第三章 解题技巧 §1合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量

第三章 解题技巧

评价解题方法的优劣，有两条标准：一是物理概念清楚；二是解题简便。

同一道题，有的解得很繁，物理意义也不容易看得明白故见暗有的没有几步就作出来了，物理意义也十分清楚。这里就存在一个十分重要的技巧问题。 解物理习题的技巧，概括起来主要有以下几条： 1、 合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量；

2、 根据独立性作用原理，把复杂问题拆成几个简单的，而后用叠加原理求解； 3、 灵活运用数学工具。

§1合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量

解题忡的未知量，一种是待求的，另一种是非待求的—俗称中间未知量。对于中间未知量又可分为两类：一类是是不可避免的，另一类是可以设法避免的。由于中间未知量的出现，必然增加解方程的繁难，因此，对于可以设法避免的中间未知量，应该想方设法避免它。

合理选择研究对象，是减少中间未知重要渠道之一。

例如，用隔离法解力学题时,选择隔离体中就有一条：在独立方程的个数等于未知量个数的前提下，隔离体的数目应尽可能地少。最佳情况是：隔离体的数目等于待求的未知量的数目，此时中间未知量一个也没有出现。又如，气态变化过程的习题，有时由于研究对象选择不合理，中间未知量可能多了几个。因此减少中间未知量的问题一个重要问题。还有简谐振动中合理选择势能零点，力矩平衡问题中合理选择转轴，也都是减少中间未知量的重要措施。

兹举例说明：

［例1］ 起重机用钢丝绳吊起一质量为m的物体，以速度v0作匀速下降(图3-1-1)问当起重机突然刹车时，物体因惯性继续下降，使钢丝绳再有微小伸长是多少？(设钢丝绳的弹性系数为k，钢丝绳的重量忽略不计。)？这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？

［分析］把物体、地球和钢丝绳组成的系统作为研究对象，重力、绳子拉力都 是保守力。电动机拉绳的力是外力，但它的作用点的位移为零，故不作功，所以该系统满足机械能守恒

1

定律。

刹车瞬间的机械能为mgh?1212kx0?mv0，最大伸长时的机械能为：2212k?x0?h??0?0。在此，把自然伸长处。作为弹性势能的零点。在最大伸长时作为重力2势能的零点选择，这样零点的选择，说明重力时一定要谈绳子伸长；说明绳伸长时，也要一定谈重力。能否不考虑重力和伸长x0，从而使计算简便些呢？

取物体和绳子作为研究对象(注意不包括地球!)因此物体的重力成为外力了。但是考虑到重力和绳子的弹力kx0相平衡，可把绳二重物时作为绳自然状态。这样仍可有机械能守恒定律：

12mv0?0； 212最大伸长处的机械能为：0?kh

2刹车瞬间的机械能为：

?m?121212即 0?kh?m0v?0?0?k h h???k??v0 222??研究对象的这种选择当自然方便多了!

［例2］均匀立方体的A的中点E靠在一个光滑的球冠上，AD与水平面间的夹角为15。如立方体不发生滑动，立方体的A点与间的静摩擦因数?0应为多大？(图3-1-2)

［分析］这一一个力的平衡问题。

以立方体为研究对象，它共受四个力的作用：作用于

重心O的重力G；与AD垂直且通过重心的球冠的支撑力N；作用于A点并与地面相垂直的向上的支撑力N1；作用于A点，方向向右的地面的静摩擦力。当静摩擦因数为最小值时，这一静摩擦力为最大静摩擦力Fm。

［解法一］这立方体的边长为a，根据刚体的平衡条件：

0Fm?Nsin150?0Ncos150?N1?G?0(1) (2)

2

N2a?Gacos600?022(3)

sin1503解方程组得： t? ?032?cos15上述(3)式是以A为转轴，其力矩的代数和为零。

转轴的选择是任意的。选A为转轴比选E为转轴要简便。因为以A为转轴时，N1及F两个力的力矩都等于零。A、E是立方体的两个支持点，比较得到以A或E为转轴。但是不一定非选A或E不可。如果选取重心 O为转轴，则只要一个方程就可求出?0，因为重心O是N与G的交点。

［解法二］取重心O为转轴，根据力矩平衡有：

Fm22asin600?N1acos600?0 22得：

?0?Fm3 ?cot600?N3这种解法有两个好处：一是省去了两个方程，二是最后的答案无无原则查表，就能知道600角的斜切值。解法一中的答案中出现sin15、cos15，还得查表计算，显然要麻烦多了。 ［例3］一长为l的均匀直杆AB，重量为G，用光滑的活动铰链固定在A点，B端搁在小车上。如果要使小车向右发生运动，至少必须用多大的水平力拉小车？设杆与小车间的摩擦因数为μ，杆与直线的夹角为θ，车轮与地面及轴间摩擦不计(图3-1-3)。

