通信原理教程习题答案第四版

《通信原理》习题第一章

第一章习题

习题1.1 在英文字母中E出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。 解：E的信息量：IE?log2

习题1.2 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。

解：

IA?log2IB??log21??log2P?E???log20.105?3.25b P?E?11??log2P(A)??log2?2bP(A)4

335?2.415b IC??log2?2.415b ID??log2?1.678b 161616

习题1.3 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。

（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为

RB?1?100Bd ?32?5?10等概时的平均信息速率为

Rb?RBlog2M?RBlog24?200bs

（2）平均信息量为

11316516 H?log24?log24?log2?log2?1.977比特符号

44163165则平均信息速率为 Rb?RBH?100?1.977?197.7bs

习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：RB?

习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为

1

11??200 Bd ?3TB5*10《通信原理》习题第一章

H(X)???P(xi)log2P(xi)???P(xi)log2P(xi)?16*i?1i?1M6411log232?48*log2963296

=5.79比特/符号

因此，该信息源的平均信息速率 Rb?mH?1000*5.79?5790 b/s 。

习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。

解：RB?11??8000 Bd ?6TB125*10等概时，Rb?RBlog2M?8000*log24?16kb/s

习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解：V?4kTRB?4*1.38*10?23*23*600*6*106?4.57*10?12 V

习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m，试求其最远的通信距离。

解：由D2?8rh，得 D?8rh?8*6.376*10?*80

习题1.9 设英文字母E出现的概率为 0.105， x出现的概率为0.002 。试求 E 和x的信息量。 解：

849 km63p(E)?0.105p(x)?0.002I(E)??log2P?E???log20.105?3.25bitI(x)??log2P(x)??log20.002?8.97bit

习题1.10 信息源的符号集由 A，B，C，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。

解：

1111155H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?2.23bit/符号448881616

习题1.11 设有四个消息A、B、C、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。

2

《通信原理》习题第一章

解：

11111111H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.75bit/符号

44888822习题1.12一个由字母A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每个脉冲宽度为5ms。

（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2） 若每个字母出现的概率为信息速率。

解：首先计算平均信息量。 （1）

11H???P(xi)log2p(xi)?4*(?)*log2?2 bit/字母 44

pB?131pC?pD?4,10, 4,

试计算传输的平均

平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s

（2）

11111133H???P(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.985 bit/字母5544441010 平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s

习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。

（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为

P(A),划出现的频率为

P(B)

P(A)+P(B)=1,

(1)

1P(A)?P(B) ? P(B)?14 (A)?34 P3I(A)??log2p(A)?0.415bitI(B)??log2p(B)?2bit

（2）

H???p(xi)log2p(xi)?3311log2?log2?0.811bit/符号 4444习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。

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《通信原理》习题第一章

解： H???p(xi)log2p(xi)?16*(?111)?112*(?)log2?6.4bit/符号 322242244*1000=6400bit/s 。 平均信息速率为6.

习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率RB等于多少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率Rb等于多少？

解：RB?300B Rb?300bit/s

习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？

解：

3600Mb8i. t0传送 1 小时的信息量 2.23*1000*?

传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵：

习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求RB和Rb；有四进信号，码元宽度为0.5ms，求传码率 RB和独立等概时的传信率Rb 。

解：二进独立等概信号：四进独立等概信号： 小结：

记住各个量的单位：

信息量： bit I??log2p(x)

信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 平均信息速率：bit/s?(bit/符号）/ (s/符号) 传码率：RB （B） 传信率：Rb bit/s

4

Hmax??log21?2.32bit/符5号

3600Mb8i. t3则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*?RB?1?2000B,Rb?2000bit/s0.5*10?3

RB?1?2000B,Rb?2*2000?4000bit/s?30.5*10。

I???p(ix)lox)2gp(

《通信原理》习题第一章

第二章习题

习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??), ???t??

式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。

解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t

cos?t

习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??), ???t??

