河北省衡水中学2018年高考押题（二）理科数学（含答案）

河北衡水中学2018年高考押题试卷

理数试卷（二）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A?{x|x?x?6?0,x?Z}，B?{z|z?x?y,x?A,y?A}，则AA．{0,1} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．{?1,0,1,2} 2.设复数z满足

2B?（ ）

1?z1?2?i，则||?（ ） 1?iz551 C． D．

5255A．5 B．3.若cos(???1?)?，??(0,)，则sin?的值为（ ） 432A．

4?24?227 B． C． D． 66318x2y24.已知直角坐标原点O为椭圆C：2?2?1(a?b?0)的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个

ab数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：x?y?a?b没有交点”的概率为（ ）

2222A．

4?22?222 B． C． D．

42425.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线E：

x2y2??1(a?0,b?0)，当其离心率e?[2,2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） a2b2A．[0,?] B．[,] C．[,] D．[,] 6634332??????6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3??2，则它的表面积是（ ）

A．(3133133?3)??22?2 B．(?)??22?2 2421313??22 D．??22 24C．7.函数y?sinx?lnx在区间[?3,3]的图象大致为（ ）

A． B． C． D． 8.二项式(ax?1n)(a?0,b?0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项bx的系数的3倍，则ab的值为（ ）

A．4 B．8 C．12 D．16 9.执行如图的程序框图，若输入的x?0，y?1，n?1，则输出的p的值为（ ）

A．81 B．

818181 C． D． 248n*10.已知数列a1?1，a2?2，且an?2?an?2?2(?1)，n?N，则S2017的值为（ ）

A．2016?1010?1 B．1009?2017 C．2017?1010?1 D．1009?2016 11.已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??函数g(x)的说法中不正确的是（ ）

?2)的图象如图所示，令g(x)?f(x)?f'(x)，则下列关于

A．函数g(x)图象的对称轴方程为x?k??B．函数g(x)的最大值为22 C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y?3x?1平行 D．方程g(x)?2的两个不同的解分别为x1，x2，则x1?x2最小值为

32?12(k?Z)

? 212.已知函数f(x)?ax?3x?1，若f(x)存在三个零点，则a的取值范围是（ ） A．(??,?2) B．(?2,2) C．(2,??) D．(?2,0)(0,2)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.向量a?(m,n)，b?(?1,2)，若向量a，b共线，且a?2b，则mn的值为 ．

x2y214.设点M是椭圆2?2?1(a?b?0)上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴

ab相交于不同的两点P、Q，若?PMQ为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．

?2x?y?3?0y?15.设x，y满足约束条件?x?2y?2?0，则的取值范围为 ．

x?2x?y?2?0?16.在平面五边形ABCDE中，已知?A?120，?B?90，?C?120，?E?90，AB?3，AE?3，当五边形ABCDE的面积S?[63,93)时，则BC的取值范围为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?（1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn?log1an(n?N*)，求{21*，2Sn?Sn?1?1(n?2,n?N). 21}的前n项和Tn. bnbn?1

18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB?2a，?ABC?120，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF，BD?DE，DE?2BF?22a，平面BDEF?底面ABCD.

（1）证明：平面AEF?平面AFC； （2）求二面角E?AC?F的余弦值.

19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级

800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示

（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：

（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；

（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？

（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数?的分布列与数学期望.

23x2y22,)，动直线l：y?kx?m交椭圆C于20.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点P(222ab不同的两点A，B，且OA?OB?0（O为坐标原点）. （1）求椭圆C的方程.

（2）讨论3m?2k是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 21.设函数f(x)??alnx?x?ax(a?R).

2222

（1）试讨论函数f(x)的单调性；

（2）设?(x)?2x?(a?a)lnx，记h(x)?f(x)??(x)，当a?0时，若方程h(x)?m(m?R)有两个不相等的实根x1，x2，证明h'(2x1?x2)?0. 2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

?x?3??cost在直角坐标系xOy中，曲线C1：?（t为参数，a?0），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为

y?2??sint?极轴的极坐标系中，曲线C2：??4sin?.