［解］向右拉时，设水平拉力为F。要使小车向右发生运动，F至少应与杆、车间的摩擦力f??Q相等。式中的正压

力Q尚不知道。Q不是杆的重量，因为就杆而言，在竖直方向共受G、Q和铰链作用力的作用，在此方向三力的合力为零，如列一方程，则因Q及铰链的作用力都不知道，所以正压力仍然求不出。能否将铰链的作用力排除在方程之外，又能将Q从一个方程中一次就解出呢？

可以让我们把杆隔离出来。画出受力图3-1-4：其中FAx、FAy为铰链作用力的两个分力。

00 3

由于恰好拉动小车时可以把杆AB看为处于转动的平衡状态，即合力矩为零，心可以任意选取，但一般选在使中间未知量尽可以尽可能地少的。这是有关转动平衡问题中经常采用的一个技巧。按此原则，我们选在A点为旋转中心，这样FAx、FAy对A点的力矩为零，就把铰链作用力这个中间未知量排除在力矩平衡方程之外了。

力矩平衡方程为：

1Gsin??Qlsin??Flcos??0 2于是可得：

F??Gsin?

2?sin???cos??由上可见，Q这个中间未知量是不可避免的，而铰链作用力这个中间未知量却因巧选矩心而排除了，因而为解题带来了不少方便。

［例4］如图3-1-5所示质量分别为m1、m2的两个球，用弹簧连在一起，且以长为l1的线拴在轴O上，m1、m2均以角速度ω绕轴作匀速圆周运动。当两球之间距离为l2时，将线烧断，试求线被烧断时的瞬间两球的加速度a1和a2(弹簧和线的质量忽略不计)。

［分析］在匀速圆周运动过程中，球m1受到绳子的张力T和弹簧的作用力f的作用，用

T?f为m1提供向心力；球m2只受弹簧力f的作用。在连线烧断的瞬间，球m2突然失去了

绳子的拉力T，但由于弹性，弹簧维持原状，即弹力f不变。牛顿第二定律具有瞬时性，连线烧断瞬间球m1的加速度由f决定，即：

f?kx?m1a1

式中 k—弹簧的弹性系数； x—弹簧的伸长。

球m2在连线烧断瞬间，仍由f?kx产生加速度a2，即：

kx?m2a2

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要求出a1和a2，必须求出x。这时把m2作为研究对象，当它以ω旋转时，有：

kx?m2?2?l1?l2?m2?2?l1?l2? x?k如果选择m1为研究对象，则：

T?kx?m1?2l1

可要求出x还得求T，多了一个中间未知数，所以为了求出a1和a2，将m2为研究对象为宜。

［解］在连线烧断瞬间，有：

kx?m1a2kx?m2a2kx?m2?2?l1?l2?m2?2?l1?l2?a1?m1m2?2?l1?l2?a2???2?l1?l2?m2［例5］如图3-1-6所示，两板m1?5kg、m2?10kg，铅球的质量M?20kg。设绳子不伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计。试求铅球的加速度。

［分析］因为绳子不伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计，因此，铅球与两板的加速度是相等的，而且可以将问题简化：

为了求出M的加速度，将M隔离，它受两个张力和一个重力，列出运动方程，式中除了加速度外，两个张力是中间未知量，为此还得将m1、m2分别隔离出来再列出两个方程。这样三个方程联立求得：a?

Mg20??10?5.7?m/s2?

m1?m2?M20?10?5由上式可以得到启发：为了求a，可将m1?m2?M整体看成一个系统，该系统只受重力Mg (张力是内力) 的作用，帮按牛顿第二定律即可得上式。

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［例6］质量为M的物体A在离平板B为h高度处自由下落，打在B上，B的质量与A相等，B装置在弹性系数为K的弹簧上。设A与B发生完全非弹性碰撞。试求碰撞后弹簧被 压缩的长度S (图3-1-7)。

［解法一］该题分为三个物理过程： ① A自由下落过程：

选择A与地球为系统，因为外力功A外=0，非保守内力功

A内=0，所以系统的机械能守恒：

12mgh=mv0

2v0?2gh② A与B发生完全非弹性碰撞过程：

(1)

选择A、B为研究系统。由于A、B碰撞时的冲击力(内力)比重力、弹簧对B的竖直作用力(外力大得多，故有

?F外?0，据此系统满足动量守恒定律：

?M?M?V?Mv0③ A、B一起作简谐振动过程：

(2)