判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

RX(?)?limT??1?limT??T1T?T/2?T/2X(t)X(t??)dt

?T/2?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dt?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t

?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)

习题2.3 设有一信号可表示为：

4exp(?t) ,t?0 X(t)?{0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：

?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e24 1?j?416?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2

习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：

(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)

解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0

PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。

5

《通信原理》习题第一章

2又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??2。 2故 EX2?t??co2s2?t?sin2?t?2??2

??????????(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分

?z2??。 布，其概率分布函数p?x??exp??2??2?2????1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2?? ??2?co2s?t1co2s?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2co2s??t2?t1?

习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)expa?f2

解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?

12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22??A2功率P=R(0)=

2

习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。

解：

(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]

=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)

习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为

?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。

6

《通信原理》习题第一章

?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。

?1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图

(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此

Px?????1P?2?

11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0??Sa?Sa?????4?22??????

????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。

解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=

2sin?f。试求此信号的自相关函数?f2sin?f ?f?1??, ?1???0?j2?f?df??1??0???1 其自相关函数RX?????????G(f)e?0,其它?

习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2 eed??22k?(2?f)2 7

《通信原理》习题第一章

P?Rn?0??k2

(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。

习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：

Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2

fR(?)?1??, ?1???1

试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12

习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为

?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。

解：P??

????XP(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高

?0,t?0通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。

解：高通滤波器的系统函数为

H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??

输入信号的傅里叶变换为

X(f)=

输出信号y(t)的能量谱密度为

Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?2211??1?j2?f?

??j2?f?C R R?1j2?fC)(1?1j2?f?)

图2-3RC 高通滤波器

习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).

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《通信原理》习题第一章

解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?

习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10

习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为

n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=

j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC2

图2-4LC低通滤波器

输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?n01

21??2LCCn0Cexp(??) 4LL对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?(2) 输出亦是高斯过程，因此

?R0?(?)R ?2?R0(0)0Cn(?0)0 4L

习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为

n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RC解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , ?y2?R0(0)?所以输出噪声的概率密度函数

py(x)?12x2RCexp(?)

n0?n02RC

习题2.18设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变

R(0,1)量，且p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及?。

9

《通信原理》习题第一章

解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;

R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2

习题2.19设Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为 0、方差为?的正态随机变量，试求：

2E[Z(t)]E[Z(t)]； （1）、

2

（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）B(t1,t2)和R(t1,t2)。

解： （1）

E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0

因为X1和X2是彼此独立的正态随机变量，X1和X2是彼此互不相关，所以

E[X1X2]?0

E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]

22222E[X]?0D(X)?E[X]?E[X]???E[X]??11121又; 22E[X]??2同理 22E[Z(t)]??代入可得

（2）

22E[Z(t)]E[Z(t)]??由=0； 又因为Z(t)是高斯分布

1f[Z(t)?]2D[Z(t)]??2??可得 (3)

z2ex?p(22?

)B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)

?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]

?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令 t1?t2??

习题2.20求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为Rx(?)、解：

10

Ry(?)。

《通信原理》习题第一章

面积。所以

R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。

?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的

习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求

?1(t)与?2(t)的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶

变换对）

解：

???1(t)???(t??)h1(?)d?00

R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??2(t)???(t??)h2(?)d?

??E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00

????所以

P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed?12?????'?令??????

??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'

习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。

解：

R?(?)，试求它通过系统后的自

2h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT H(w)?(?PO(w)?H(w)P?(w)?2(1?coswT)P?(w)21/22cowsT)

16

?jwTjwTP(w)?2P(w)?2coswT*P(w)?2P(w)?(e?e)PO????(w)

《通信原理》习题第一章

?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)

习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

解：

E[n0(t)]?0;

?n0n0n012*?R(?)?exp(?)???021?(wRC)24RCRC4RC

又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为

P0(w)?1x2f[x]?exp(?2)2? 2??

