求解高维非线性方程的一种简便方法

试探函数方法,KP方程,(2+1)维BBM方程,(3+1)维ZK方程,解析解

文章编号:1001Ο4373(2008)03Ο0138Ο04

求解高维非线性方程的一种简便方法

郭　鹏1,　张　磊1,　石玉仁2,　洪学仁2

3

(1.兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州　730070;2.西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州　730070)

摘　要:将试探函数方法扩展应用于求解高维非线性偏微分方程.通过引入变换和选准试探函数,把难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了方程的解析解.

关键词:试探函数方法;KP方程;(2+1)维BBM方程;(3+1)维ZK方程;解析解中图分类号:O175.24　　　　　文献标识码:A

对非线性偏微分方程的求解,长期以来是物理学家和数学家研究的重要课题.三十多年来,数学物理研究领域内一大成就就是提出了许多求解非线性偏微分方程的精巧数学方法,如逆散射法、B cklund变换法等.近年来,很多学者又提出了许多新的方法,如齐次平衡法[1,2]、双曲函数法[3]、Jacobi椭圆函数展开法[4,5]、同伦分析法[6]等.然而,对非线性偏微分方程的求解仍是很困难的,并且没有统一而普适的方法,以上一些方法也只能具体应用于某个或某些非线性方程的求解.因此,继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分重要的工作.在文献[7～10]中提出了一种简洁的求解非线性偏微分方程的新方法,即试探函数方法,并用该方法成功求解了几类非线性方程.

本文将试探函数方法扩展应用于求解高维非线性偏微分方程.通过引入变换和选准试探函数,将难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而求得方程的指数函数解、孤波解与三角函数周期波解.

(2+1)维BBM方应用该方法,本文得到KP方程、

程以及(3+1)维ZK方程的解析解.结果表明这种方法是简洁而有效的.

引进如下坐标伸展变换

ξ=k1x+k2y+k3z-ct,　τ=t,(2)其中,k1,k2,k3,c均为常数.将式(2)代入式(1),此时式(1)形式上变为(1+1)维非线性偏微分方程

(3)τ,uξ,uττ,uξξ,uξτ)=0.N(u,u

为了求解式(3),再引入变换

ξ-ωτ2,　P=(b+f2)n,　f=ek

,u=u0+2

ξ9

(4)

其中,k为波数,ω为波速;u0,b,n为待定常数;P和f为试探函数.将式(4)代入式(3),就可将非线性偏微分方程化为非线性代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,最后可方便的求得其指数函数解、孤波解与三角函数周期波解.下面应用该方法来求解几个非常重要而有实际意义的高维非线性偏微分方程.

2　高维非线性偏微分方程的求解

2.1　KP方程

考虑KP方程

2

(5)uxt+αux+βuuxx+γuxxxx+δuyy=0.

取式(2)变换中k3=0代入式(5)可得

22224

δk1uξτ+αk1uξ+βk1uuξξ+(k2-ck1)uξξ+γk1uξξξξ=0.

(6)

1　方法简介

考虑高维非线性偏微分方程

)=0.N(u,ut,ux,uy,uz,utt,uxx…

(1)

再由式(4)可得

22

u=u0+

(b+f2)2

,(7)

3收稿日期:2007Ο11Ο09

基多项目:国家自然科学基金资金资助项目(10575082)

),男,陕西富平人,硕士.作者简介:郭　鹏(1978Ο

转载

试探函数方法,KP方程,(2+1)维BBM方程,(3+1)维ZK方程,解析解

第3期郭　鹏等:求解高维非线性方程的一种简便方法931

uτ=222(b+f2)3

,(8)uξ=322(b+f2)3

,

(9)

uξξ=42224(b+f2

)

4

,

(10)2uξτ=3224(b+f2)4

,

(11)

uξξξ=

5232246

(b+f2)5

(12)

u

ξξξξ=624322468(b+f2)

6

(13)

