微积分初步形成性考核册答案

电大形成性考核册答案

《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案

——函数，极限和连续

一、填空题（每小题2分，共20分）

1． 2，3 3, 或填 xx 2且x 3 ； 2． ,5 或填 xx 5 ；

3． 2, 1 1,2 或填 x 1 x 2且x 1 ； 4．x2 6； 5．2； 6．x2 1； 7.x 1； 8.1； 9.2； 10.3

2

.

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B

三、解答题（每小题7分，共56分）

1．解：原式＝lim x 1 x 2 x 11

x 2x 2x 2 limx 2x 2 4

. 2．解：原式＝lim x 6 x 1 1x 1 limx 6x 1x x 2x 1 72

. 3．解：原式＝lim

x 3 x 3 x 3x 1x 3 limx 3x 2x 1 32

. 4．解：原式＝lim x 2 x 4 x 22

x 4x 1x 4 limx 2x 1 3

. 5．解：原式＝lim

x 2 x 4 x 2x 2x 3 limx 4x 2x 3

2.

6．

解：原式＝

11

x 0

x 0

1

2. 7．解：原式＝

1

1

x 0

x 18. 11.D 12.A

电大形成性考核册答案

8．

解：原式＝

x 0

sin4x

2

lim

x 0

4x

2x

16.

《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案

——导数、微分及应用

一、填空题（每小题2分，共20分）

11； 2．x y 1 0； 3．x 2

y

3 0； 41

2

； 7.

1

x2

； 8. 2； 9. 1, ； 10. a 0.

二、单项选择题（每小题2分，共24分）

1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A

三、解答题（每小题7分，共56分）

111．解：y 2xex

x2

ex

1 1

x2

2x 1 ex.

2．解：y

4cos4x 3sin

xcos2x. 3．解：y

1x

2. 4．解：y

sinxcosx tanx. 5．解：方程两边同时对x求微分，得

2xdx 2ydy xdy ydx 0

2x y dx x 2y dy

dy

2x y

x 2y

dx

5． 6；6．27 1 ln3 ；

电大形成性考核册答案

6. 解： 原方程可化为 x y 1

x y 1,y x 1

2

y 1,dy dx

7. 解：方程两边同时对x求微分，得

exdx eydy xeydx 2xdx 0

xeydy ex ey 2x dx

ex ey 2x

dx. dy

xey

8. 解：方程两边同时对x求微分，得

sin x y dx dy eydy 0

dy

sin x y

dx y

e sinx y《微积分初步》形成性考核作业（三）参考答案

——不定积分、极值应用问题

一、填空题（每小题2分，共20分）

4cos2x；1．xlnx2 2x c； 2． 4e 2x； 3． 4．2cos2x； 5； 6． 1 x ex；

1

x

7.e xdx； 8.sinx c； 9.F 2x 3 c； 10. F 1 x2 c.

2

1212

二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B

三、解答题（每小题7分，共35分）

1．

解：原式＝ sinx dx 3lnx cosx c.

3

x

23

电大形成性考核册答案

2．解：原式＝

1011111111

2x 1d2x 1 2x 1 c 2x 1 c. 221122

3．解：原式＝ sin cos c. x x x

111

4．解：原式＝

11111

xdcos2x xcos2x cos2xdx xcos2x sin2x c. 2 22 24

5．解：原式＝ xde x xe x e xdx xe x e x c x 1 e x c.

四、极值应用题（每小题12分，共24分）

1．解： 设矩形ABCD的一边AB x厘米，则BC 60 x厘米， 当它沿直线AB旋转一周后，得到圆柱的体积

V x 60 x , 0 x 60

2

令V 60 x 2x 60 x 0得x 20

当x 0,20 时，V 0；当x 20,60 时，V 0.

x 20是函数V

2

的极大值点，也是最大值点.

此时60 x 40

答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2. 解：设成矩形有土地的宽为x米，则长为于是围墙的长度为L 3x 令L 3

易知，当x 12时，L取得唯一的极小值即最小值，此时

216

18 x

432

, x 0 x

216

米， x

432

0得x 12 取正 x2

答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）

电大形成性考核册答案

证： f x 1 ex 当x 0时, 0 ex 1 当x 0时, f x 0

从而函数 f x x ex 在区间 ,0 是单调增加的.

《微积分初步》形成性考核作业（四）参考答案

——定积分及应用、微分方程

一、填空题（每小题2分，共20分）

1． 23； 2．2； 3．y 2316 13x2 3

； 4．4； 54a2； 6．0；7.2； 8.9.y ce 3x； 10. 4.

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1.A 2.A 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B

三、计算题（每小题7分，共56分）

1．解：原式＝ ln2

1 e

x

2

d 1 ex

1x3ln193 1 e 2

0 3

. 2．解：原式＝1e12e

5 1 1 5lnx d 1 5lnx 10 1 5lnx 1

72

. 3．解：原式＝ 1

x

1

0xde xe

x1

exdx e ex

10

e e 1 1.

4．解：原式＝ 2

xdcosx2 2xcosx2 4sinx

2 4.

5．解：原式＝

20xdcosx xcosx02 20cosxdx 0 sinx0

2

1.

6. 解：P x 1x

,Q x x2 1

y ex；

电大形成性考核册答案

P x dx P x dxdx c 通解y e Qxe 11

xdx xdx2

ex 1edx c

e lnx x2 1 elnxdx c

1 3x x dx c x1 11

x4 x2 c

x 42

即通解y x3 x 7. 解：P x ,Q x 2xsin2x

P x dx P x dxdx c 通解y e Qxe 11

dx dx ex 2xsin2xexdx c

1412cx

1x

elnx 2xsin2xe lnxdx c

1

x 2xsin2x dx c

x x cos2x c

即通解为y x cos2x c .

四、证明题（本题4分）

证：左边＝

0 a

f x dx f x dx

a

a

0 a

f x dx f x dx

a

f x d x f x dx

a0

a

a

0a

f x dx f x dx

f x f x dx 右边

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