第四章习题

1?习题4.1 试证明式???f?????f?nfs?。

Tn???证明：因为周期性单位冲激脉冲信号?T(t)??n?????(t?nT)，周期为T，其傅里叶

s?s变换 ??(?)?2??Fn?t(?ns? )n???而 Fn?1Ts?Ts2?Ts2?(t)?jn?stdt?1 TS2?所以 ??(?)?Ts1即 ??(f)?Ts

n??????(??ns? )sn???(?nf )????习题4.2 若语音信号的带宽在300～400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，fH=3400Hz,fL=300Hz,故语音信号的带宽为 B=3400-300=3100Hz fH=3400Hz=1?3100+

3?3100=nB?kB 3117

《通信原理》习题第一章

即n=1,k=331。

根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为

3k fs=2B(1?)=2?3100?（1+）=6800Hz

n31

习题4.3 若信号s(t)?sin(314t)314t。试问：

（1） （2）

最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？

在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样，需要保

存多少个抽样值？

解：s(t)?sin(314t)314t，其对应的傅里叶变换为

??314, ??314 S(?)??

其他?0, 信号s(t)和对应的频谱S(?)如图4-1所示。所以fH??H2??3142??50 Hz 根据低通信号的抽样定理，最小频率为fs?2fH?2?50?100 Hz，即每秒采100个抽样点，所以3min共有：100?3?60=18000个抽样值。

习题4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400Hz，抽样频率等于8000Hz。试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。

解：已抽样语音信号的频谱如图4-2所示。

s(t) (a) (b)

图4-1习题4.3图

??314S(?) ?314t?3140314? S(f) ?19.4 ?16.3 -15.7 -12.6 -11.4 -8.3 -7.7 -4.6 -3.4 -0.3 0 0.3 3.4 4.6 7.7 8.3 11.4 12.6 15.7 16.3 19.4f(kHz)

图4-2 习题4.4图

?16?12?8?4481216习题4.5 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比等于多少分贝？

18

《通信原理》习题第一章

解：由题意M=256，根据均匀量化量噪比公式得 SqNq

习题4.6 试比较非均匀量化的A律和?律的优缺点。

答：对非均匀量化：A律中，A=87.6；?律中，A=94.18。一般地，当A越大时，在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。即对大信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍好。

习题4.7 在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于0.3时，输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于0.3，所以极性码c1=1。

查表可得0.3?（13.93，，所以0.3的段号为7，段落码为110，故c2c3c4=110。 11.98）第7段内的动态范围为：

n?(11.98?13.93)1，该段内量化码为n,则?

1664??dB?20lgM?20lg256?48.16dB

11+=0.3，可求得n?3.2，所以量化值取3。故c5c6c7c8=0011。 643.93所以输出的二进制码组为11100011。

习题4.8 试述PCM、DPCM和增量调制三者之间的关系和区别。

答：PCM、DPCM和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单和常用的编码方法。它们之间的主要区别在于：PCM是对信号的每个抽样值直接进行量化编码：DPCM是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进行量化编码；而增量调制是DPCM调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM中量化器的电平数取2，预测误差被量化成两个电平+?和-?，从而直接输出二进制编码。

第五章习题

习题5.1 若消息码序列为1101001000001，试求出AMI和HDB3码的相应序列。 解： AMI 码为

HDB3码为

?1?10?100?100000?1?1?10?100?1000?10?1习题5.2 试画出AMI码接收机的原理方框图。 解：如图5-20所示。

r(t)全波整流 采样判决 T ak

19

《通信原理》习题第一章

图5-1 习题5.2图

习题5.3 设g1(t)和g2(t)是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是P和

(1?P)。试证明：若P?无离散谱。

证明：若P?1?k，式中，k为常数，且0?k?1，则此序列中将

[1?g1(t)/g2(t)]1?k，与t无关，且0?k?1，则有

1?g1(t)/g2(t)P[g2(t)?g1(t)]?1

g2(t)即 Pg1(t)?Pg2(t)?g2(t)?(P?1)g2(t)

Pg1(t)?(1?P)g2(t)?0

所以稳态波为 v(t)?P?g(t?nT)?(1?P)?g(t?nT)

??[Pg(t?nT)?(1?P)g(t?nT)]?0

1s2s1s2sW1即Pv(w)?0。所以无离散谱。得证！

习题5.4 试证明式h1?t???4sin?2?Wt?证明：由于h1(t)??0H1?f?W?sin?2?ft?df。

????H1(f)ej2?ftdf，由欧拉公式可得

????h1(t)??H1(f)(cos2?ft?jsin2?ft)df??H1(f)cos2?ftdf?j?H1(f)sin2?ftdf?????