将式(7～13)代入式(6)可得代数方程

-k1ωb4+(δk22-ck1)kb4+βk21ku0b4

+4γk41k3×b4+[2k1ωb3-2(δk22-ck1)kb3+

4αk21nb3k3+4βk21k3nb3-2βk21ku0b3-104γk41k3b3]×

f

2

+[6k1ωb

2

-

6(δk2

2-ck1)kb

2-8αk21nb2k3-16βk2

1

k3

nb2

-6βk21

ku0b2

+264γk41

k3

b2

]f4

+[2k1ωb-2(δk22-ck1)kb+4αk21nbk3+4βk21k3nb-2βk2

1ku0b-104γk41k3b]f6+[-k1ω+(δk22-ck1)k+βk2

1ku0+4γk41k3]f8=0.

(14)

要使式(14)对任意都成立,必有

-k1ω+(δk22-ck1)k+βk21ku0+4γk41k3

=0,

(15)

k1ω-(δk22-ck1)k+2(α+β)k21nk3-βk2

1ku0-52γk41k3

=0,

(16)3k1ω-3(δk22-ck1)k-4(α+2β)k21nk3

-3βk21k×

u0+132γk41k3

=0,(17)

且b为任意常数.当α=β时,联立式(15～17)可解得

2u0=

43

βk21k

2

(18)

n=

5

α+7β将式(18)代入式(7)可得KP方程的指数函数解

u=243

βk2

+1k222(kξ-ωτ)

5(5

α+7β)(b+e2(ξk-ωτ))2

(19)

对式(19)作变换可得KP方程的孤波解与三角函数周期波解为

当b=1时,

u1=2

43βk2

+1k

222

5

α+7β=

ω(δ2

4

3

βk2

+1k

2γ

2

(5α+7β)[cosh2(kξ-ωτ)+1]

,

(20)

当b=-1时,

24u2=3

βk2

-1k

222

5α+7β=

2

43βk2-1k2γ2(5α+7β)[cosh2(kξ-ωτ)-1]

,

(21)

当b=1,k=ik′,ω=ωi′时,

u(δ24′33=ω

βk2

-1k′

222

5

α+7β,

(22)

当b=-1,k=ik′,ω=ωi′时,

u24′34=βk2

-1k′

22

25

α+7β,

(23)

2.2　(2+1)维BBM方程

(2+1)维BBM方程的形式为

ut+αux+βuy+γuux+δuuy-uxxt-yyyt=0

(24)

取式(2)变换中k3=0代入式(24)可得

uτ+(αk1+βk2-c)uξ+(γk1+δk2)uuξ-(k21+k22)u

ξξτ+c(k21+k2

2)uξξξ=0(25)

将式(4)代入式(25),同样可以得到一个代数方程,

要使方程成立必须满足

ω-k(αk1+βk2-c)-ku0(γk1+δk2)-4k2ω(k21+k22)-4ck3(k21+k2

2)=0,

(26)

ω-k(αk1+βk2-c)-k(u0+4nk2

)(γk1+k2)+44k2ω(k21+k22)+44ck3(k21+k2

2)=0.(27)

且b为任意常数.联立式(26～27)可解得

22uω(αβ)0=

2

k(γk1+δk2)

n=

22

k(γk1+δk2)

(28)

将式(28)代入式(7)可得(2+1)维BBM方程的指数函数解

δ

试探函数方法,KP方程,(2+1)维BBM方程,(3+1)维ZK方程,解析解

041兰州交通u=

ω(α1β2)222

k(γk1+δk2)

+

2

222(ξk

-ωτ)k(γk(29)

1+δk2)(b+e

2(ξk

-ωτ))2对(29)式作变换可得(2+1)维BBM方程的孤波解与三角函数周期波解为

当b=1时,

u1=

ω(αβ)222

k(γk1+δk2)

+

2

222

k(γk1+δk2)

,(30)

当b=-1时,

u2=

ω(αβ)222

k(γk1+δk2)-2222

k(γk(1+δk2)

,31)

当b=1,k=ik′,ω=ωi′时,

u3=

ω-k(αk1+βk2-c)-4k222

k′(γk1+δk2)-222

2k′(γk1+δk2)

,(32)

当b=-1,k=ik′,ω=ωi′时,

u4=

ω(αβ)222

k′(γk1+δk2)

-2222k′(γk(1+δk2)

,33)

2.3　(3+1)维ZK方程

(3+1)维ZK方程的形式为ut+αuux+βuxxx+γuxyy+δuxzz=0

(34)

将式(2)代入式(34)可得

uτ-cuξ+αk1uuξ+(βk31+γk1k22+δk1k23)uξξξ=0.

