列一元二次方程解应用题的一般步骤

一元二次方程解应用题的一般步骤

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：

一、数字问题

解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。

等量关系：新的两位数×原来的两位数

解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736

解得：x1=2，x2=3

即两位数为23或32

二、几何问题

这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。

例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。

通常用勾股定理列出方程，求解。

解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得 n2+（n+2）2=（n+4）2

解得 ：n=6

∴三边长为6、8、10，面积为24。

三、增长率问题

此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式

a（1+x）n=b表示 这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。

例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求

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该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？

解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得

2（1+x）+2（1+x）2=12

解得：x1=1 x2=4（舍去）

即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。

四、估测型问题

这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。

例4：读诗词解题[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]

大江东去浪淘尽，千古风流人物，

而立之年督东吴，英年早逝两位数。

十位恪小个位三，个位平方与寿符。

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。

解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。依题意得

x2=10（x-3）+x

x2-11x+30=0

由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。

当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。

当x=7时，年龄为47，不符合题意。

故周瑜去世时年龄为36岁。

五、买卖问题

这类问题要考虑购买物品的数量与价格

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例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个窖为15m3的无盖长方体箱子，且此箱子底面长比多2m，现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小王购回这块矩形铁皮花了多少钱？

本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。

解：设这种无盖箱子底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意得

x（x+1）×1=15

解得：x1=3，x2=-5（舍去）

面积为：（5+2）（3+2）=35（m2）

做一个这样的箱子要花35×20==700元钱。

六、方案设计问题

这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。

例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

（1）如果花圃的面积为42m2，求花圃的宽AB的长。

（2）花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃的宽AB的长，若不能，请说明理由。

（3）花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，说明理由。

解：设宽AB=xm，则BC=（24-3x）m，依题意得

（1）x（24-3x）=42。解得x1=4+2 ,x2=4-2

当x=4-2时，BC=24-3（4-2）=12+3 2（不合题意。舍去）

∴AB=（4+2）m

（2）x（24-3x）=45，解得x1=5，x2=3

当x=3时，BC=24-3×3=15＞10（舍去）

∴AB=5m

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（3）x（24-3x）=48，解得x1=x2=4

此时BC=24-3x=12＞10，舍去，故不能围成

总之，列一元二次方程应用题作为初中数学的考点，要求学生能熟练掌握以上方法仅供交流。

例1 b比a增加了20%，则b是a的多少？ a又是b的多少呢？

解析：可根据方程的思想列式得 a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。

A/b＝1/1.2＝5/6，所以a 是b的5/6。

例2 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?

A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004年中央B类真题） 解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，选择B。 例3 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?

A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元（2003年中央A类真题） 解析：方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。

特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。

例4 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?

A．15 B．25 C．35 D．40 （2003年中央A类真题） 解析：这是一道涉及容斥关系（本书后面会有专题讲解）的比例问题。

根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件；

大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件；

此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力） 大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件；

小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件；

所以，答案为C。

例5 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%；低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?

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A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003年中央A类真题） 解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。

奖金应为 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75

所以，答案为B。

例5 某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?

A．7% B．8% C．10.3% D．115% （2003年中央A类真题） 解析：根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到（300+75）×2=750人，学生人数增加的比列则为 （750-700）÷700≈7.1%

所以，选择A。

例6 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P％纳税，年广告费超出年销售收入2％的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P％为

A．40％ B．25％ C．12％ D．10％ （2004年江苏真题） 解析：选用方程法。根据题意列式如下：

（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120

即 480×P％=120

P％=25%

所以，答案为B。

例7 甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出 放人乙盒，再从乙盒取出 放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗?

A．40颗 B．48颗

C．52颗 D．60颗 （2004年浙江真题） 『答案』 B

『解析』 此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。

例 8 甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?

A．30个 B．35个 C．40个 D．45个 （2002年A类真题） 解析：选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：

（1+1.3X）×8=736

X=40

所以，选择C。

例 9 已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001年中央真题）

解析：显然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1，

所以，甲＞乙＞丙＞丁，选择A。

例 10 某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：

A．18000元 B．20000元 C．25000元 D．30000元 （2001年中央真题）

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解析：设总预算为X，则可列议程为，

25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000

所以，答案为B。

例 11 一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：

A．490元 B．500元 C．520元 D．560元 （2001年中央真题） 解析：连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：

a =c a表示涨（降）价前的价格；b表示涨（降）价的百分比；c表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。

如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程：

X =405，解得X=500

所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。

例 12 某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：

A．降低了5% B．提高了5% C．提高了20% D．提高了25%（2001年中央真题） 解析：此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。

所以，答案为D。

例 13 某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是

A．4950元 B．4990元 C．5000元 D．5010元 （2000年中央真题） 解析，采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为

X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。

所以，正确答案为C。

注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。

例 14 某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?

