻波方程为 ：

?4??100? t?(4Y?y1?y2?4?10?2cos?5? x?123???cos[3???)/2]4， ? 1?2， ? 2??4 cos[12(3? ??)]??13?3?4因为 x = 0处为波腹，所以 cos[1 2(3? ??)]?1??x或者 y2?2.0?10?2cos???4? 100??t?203?x所以 y2?2.0?10?2cos100 ??2??t?203?

14、设平面简谐波沿ｘ轴传播时在x?0处发生反射，反射波的表达式为：

??x?1?y2?Acos?2? ?? t-????

??2??? 已知反射点为一自由端，求由入射波和反射波形成的驻波的波节位置的坐标？

解：原点处的振动方程 y??Acos(2?? t ?? 2)因为反射点为一自由端，故为波腹，不存在半波损失。

x所以，入射波方程为y1?Acos[2?(? t ?? )??2]x驻波方程为 Y?y1?y2?2Acos(2?? )cos(2?? t ??2)x波节位置： cos(2??)?0

4

2??x?k? ??2 ? x?2k?14? k?(0,?1,?2,??）

?2

15、两列波在一根很长的弦线上传播，其方程式为：

y1?6.0?10?2cosy2?6.0?10?2cos?x?40t? （SI） ?x?40t? (SI)

?2 求：合成波的方程式以及在x?0至x?10.0m内波节和波腹的位置？

解：合成波方程：

Y?y1?y2?12?10?2cos?? t 2xcos20x?0， 令 cos?2 得x?2k?1

2、3、5、7、9 (m) 波节位置： x?1??2x??2k?1??x?1， 令 cos?2??2x?k? 得x?2k

2、4、6、8、10 (m) 波腹位置： x?0、

16、一驻波中相邻两波节的距离为d?5.00cm，质元的振动频率为

??1.00?103Hz，求形成该驻波的两个相干行波的传播速度ｕ和波长?。

解： 设驻波方程为

x Y?2Acos2??cos(2? ? t??)

?5 ? ? ? 10cm?0.1m

23 u?? ? ? ?0.1?1?10?10(0m?s?1)

依题意知

?

5

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