由于H1(f)为实偶函数，因此上式第二项为0，且

h1(t)?2?H1(f)cos(2?ft)df

???令，f?f'?W,df?df'，代入上式得

h1(t)?2?H1(f'?W)cos[2?(f'?W)t]df'?W???2?H1(f?W)cos2?ftcos2?Wtdf?2?H1(f?W)sin2?ftsin2?Wtdf?W?W?

由于H1(f)单边为奇对称，故上式第一项为0，因此

h1(t)?2sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf?WW?

?4sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf0

习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲g(t)[见图5-2的

20

《通信原理》习题第一章

1,k?0?h(KTs)???0,k为其它的整数

习题5.26 设有一相关编码系统，理想低通滤波器的截止频率为 1/(2Ts)，通带增益为 Ts。试求该系统的单位冲击响应和频率特性。

解：

理想低通滤波器的传递函数为

??T,w??sTsH(w)???0,其它的w?

h'(t)?sa(其对应的单位冲击响应所以系统单位冲击响应

?Tst)

h(t)?[?(t)??(t?2Ts)]*h'(t)?h'(t)?h'(t?2Ts)?sa(?Tst)?sa[?Ts(t?2Ts)]

???2jwTsT[1?e],w??sTs??jwTs'?0,其它的wH(w)?[1?e]H(w)?系统的频率特性

??2TsinwT,w??ssTsH(w)???0,其它的w?

习题5.27若上题中输入数据为二进制的，则相关编码电平数为何值？若数据为四进制的，则相关编码电平数为何值？

解 相关编码表示式为

Ck?bk?bk?2

若输入数据为二进制(+1,-1), 则相关编码电平数为 3；若输入数据为四进制(+3,+1,-1,-3)，则相关编码电平数为 7。 一般地，若部分相应波形为

g(t)?R1sin?t/Tssin?(t?Ts)/Tssin?(t?(N?1)Ts)/Ts?R2?????RN?t/Ts?(t?Ts)/Ts?(t?(N?1)Ts)/Ts

Q?(L?1)?Ri?1i?1N输入数据为 L 进制，则相关电平数

A?n2p(0)Vd?ln22Ap(1) 习题5.28试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为

1erfc(A)pe?2?n (“1”和“0”等概出现时) 2 最小误码率

* 36

《通信原理》习题第一章

证明

对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内， 抽样判决其输入端得到的波形可表示为

?A?nR(t)发送“1 x(t)???nR(t)发送“0

2n(t)?R其中为均值为 0，方差为n的高斯噪声，当发送“1”时，x(t)的一维

概率密度为

1(x?A)2f1(x)?exp[?]22?2??nn

而发送“0”时，x(t)的一维概率密度为

1x2f0(x)?exp[?]22?n2??n

若令判决门限为 Vd,则将“1”错判为“0”的概率为

VdPel?p(x?Vd)????1(x?A)2exp[?]dx22?2??nn 1x2exp[?]dx22?n2??n将“0”错判为“1”的概率为

?Pe0?p(x?Vd)?Vd?

若设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则系统总的误码率为

pe?p(1)Pe1?p(0)Pe2

dpe?0*VdVdd令，得到最佳门限电平即解的最佳门限电平为

Vd?

*?n22Alnp(0)p(1)

习题5.29 若二进制基带系统，已知

n0G(w)得输出噪声功率；

(1) 若 n(t)的双边功率谱密度为2 (W/Hz)，试确定R(2) 若在抽样时刻 KT(K 为任意正整数)上，接受滤波器的输出信号以相同概率取0，A电平，而输出噪声取值 V服从下述概率密度分布的随机变量

试求系统最小误码率 Pe.

