北京市丰台区2012届高三上学期期末练习（数学文）

北京市丰台区2011—2012学年度高三第一学期期末练习（数学文） 2012.01 高三数学（文科）

第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合A={x∣x<4}，B={x∣x2<4}，则

(A) A?B

(B) B?A

(C) A?

eRB

(D) B?

eRA

?1+i2．在复平面内，复数i对应的点位于

(A) 第一象限

(B) 第二象限

(C) 第三象限

(D) 第四象限

1?x2?x?R?x?Rxx3．已知命题p：，，命题q ：，?0，则

(A) 命题

p?q是假命题

(B) 命题

p?q是真命题

(C) 命题p?(?q)是假命题

(D) 命题p?(?q)是真命题

nP?P(1?k)(k??1)，n04．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是

其中Pn为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测年内增长率，n为预测期间隔年数．如果

在某一时期有-1

开始 (A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势

(C) 摆动变化 (D) 不变

5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 k=1，S=0 1(A) 3

1正视图2(B)3

(C) 1 (D) 2

S=S+2k k=k+2 侧视图2k≥50 是 2俯视图否 输出S

结束 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为

(A) 650 (B) 1250 (C) 1352 (D) 5000

1f(x)?log2(x?)?ax7．若函数在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是

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5(?log2,?1)2(A)

(B) (1,??)

5(0,log2)2 (C) 5(1,log2)2 (D)

8．如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是

D1C1B1yyA1POx

Ox

ADBC(A)

y(B)

yOx

Ox

(C)

(D)

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 ．

?log2x,(x?0),1f(x)??xf(a)?2，则a= ． ?2,(x?0). 若10．已知函数

11．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间[8,10) 上的频数是 ．

?????????a?2b?2(a?b)?a12．若向量a，b满足，，，则向量a与b的夹角

等于___．

13．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q 等于 ．

xx(x?x2)，有

14．函数f(x)的导函数为f'(x)，若对于定义域内任意1，21f(x1)?f(x2)x?x?f'(1)2x1?x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数．给出下列函数：①

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f(x)=2x?3；②f(x)?x2?2x?3；③

f(x)=1xx；④f(x)=e；⑤f(x)=lnx．其中为恒

均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数序号）

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

f(x)?2cos2已知函数

x?3sinx2．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；

?1cos2?f(??)?33，求1?tan?的值． （Ⅱ）若?为第二象限角，且

16.（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点． （Ⅰ）求证：CN⊥AB1；

C1（Ⅱ）求证：CN //平面AB1M． A1

M

C A

17.（本小题共13分）

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B1BN 为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班. （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；

（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.

18.（本小题共13分）

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x?3y?4?0相切． （Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）直线l：y?kx?3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形

OAMB 为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

19.（本小题共14分）

f(x)?2ax?已知函数

b?lnxx．

x?12处取得极值，求a，b的值；

（Ⅰ）若函数f(x)在x?1，

?（Ⅱ）若f(1)?2，函数f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围．

20.（本小题共13分）

a=f(an?1)（n?N*且n?2）{a}函数f(x)的定义域为R，数列n满足n．

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（Ⅰ）若数列

{an}是等差数列，a1?a2，且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(k为非零常数，

n?N*且n?2)，求k的值；

*a?2b?lna(n?N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于f(x)?kx(k?1)n（Ⅱ）若，1，nS(m?1)n给定的正整数m，如果

Smn的值与n无关，求k的值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012．01 高三数学（文科）答案及评分参考

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．x?2y?7?0 10．?1或2 11．30

?112．4 13．3 14． ①②

注：第10，14题只写出一个答案给2分。

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题共13分）

f(x)?2cos2已知函数

x?3sinx2．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域；

?1cos2?f(??)?33，求1?tan?的值． （Ⅱ）若?为第二象限角，且

解

：

（

Ⅰ

）

因

为

f(x)?1?cosx?3sinx ????????1分

?1?2cos(x?)3， ????????3分

所以函数f(x)的周期为2?，值域为[?1,3]． ????????5分

??1f(??)?33， （Ⅱ）因为

1?2cos?=所以 分

11cos???3，即3． ????????6

cos2?cos2??sin2??cos??sin?1?tan?cos?因为 ????????8

分

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?cos?(cos??sin?)

?cos2??cos?sin?， ????????10分

因为?为第二象限角， 所以 分

sin??223． ????????11

cos2?1221?22???99． ????????13所以 1?tan?9分

16.（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点． （Ⅰ）求证：CN⊥AB1；

C1（Ⅱ）求证：CN //平面AB1M． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC， A1所以BB1⊥平面ABC， 所以BB1⊥CN．???????1分

M因为AC=BC，N是AB的中点，

所以CN⊥AB． ????????3分 因为AB∩BB1=B， ????????4分

C所以CN⊥平面AB B1A1． ????????5分

A所以CN⊥AB1． ????????6分 （Ⅱ）（方法一）连结A1B交AB1于P． ????????7分

因为三棱柱ABC-A1B1C1， 所以P是A1B的中点．

因为M，N分别是CC1，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM， ????????9分 所以四边形MCNP是平行四边形， ????????10分 所以CN//MP． ????????11分 因为CN?平面AB1M，MP?平面AB1M， ??????12分 所以CN //平面AB1M． ????????14分 （方法二）取BB1中点P，连结NP，CP． ????????7分 因为N，P分别是AB，BB1的中点， 所以NP //AB1．

C1A1MPB1BNB1CNABC1B1A1因为NP?平面AB1M，AB1?平面AB1M，

M所以NP //平面AB1M． ????????10分

同理 CP //平面AB1M． ????????11分 因为CP∩NP =P，

C所以平面CNP //平面AB1M． ????????13分

因为CN?平面CNP，

A所以CN //平面AB1M． ????????14分 17.（本小题共13分）

为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6

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个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班． （Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；

（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.