取A、B、弹簧、地球为研究对象。因为A外=0，A内=0，所以系统满足机械能守恒定律。如取最低点R为重力势能的零点、取弹簧的自由长度为弹性势能的零点。则：

11?M?M?V2?kx02??M?M?gs22

12E2?k?x0?s?2E1?式中x0为A未与B碰撞前对弹簧的压缩量，满足Kx0?Mg

E1?E2

?KS2?2MgS?Mgh?0

解此方程有： S?Mg??Mg?k2?Mgkh 6

取“+”得： S?Mg??Mg?k2?Mgkh ［解法二］ 第一、第二过程同上，得A、B的共同速度为：

V?第三过程用简谐振动知识解：

12gh 2简谐振动过程中，满足机械能守恒定律，选O点为平衡位置，则系统的总势能为故有：

12kx。2111?2M?V2?kx2?R2OR2 222式中x?Mg考虑到式(1)，有： kOR?1K?Mg?2?Mgkh 因此弹簧的总压缩量为：

S?x?OR?1Mg?k??Mg?2?Mgkh

?［例7］有容积为1升和2升的容器在各一个，内储空气，并用一毛细管相连接。最初把这两个容器浸在0C的水中，最后把2升的容器用1000C的水蒸汽包围(1升容器的温度不变)。如果两的初审取初压强都为1atm。问最后压强多大？(设容器的膨胀、毛细管的传热都忽略不计)。

［解法一］设两容器中空气的初始质量分别为M1、M2，压强为P1，温度为T1，根据理想缸体状态方程有：

0?PV11?PV12?M1?M2RT1

?RT2?M1??M2??P1?V1?V2??(1)

?、M2?，温度分别为T1?和当两升的容器外面用蒸汽包围后，设两容器内气体分别为M1T2?，压强都为P2。则

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PV11?PV12?M1?RT1???RT2?M2

?(2)

?M1????M2?VV??P2?1?2???RT1?RT2????M2??M1?M2 M1P?VV?1?V1?V2??P2?1?2? RT1?RT1?RT2??即 P2?P1?V1?V2??VV?T1?1?2??V1?V2??

T2/?T

1?1?2??P2??1.21atm

2??1273???273273??在上述解题过程中，理想气体状态方程对两个容器的始末状态各用两次，加上质量守恒，共得五个方程。五个方程中有五个未知数都可以求出。但是，其中只有一个P2是题目要求的，其它四个都是中间未知量。能否通过合理选择研究对象，将中间未知量减少呢？ ［解法二］设两个容器中的气体分子数为N，根据理想气体状态方程有：

P1?V1?V2??NkT1

?N?P1?V1?V2?kT(1)

分别对两个容器的末状态应用理想气体状态方程有：

PV22?N1kT1(2)(3)PV21?N2kT2??N?N1?kT2由式(1)至(3)并注意到N?N1?N2得：

P2??V1?V2??VV?T1?1?2??T1T2?8

?1.21?atm?

四个方程中有四个未知数，因此方程也解出来了。但四个未知数中，还有两个是中间未知量。能设法进一步减少方程和中间未知量吗？ ［解法三］假设所研究的对象是图3-1-8中大容器画阴影的部分和小容器的全部，对于画阴影部分的气体来说，体积从V2?2??V，膨胀为2升，压强从P温度从T1?273K1?1atm变为P2，增加到T2?373K，于是根据理想气体状态方程有：

PP?21?2??V??2273373(1)

对于剩下的那部分气体，其初状态为：P1?1atm,T1?273K,V1?1??V；末状态为：

T2?T1273K,V2?1升,P2??。于是根据玻意耳—马略特定律有：

1??1??V??P2?1联立(1)、(2)两式即可得：P2?1.21?atm?

(2)

方程的未知数越少，解题越方便。能否只列出一个方程就把P2这个未知数求出来？ ［解法四］把大容器整个系统作为研究对象。初状态为P1、V1?V2、T1；末状态分为两部分，其压强都为P2，温度和体积分别为V1、T2、V2、T1。则因为质量没有变化，故有：

P1?V1+V2?V1P2V2P2?VV?=+=P2?1+2?

T1T1T2?T1T2??P2=1.21?atm?

由上可见：解法一对四个状态分别加以考虑得四个方程：解法二把大小容器的初状态作为整体来考虑，方程和中间未知量少了一个；解法三，巧妙地选取了两部分质量的气体，且应用的不是气体状态方程，而是状态变化过程的方程。因此，方程和中间未知量进一步减少了。解法四，则发挥了解法三的思想，把大小容器整体作为对象，而且也用状态变化过程的方程，因此应用解法四最简单。

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