(35)

再将式(4)代入式(35),同样可以得到一个代数方程,要使方程成立必须满足

ω+ck-αk1ku0-4k3

(β

k31+γk1k22+δk1k23)=0,(36)

ω+ck-4αk1k3n-αk1ku0+44k3

(βk31+γk1k22+k1k2

3)=0,

(37)

且b为任意常数.联立式(36～37)可解得

大学学报第27卷

uω30=

322

αk1k

,2

n=

22α

(38)

将式(38)代入式(7)式同样能够得到(3+1)维ZK

方程的指数函数解

uω30=3

22αk1k

+

2(2222

kξ-ωτ)

α(b+e2(ξk

-ωτ))2

.(39)

对式(39)作变换就能够得到(3+1)维ZK方程的4组孤波解与三角函数周期波解为

当b=1时,

uω+ck-4k3322

1=αk1k

+

22222

α

,

(40)当b=-1时,

uω32=322

αk1k

-22222

α

,

(41)当b=-1,k=ik′,ω=ωi′时,

3322

uω3=αk1k′-22222

α

,(42)

当b=-1,k=ik′,ω=ωi′时,

uω3322

4=αk1k′

-2222

2α

,(43)

3　结论

本文将试探函数方法扩展应用于求解高维非线

性偏微分方程,得到了方程的指数函数解、孤波解与三角函数周期波解.与用其他方法所得的结果[11～13]相比较结果一致,但使用这种方法更为简洁.对其它的高维非线性偏微分方程也可以尝试用本文方法进行求解.同时,由于这种方法如果选取不同的试探函数应该还可以得到方程其它形式的解析解,因此这种方法还需进一步的研究与探索.参考文献:

[1]　WANGMingliang,ZHOUYubin,LIZhibin.Applica2

tionofahomogeneousbalancemethodtoexactsolu2

δ

试探函数方法,KP方程,(2+1)维BBM方程,(3+1)维ZK方程,解析解

第3期郭　鹏等:求解高维非线性方程的一种简便方法141

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[2]　范恩贵,张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法[J].物

[8]　谢元喜,唐驾时.求一类非线性偏微分方程解析解的一

种简洁方法[J].物理学报,2004,53(9):2828Ο2830.

[9]　XIEYX,TANGJS.Newsolitarywavesolutionsto

theKdVΟBurgersequation[J].InternationalJournalofTheoreticalPhysics,2005,44(3):304Ο312.

[10]　XIEYX,TANGJS.Aunifiedapproachinseeking

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[12]　夏莉.(2+1)维BBM方程的精确解[J].西南师范大

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其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,

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ASimpleMethodinSolvingHighΟdimensionalNonlinearEquationsGUOPeng1,　ZHANGLei1,　SHIYuΟren2,　HONGXueΟren2

(1.SchoolofMathematics,PhysicsandSoftwareEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,China;

2.CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)

Abstract:HighΟdimensionalnonlinearequationsaresolvedbythetrialfunctionmethod.Byintroducingtransformationandselectingappropriatetrialfunctions,thehighΟdimensionalnonlinearpartialdifferentialequationsthatarehardtobesolvedbytheusualwayscanbereducedtoasetofalgebraicequations,whichcanbeeasilysolved,andtheirrelatedcoefficientscanbeeasilydeterminedbytheundeterminedcoefficientmethod.Finally,theanalyticalsolutionstotheequationsweresuccessfullyderived.

Keywords:trialfunctionmethod;KPequation;(2+1)ΟdimensionalBBMequation;(3+1)dimensionalZKequation;analyticalsolution

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nidq.html