精选题库高一习题4-1. 数学 数学doc

第4模块 第1节

[知能演练]

一、选择题

1．判断下列各命题的真假：

→→

(1)向量AB的长度与向量BA的长度相等；

(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

→→

(5)向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为

( )

A．2 B．3 C．4

D．5

解析：(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

答案：C

→→→

2．若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于

( )

1

A．b＋a

21

C．a＋b

2

1

B．b－a

21

D．a－b

2

11→→→

解析：BE＝BC＋CE＝b＋(－a)＝b－a.

22答案：B

→→→

3．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，若CD＝ →→

rAB＋sAC，则r＋s的值是

( )

2A. 3

B．0

4C. 3

D．－3

→2→2→→

解析：在△ABC中，CD＝CB＝(AB－AC)＝

332→2→

AB－AC，故r＋s＝0. 33答案：B

→→→4．平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E在BC上，且BE＝2EC，设AB＝→→a，AD＝b，则OE为

( )

37

A.a＋b 2611

C.a－b 26

11

B.a＋b 2612D.a＋b 23

→→→1→

解析：如右图．由向量的运算法则得OE＝OC＋CE＝AC＋

21→1111

DA＝(a＋b)－b＝a＋b，故选B. 32326

答案：B 二、填空题

→1→→→→→→

5．△ABC中，BD＝DC，AE＝3ED，若AB＝a，AC＝b，则BE＝________.

2

3→1→31→1→→→→1→→1→→

解析：依题意有BE＝BD＋DE＝BD＋DA＝BD＋(BA－BD)＝BD＋BA＝×BC＋4444434111→1

BA＝(b－a)＋(－a)＝－a＋b.

4424

11答案：－a＋b

24

→→→

6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.

→→

解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设AB＝(1,0)，AC＝(0,1)，则

6→→

|BC|＝2，∴|BD|＝2×sin60°＝. 2

63633→

由题意有AD＝(x，y)，∴x＝1＋cos45°＝1＋，y＝sin45°＝.故x＝1＋，y

22222＝3. 2

答案：1＋

33， 22

三、解答题

BC→→

7．在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ>0)，若OA＝a，OB＝b.

CA→

(1)当λ＝1时，用a，b表示OC； →

(2)用a，b表示OC.

11→1→→

解：(1)当λ＝1时，OC＝(OA＋OB)＝a＋b.

222→→→→→→

(2)OC＝OB＋BC，BA＝OA－OB＝a－b， 因为

BC

＝λ，BC＝λCA，BA＝BC＋CA， CA

λλ→→BA.所以BC＝BA， 1＋λ1＋λ

BA＝(λ＋1)·CA，BC＝

λa＋bλ→λ→→

即OC＝OB＋BA＝b＋(a－b)＝. 1＋λ1＋λ1＋λ

8．如下图，点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|＝4，|BC|＝6，|AB|＝2. →→

设与BC同向的单位向量为a0，与BA同向的单位向量为b0.

→→→

(1)用a0和b0表示AC，CD和OA；

→→

(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且|CP|＝2，求|BP|的最大值和最小值． →→→→→

解：(1)由题意知BC＝6a0，BA＝2b0，∴AC＝BC－BA＝6a0－2b0； →→→→→→

∵AD∥BC，∴AD＝4a0，则CD＝CA＋AD＝2b0－6a0＋4a0＝2b0－2a0； 过C点作CM∥BD，易知四边形BCMD是平行四边形．

则

|AO||AC||AO||6a0－2b0|

＝，即＝， |AD||AM|410

12→4

得OA＝b0－a0.

55

→→→→→→→→→→→→→→→

(2)BP＝BC＋CP，BP2＝(BC＋CP)2＝BC·BC＋CP·CP＋2BC·CP，即|BP|2＝|BC|2＋|CP|2

→→→→→→→→22

＋2|BC|·|CP|·cos〈BC，CP〉＝6＋2＋2·6·2cos〈BC，CP〉＝40＋24cos〈BC，CP〉．

→→

∵cos〈BC，CP〉∈[－1,1]，

→→→

∴当cos〈BC，CP〉＝1时，|BP|max＝8. →→→

当cos〈BC，CP〉＝－1时，|BP|min＝4.

[高考·模拟·预测]

1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么

( )

A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向

解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb， ∴(k－1)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线， ∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.

∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D. 答案：D

→→→→?ABAC?→ABAC1→→

2．已知非零向量AB与AC满足?＋BC＝0，且·＝，则△ABC的形状是 ?·

→→→→2?|AB||AC|?|AB||AC|

( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形

→→?ABAC?→

解析：由?＋BC＝0，得∠BAC的平分线垂直于BC. ?·

→→?|AB||AC|?→→ABAC1→→

∴AB＝AC.而·＝cos〈AB，AC〉＝，

→→2|AB||AC|

→→

又〈AB，AC〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.故△ABC为正三角形，选D. 答案：D

1→1→3→→→

3．在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，BA＋BC＝BD，则四边形ABCD

→→→|BA||BC||BD|的面积为________．

1→1→→→

解析：由于AB＝DC＝(1,1)，则四边形ABCD是平行四边形且|AB|＝2，又由BA＋

→→|BA||BC|3→→

BC＝BD，得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB＝

→|BD|120°，所以AB边上的高为

答案：3 4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.

解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，

??1＋3λ1＝－2＋4λ2

得?， ?2＋4λ＝－2＋5λ?12

??λ1＝－1解得?，∴M∩N＝{(－2，－2)}．

?λ2＝0?

66.所以四边形ABCD的面积为2×＝3. 22

答案：{(－2，－2)}

→→→→

5． O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，1→→→λ＝时，则PA·(PB＋PC)的值为________． 2

1→→→→→1→→

解析：由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ＝，得AP＝(AB＋AC)，即P为△ABC中BC边的

22中点．

→→

∴PB＋PC＝0.

→→→→∴PA·(PB＋PC)＝PA·0＝0. 答案：0

6．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.

1

(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？

3

(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？ 1

解：(1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，

32m

化简得(m－1)a＝(－t)b，∵a与b不共线，

33

?∴?m

?3－t＝0

2

m－1＝03

???1?t＝2.

3m＝，2

11

∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．

23(2)|a－tb|2＝(a－tb)2 ＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60° ＝(1＋t2－t)|a|2.

13∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.

22

(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？ 1

解：(1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，

32m

化简得(m－1)a＝(－t)b，∵a与b不共线，

33

?∴?m

?3－t＝0

2

m－1＝03

???1?t＝2.

3m＝，2

11

∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．

23(2)|a－tb|2＝(a－tb)2 ＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60° ＝(1＋t2－t)|a|2.

13∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.

22

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