A．51% B．43% C．40% D．34% （2000年中央真题） 解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为：

70×（1-70%）＋（350－70）×（1-X）=180

解得X≈43%

所以，正确答案为B。

例 15 某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1 日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20％，则该储户实际提取本金合计为

A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元

解析，如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元

所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。

1/1.2=5/6。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少？（30%）像这样的反复变化的比例关系并无难点，

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关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×（1－80%）＝0.3a元。

例1 甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是（ ）。（2002年B类真题）

A．3：5：4 B．4：5：6 C．2：3：4 D．3：4：5

解析：我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8＝96，则X＝24，尽而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96－16－8＝72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。

例 3 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20％，而每台的价格比上一年度下降了20％。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少 ( ) ?

A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元

解析：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。

和、差倍问题

核心要点提示：

和、差倍问题是已知大小两个数的和（或差）与它们的倍数关系，求大小两个数的值。 （和+差）÷2=较大数

（和－差）÷2=较小数

较大数一差＝较小数

这一题型应作为一个基本常识掌握，以加快解题的速度。

例1：甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本?

解析：设乙班的图书本数为l份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍。还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数。用下图表示它们的关系：

解：乙班：160÷（3十1）＝40（本）

甲班：40×3＝120（本）

或160—40＝120（本）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2 549是甲、乙、丙、丁4个数的和。如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等。求4个数各是多少?

解析 采用方程法，设相等的数为 ，则甲为 —2，乙为 +2，丙为 ÷2，丁为2 ，则可列方程： —2+ +2+ ÷2+2 =549， =122。

那么甲为122—2=120，乙为122+2=124，丙为122÷2=61，丁为2×122=244。

例3 河东小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，现知道五、六年级共有25幅画，求其它年级的画共有多少幅?

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解法1 由“其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的”可知五年级比六年级多16-15=1（幅）画，又知“五、六年级共有25幅画”，根据和差问题的数量关系可知五年级有（25+1）÷2=13（幅）画，因此，其它年级的画共有16-13=3（幅）。

依据题意做如下图示：

六年级

五年级

四年级

三年级

二年级

一年级

16幅画不是六年级的，即黑色部分的人数总和16人

六年级

五年级

四年级

三年级

二年级

一年级

15幅画不是五年级的，即黑色部分的人数总和15人

黑色部分一做差即可求出五年级比六年级多1人，

解法2 设六年级有 幅画，那么五年级有 +（16－15），则可列方程：

+（16－15）+ =25，

=12

即六年级有12幅画，五年级有 +（16－15）=13幅画。

例4 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同每个男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等等，最后一个到会的女生和7个男生握过手，那么这50名学生中有几名男生?

解法1 从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人数与女生人数的差，即可按和差问题的数量关系求出男生有多少人。

为了使题目中的条件更容易分析，我们不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。也就是说：最后一个到会的女生同7个男生握过手；倒数第二个到会的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9个男生握过手，如此等等，第一个到会（即倒数最后一个）的女生同全部男生握过手。由此，立即可知，男生人数比女生的人数多6个人。因此，男生人数为 （50+6）÷2=28（人）

解法2 设女生人数为 人，则男生人数为（6+ ）人，则可列方程：

+6+ =50，

=22（人）

例1 已知抛物线y=5x2+(m-1)x+m与x轴的两个交点在y轴的同侧，它们的距离的平方等于

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49/25，则m的值为多少？

例2 已知抛物线y=x2-3x+k与x轴相交于两点(a,0)、(b,0)，a>b，且2a+3b=5，则k等于多少？

主要是运用韦达定理根与系数关系

1、解：两个交点在y轴同侧，也就是方程5x^2+(m-1)x+m=0的两根同号

那么 x1<0且x2<0 或者 x1>0且x2>0

因为 x1+x2=-(m-1)/5，x1*x2=m/5>0

所以 (x1+x2)^2=x1^2+x2^2+2x1*x2=(m-1)^2/25

所以 x1^2+x2^2=(m-1)^2/25-2x1*x2=(m^2-12m+1)/25

所以 (x1-x2)^2=x1^2+x2^2-2x1*x2=(m^2-22m+1)/25

因为 |x1-x2|^2=(x1-x2)^2=49/25

所以 m^2-22m+1=49

所以 m=24, m=-2(舍去)

验算：

原方程是y=5x^2+23x+24，两交点是(-3, 0)和(-8/5, 0)

m=-2时，两交点是(1, 0)和(-2/5, 0)，在y轴两侧

2、解: 与x轴交于(a, 0)、(b, 0)

那么a、b是方程x^2-3x+k=0的两根

于是有a+b=3, ab=k

因为 2a+3b=5

所以 a=4, b=-1

所以 k=-4

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