解 ：

(1) GR(w)的输出噪声功率谱密度为 接受滤波器 GR(w) 输出噪声功率为

(2) 设系统发送“1”时，接受滤波器的输出信号为 A电平，而发送“0”时，接受滤波器的输出信号为 0 电平。若令判决门限为 Vd,则发送“1”错判为“0”的概率为

37

《通信原理》习题第一章

发送“0”错判为“1”的概率为

设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则总的错误概率为

习题5.30某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息“1”和“0”的出现概率相等。 若数字信息为“1”时，接受滤波器输出信号在抽样判决时刻的值 A=1V，且接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 0.2V 的高斯噪声，试求这时的误码率Pe;

解：

用 p(1)和 p(0)分别表示数字信息“1”和“0”出现的概率，则 p(1)=p(0)=1/2，等概时，最佳判决门限为 V*d=A/2=0.5V. 已知接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 0.2V误码率

习题5.31 若将上题中的单极性基带信号改为双极性基带信号，其他条件不变，重做上题。 解 ： 等概时采用双极性基带信号的几代传输系统的最小误码率

习题5.32 设有一个三抽头的时域均衡器，x(t)在各抽样点的值依次为 x -2=1/8 x -1=1/8, x 0=1, x +1=1/4, x +2=1/16(在其他抽样点均为零)， 试求输入波形 x(t)峰值的畸变值及时雨均衡其输出波形 y(t) 峰值的畸变值。

解

xk 的峰值的畸变值为

12111137Dx??xi?????x0i??28341648

有公式

yk?i??N?CxNik?i得到

111y?3?C?1x?2??*??3824

1111y?2?C?1x?1?C0x?2??*?1*?33872

11111y?1?C?1x0?C0x?1?C0x?2??*1?1*?(?)*??334832 11115y0?C?1x1?C0x0?C1x?1??*?1*1?(?)*??34436 11111y1?C?1x2?C0x1?C1x0??*?1*?(?)*1??3164448 111y2?C0x2?C1x1?1*?(?)*?01644

111y2?C1x2??*??16464

其余 yk 值为0。

38

《通信原理》习题第一章

输出波形 yk 峰值的畸变值为

1361111171Dy??yi?*(????0?)?y0i??352432724864480

第六章习题

习题6.1 设有两个余弦波：3cos?t和cos(?t?30?)，试画出它们的矢量图及它们之和的矢量图。

解：如图6-1所示。

0 3cos?t 30?cos(?t30 ?30?) 3cos?t?cos(?t?30?) 图 6-1 习题6.1图

习题 6.2 试画出图6-2中各点的波形。

s(t) 带通 a 全波 b 低通 c 抽样 d 滤波 整流 滤波 判决 包络检波器 定时脉冲 图 6-2 习题6.2图

解：各点波形如图6-3所示。

1 0 1 1 0 1 a b c d

图 6-3 习题6.2图

习题 6.3 试画出图6-4中各点的波形。

s(t) 带通 a 相乘 b 低通 c 抽样 e 滤波 电路 滤波 判决 相干载波 定时脉冲 cosωt

39

《通信原理》习题第一章

图 6-4 习题6.3图

解：各点波形如图6-5所示。

1 a b c d e 0 1 1 0 1

图 6-5

习题 6.4 试证明式p1V??p0V?。

证明：在对ASK信号进行包络检波时，整流器输出信号经过低通滤波后得到的包络电压V(t)满足：当发送“1”时，它服从广义瑞利分布；当发送“0”时，它服从瑞利分布，即概率密度为

?V?AV?(V2?A2)2?n2?eI，发送“1”时?2o?2????? p(V)??n?n?22?Ve?V2?n， 发送“0”时??2?n????当发送码元“1”时，错误接收为“0”的概率是包络V?h的概率，即有

V?AV???V2?A2?2?n2Pe1?P(V?h)??2I0?dV??2??e0?n?n?hV2?AV???V2?A2?2?n2??1??2I0?dV??2?eh?n?n??

?1?Q2r,ho??2式中，r?A22?n，为信噪比；ho?h?n为归一化门限值。

同理，当发送码元“0”时，错误接收为“1”的概率是包络V?h的概率，即有

Pe0?P(V?h)???V2?nhe?V222?ndV?e?h222?n?e?h02

2因此总误码率为

Pe?P?1?Pe1?P?0?Pe0?P?1?1?Q2r,ho?P?0?e?h02

2???? 40

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