（1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围； （2）当a?3时，两曲线相交于A，B两点，求AB. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?2x?1?x?1.

（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数y?f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x)?3的解集；

（2）若函数y?f(x)的最小值记为m，设a,b?R，且有a?b?m，试证明：

221418. ??a2?1b2?17

参考答案及解析 理科数学（Ⅱ）

一、选择题

1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD

二、填空题

13. ?8 14. 6?25?127?e? 15. [,] 16. [3,33) 2254三、解答题

1， 21得2S2?S1?1，即2a1?2a2?a1?1，解得a2?.

417.解：（1）当n?2时，由2Sn?Sn?1?1及a1?又由2Sn?Sn?1?1，① 可知2Sn?1?Sn?1，② ②-①得2an?1?an，即

an?11?(n?2). an2且n?1时，

a21111?适合上式，因此数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故an?n(n?N*). a122222（2）由（1）及bn?log1an(n?N*)，

可知bn?log1()?n，

212n所以

1111???， bnbn?1n(n?1)nn?1111111111n?????. ?[(1?)?(?)?????(?)]?1??bnb2b2b3bnbn?1223nn?1n?1n?1故Tn?18.解：（1）因为底面ABCD为菱形，所以AC?BD， 又平面BDEF?底面ABCD，平面BDEF因此AC?平面BDEF，从而AC?EF. 又BD?DE，所以DE?平面ABCD，

由AB?2a，DE?2BF?22a，?ABC?120，

平面ABCD?BD，

可知AF?4a2?2a2?6a，BD?2a，

EF?4a2?2a2?6a，AE?4a2?8a2?23a，

从而AF2?FE2?AE2，故EF?AF. 又AFAC?A，所以EF?平面AFC.

又EF?平面AEF，所以平面AEF?平面AFC.

（2）取EF中点G，由题可知OG//DE，所以OG?平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA?OB，所以分别以OA，OB，OG的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O?xyz（如图示）， 则O(0,0,0)，A(3a,0,0)，C(?3a,0,0)，E(0,?a,22a)，F(0,a,2a)， 所以AE?(0,?a,22a)?(3a,0,0)?(?3a,?a,22a)，

AC?(?3a,0,0)?(3a,0,0)?(?23a,0,0)，EF?(0,a,2a)?(0,?a,22a)?(0,2a,?2a).

由（1）可知EF?平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为EF?(0,2a,?2a). 设平面AEC的法向量为n?(x,y,z)，

????n?AE?0??3x?y?22z?0?y?22z则?，即?，即?，令z?2，得y?4，

????x?0?x?0?n?AC?0所以n?(0,4,2). 从而cos?n,EF??n?EFn?EF?6a3. ?363a3. 3故所求的二面角E?AC?F的余弦值为

19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为

5614?， 10025

则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有800?（2）这100名学生成绩的平均分为

14?448. 251(32?100?56?90?7?80?3?70?2?60)?91.3， 100因为91.3?90，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.

（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A级4个，B级7个，从而任意选取3个，这3个为A级的个数?的可能值为0，1，2，3.

0312C4C7C4C7287则P(??0)?，， ?P(??1)??33C1133C11552130C4C714C4C4. P(??2)?3?，P(??3)?37?C1155C11165因此可得?的分布列为：

? P 0 1 2 14 553 4 165728 335572814412则E(?)?0??1??2??3??.

3355551651120.解：（1）由题意可知

c2222222?，所以a?2c?2(a?b)，即a?2b，① a2又点P(2323,)在椭圆上，所以有2?2?1，② 224a4b22由①②联立，解得b?1，a?2，

x2?y2?1. 故所求的椭圆方程为2（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由OA?OB?0， 可知x1x2?y1y2?0.

?y?kx?m?联立方程组?x2， 2??y?1?2消去y化简整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0，

222

2m2?24km由??16km?8(m?1)(1?2k)?0，得1?2k?m，所以x1?x2??，x1x2?，③ 21?2k21?2k222222又由题知x1x2?y1y2?0， 即x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?0，

22整理为(1?k)x1x2?km(x1?x2)?m?0.