解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， ????????1分

216?=26?=166个，丙学校抽取教学所以甲学校抽取教学班数为个，乙学校抽取教学班数为

班数

36?=36个，为 ????????

4分

所以分别抽取的教学班个数为2，1，3. ????????5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为

A1，A2，

B1，C1，C2，C3，(A,A)(A,B)则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：12，11，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)，(B1,C1)，(B1,C2)，(B1,C3)，

(C1,C2)，

(C1,C3)，

(C2,C3)共15

个. ????????7分

设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D， ????8分

则事件D包含的基本事件为：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C2)，

(A2,C1)，

(A2,C3)共9

个. ????????10分

P(D)?所以

93?155. ????????

12分

所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率

3为5.

????????13分 18.（本小题共13分）

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在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x?3y?4?0相切． （Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）直线l：y?kx?3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形

OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，因为直线x?3y?4?0与圆O相切，r?|0?3?0?4|所以 1?3?2． 3分

所以圆O的方程为 x2?y2?4． 分

（Ⅱ）（方法一）因为直线l：y?kx?3与圆O相交于A，B两点，d|3|O?l?2k?5所以1?k2?2k??5，解得

或

2． 7分

假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形， 8分

则OM与AB互相垂直且平分， 9分

所以原点O到直线l?1：y?kx?3d的距离为2|OM|?1． 10分

d|3|O?l?所以1?k2?1，解得k2?8， 分

即k??22，经验证满足条件． 12分

所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形． 13分

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????????

????????5

???????? ???????? ???????? ????????

????????11

???????? ????????

（方法二）记OM与AB交于点

C(x0,y0)．

1y??xk． ????????因为直线l斜率为k，显然k?0，所以OM直线方程为

7分

?3k?x???y?kx?3?0k2?1??1??6k6?y?3y??xM(2,2)02??k?1， 所以点M坐标为k， 解得??k?1k?1， ??????9

分

?6k262)?()?4222kk?1k?1M因为点在圆上，所以，解得?8， ????????

(11分

即k??22，经验证满足条件． ????????12分

所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形． ????????13分

19.（本小题共14分）

f(x)?2ax?已知函数

b?lnxx．

x?12处取得极值，求a，b的值；

（Ⅰ）若函数f(x)在x?1，

?（Ⅱ）若f(1)?2，函数f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围．

解

：

（

Ⅰ

）

f?(x)?2a?分

b1?x2x， ????????2

?f?(1)?0??1f?()?0?2由? ， ????????

4分

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1?a????3??b?1?3． ????????可得 ?6分 （

Ⅱ

）

函

数

f(x)的定义域是

(0,??)， ????????7分

?因为f(1)?2，所以b?2a?1． ????????

8分

2ax2?x?(2a?1)(x?1)[2ax?(2a?1)]f?(x)??2xx2所以， ????????

9分

??要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要f(x)≥0或f(x)≤0在(0,??)上恒成立．

????????10分

当a?0时，11分

f?(x)?x?1?0x2恒成立，所以f(x)在(0,??)上是单调函数； ??????

?当a?0时，令f(x)?0，得x1??1，

x2?2a?11?1??12a2a，

此时f(x)在(0,??)上不是单调函数； ????????12分

当a?0时，要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要1?2a≥0，即13分

0?a≤12．????

1a?[0,]2． ????????综上所述，a的取值范围是

14分

20.（本小题共13分）

a=f(an?1)（n?N*且n?2）{a}函数f(x)的定义域为R，数列n满足n．

（Ⅰ）若数列

{an}成等差，a1?a2，且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(k为非零常数，n?N*且n?2)，求k的值；

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*a?2b?lna(n?N)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于f(x)?kx(k?1)1nn（Ⅱ）若，，

S(m?1)n给定的正整数m，如果解：（Ⅰ）当n?2时， 因为 所以

Smn的值与n无关，求k的值．

an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)，

an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)．

因为数列因为 分

{an}是等差数列，所以 an?1?an?an?an?1．

an?1?an?k(an?an?1)， 所以k?1． ????????6

a?2，且an?1?f(an)，

（Ⅱ）因为f(x)?kx(k?1)，1所以

an?1?kan．

所以数列

{an}是首项为2，公比为k的等比数列，

n?1a?2kn所以．

所以因为所以

bn?lnan?ln2?(n?1)lnk． bn?bn?1?lnk，

{bn}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．

所以

Sn?(b1?bn)n(n?1)?n[ln2?lnk]22．

S(m?1)nSmn因为

(m?1)n{ln2??[(m?1)n?1]lnk}(m?1)[(m?1)nlnk?2ln2?lnk]2?(mn?1)m[mnlnk?2ln2?lnk]mn[ln2?lnk]2，

S(m?1)n又因为

Smn的值是一个与n无关的量，

2ln2?lnk2ln2?lnk?(m?1)nlnk， 所以 mnlnk版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

解得k?4． ????????13分

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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