2m2?24km2?km??m?0. 将③代入上式，得(1?k)221?2k1?2k23m2?2?2k2?0，从而得到3m2?2k2?2. 化简整理得21?2ka22x2?ax?a2(2x?a)(x?a)?2x?a??21.解：（1）由f(x)??alnx?x?ax，可知f'(x)??. xxx22因为函数f(x)的定义域为(0,??)，所以，

①若a?0时，当x?(0,a)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递减，当x?(a,??)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递增；

②若a?0时，当f'(x)?2x?0在x?(0,??)内恒成立，函数f(x)单调递增； ③若a?0时，当x?(0,?)时，f'(x)?0，函数f(x)单调递减，当x?(?调递增.

（2）证明：由题可知h(x)?f(x)??(x)?x?(2?a)x?alnx(x?0)，

2a2a,??)时，f'(x)?0，函数f(x)单2a2x2?(2?a)x?a(2x?a)(x?1)?所以h'(x)?2x?(2?a)??.

xxxaaa,??)时，h'(x)?0；当x?时，h'()?0. 222x?x2x?xaa)?0，只需证h'(12)?h'()，又h''(x)?2?2?0，即h'(x)单调递增，故只需证明欲证h'(1222xx1?x2a?. 22所以当x?(0,?)时，h'(x)?0；当x?(?设x1，x2是方程h(x)?m的两个不相等的实根，不妨设为0?x1?x2，

2??x1?(2?a)x1?alnx1?m则?2， ??x2?(2?a)x2?alnx2?ma2

22两式相减并整理得a(x1?x2?lnx1?lnx2)?x1?x2?2x1?2x2，

x12?x22?2x1?2x2从而a?，

x1?x2?lnx1?lnx2x1?x2x12?x22?2x1?2x2故只需证明， ?22(x1?x2?lnx1?lnx2)x12?x22?2x1?2x2即x1?x2?.

x1?x2?lnx1?lnx2因为x1?x2?lnx1?lnx2?0， 所以(*)式可化为lnx1?lnx2?2x1?2x2，

x1?x2x1?2xx2即ln1?.

xx21?1x22因为0?x1?x2，所以0?x1?1， x2不妨令t?x12t?2，所以得到lnt?，t?(0,1). x2t?114(t?1)22t?2??0，当且仅当t?1时，等号成立，因此R(t)设R(t)?lnt?，t?(0,1)，所以R'(t)??22t(t?1)t(t?1)t?1在(0,1)单调递增. 又R(1)?0，

因此R(t)?0，t?(0,1)，

2t?2，t?(0,1)得证， t?1x?x2)?0得证. 从而h'(12故lnt?22.解：（1）曲线C1：??x?3??cost222，消去参数t可得普通方程为(x?3)?(y?2)?a.

?y?2??sint22曲线C2：??4sin?，两边同乘?.可得普通方程为x?(y?2)?4.

把(y?2)?4?x代入曲线C1的普通方程得：a?(x?3)?4?x?13?6x，

2而对C2有x?x?(y?2)?4，即?2?x?2，所以1?a?25故当两曲线有公共点时，a的取值范围为[1,5].

22222222（2）当a?3时，曲线C1：(x?3)?(y?2)?9，

222. 32222曲线x?(y?2)?4的圆心到直线x?的距离为d?，

33

两曲线交点A，B所在直线方程为x?所以AB?24?482?. 93???3x,x??1?1?23.解：（1）因为f(x)?2x?1?x?1???x?2,?1?x?，

2?1?3x,x???2所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式f(x)?3的解集为[?1,1].

（2）证明：由图可知函数y?f(x)的最小值为所以a?b?从而

2233，即m?. 223722，从而a?1?b?1?， 22142b2?14(a2?1)14222?2)?[5?(2?2)]? ?2?[(a?1)?(b?1)](22a?ab?17a?1b?1a?1b?172b2?14(a2?1)18?[5?22?2]?. 7a?1b?17b2?14(a2?1)?2当且仅当2时，等号成立， a?1b?1

142，b?时，有最小值， 631418所以2?2?得证.

a?1b?17即a?2

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